线性代数概念与定理

1、第五章 线性空间一、线性空间1、定义与定理（1）线性空间的定义和性质定义1设 F 是一个数集. 如果 F 满足 1, 0ÎF;F 对于加法、减法、乘法、除法(除数不为零)运算封闭; 则称 F 为一个数域.定义2设 V 是一个非空集合, F 是一个数域, 如果定义了如下两种运算, 并且满足后面列举的八条性质, 则称 V 是数域F上的一个线性空间:(1)加法运算: "a, bÎV, 有a+bÎV; ( V 对加法运算封闭 )(2)数乘运算: "aÎV, "kÎF, 有kaÎV; (V对数乘运算封闭)(3)八条

2、运算性质: "a, b, gÎV, "k, lÎF:a+b = b+a (交换律)(a+b)+g = a+(b+g) (结合律)qÎ$V, "aÎV, a+q = a (q叫零元素, 也记为0)"aÎV, bÎ$V使a+b = 0 (b称为a的负元素, 记为-a) 1a = a(kl)a = k(la)k(a+b) = ka+kb (分配律) (k+l)a = ka+la (分配律)线性空间 V 的简单性质(1) V中零向量唯一, 记为 0.假若q1, q2都是 V 的零向量, 那么由q1是零向

3、量, 有q2 + q1 = q2. 又因q2是零向量, 有q1+ q2 = q1, 于是q1 = q1 + q2 = q2 + q1 = q2.(2) V中每个向量a的负向量唯一, 记为 -a.如果b, g都是a的负向量, 则b = b + q = b + (a + g) = (b + a) + g = q + g = g.(3) 0a = q.由a+0a = 1a+0a = (1+0)a = 1a = a, 两边同时加-a, 有0a = 0a+q = 0a+(a+(-a) = (0a+a)+(-a) = a+(-a) = q.(4)(-1)a = -a.由a + (-1)a = 1a + (

4、-1)a = (1-1)a = 0a = 0,所以由(2)有 (-1)a = -a.(5)kq = q.由(3)和定义1(6)有kq = k(0a) = (k0)a = 0a = q.(6)若ka = q，则k = 0 或a = q.若k¹ 0, 则a = (k-1k) a = k-1(ka) = k-1 q = q.（2）线性空间中元素间的线性关系定义3设a1, a2, , as是数域 F 上的线性空间 V 中的 s 个向量, k1, k2, ksÎF, 称 k1a1+k2a2+ksas 是a1, a2, , as的线性组合定理1数域 F上的线性空间 V 中的 s 个向量

5、 a1, a2, , as (s ³ 2) 线性相关的充要条件是其中有一个向量可由其余的向量线性表出.定理2设数域 F 上的线性空间 V 中的 s 个向量 a1, a2, , as线性无关, 而 a1, a2, , as, b 线性相关, 则 b 可由a1, a2, , as线性表出, 且表示法唯一.定理3如果向量组 A 可由向量组 B 线性表示, 而且 s > t, 则A 一定线性相关.推论1设有两个向量组:若向量组 A 线性无关, 且可由向量组 B 线性表示, 则 s £ t.推论2等价的线性无关向量组个数相同.定理4设向量组a1, a2, , an线性无关，而b

6、1, b2, , bn可由a1, a2, , an线性表出，且有，则b1, b2, , bn线性无关Û|A|0（3）线性空间的维数、基和坐标定义4如果在线性空间 V 中存在 n 个线性无关的向量, 但任意 n+1 个向量都线性相关, 则称任意 n 个线性无关的向量为线性空间 V 的一组基, 称 n 为线性空间 V 的维数, 记作 dimV = n. 基的概念是坐标系概念的推广.定义5设 e1, e2,¼, en 是 F的线性空间 V 的一组基, a 是 V中任一向量, 若记 X = (x1, x2, ¼, xn)T, 则可把向量 a 写成a = (e1, e2,&

7、#188;, en)X, 称 X 是向量 a 在基 e1, e2,¼, en下的坐标.定理5设e1, e2,¼, en是 V 的一组基, h1, h2,¼, hnÎV, 记(h1, h2,¼, hn) = (e1, e2,¼, en)C, 这里 C 是 n 阶方阵 (cij)n´n,则 h1, h2,¼, hn线性无关 Û C 可逆定义6设e1, e2,¼, en和h1, h2,¼, hn是 n 维线性空间 V 的两组基, 它们可以互相线性表出, 假若记 C =(cij)n´

8、n, 将上式用矩阵形式表示成(h1, h2,¼, hn) = (e1, e2,¼, en)C，称 C 是由基e1, e2,¼, en到h1, h2,¼, hn的过渡矩阵。基变换公式由基e1, e2,¼, en到h1, h2,¼, hn的变换公式为：定理6设e1, e2,¼, en和h1, h2,¼, hn是 n 维线性空间 V 的两个基, 由基e1, e2,¼, en到h1, h2,¼, hn的过渡矩阵是 C, 则C 是可逆矩阵. 2、题型（1）判断一个集合是否构成线性空间。思路：先验证是否对加

9、法和数乘封闭；再逐条验证8条性质。Tips：10如果是线性空间则需要按以上思路逐一列出验证。 20如果不是线性空间，只要找出不封闭或者不满足的性质即可。一般常见的有加法、数乘不封闭、找不到零元素、找不到1元素等。 308条性质简记为：加法交换结合零与负，数乘结合分配二和一。（2）证明一组矩阵、多项式线性无关思路：根据线性无关定义列出表达式，再由条件证明k1=k2=kn=0。Tips：10常常用此待定系数法作，将问题转化为齐次线性方程组解的问题，只要得到的系数行列式|A|0，即可证明只有零解，从而线性无关。 20涉及两组基，或者已知一组基显然线性无关时，注意利用定理4证明另一组基线性无关（特别是

10、对小于n的多项式空间）或者证明可以互相线性表出。（3）求一组基和维数思路：写出一组最简单的基（一般是自然基），然后证明这组向量是一组基。（4）求两组基的过渡矩阵、坐标变换公式思路：求过渡矩阵：用定义法，将新基用旧基线性表出，再由系数得到过渡矩阵；也可由反解出 求坐标变换公式，其实就是将C-1X算出来，分别得到等式。（5）求新基下的坐标思路一：用待定系数法和恒等式直接解出坐标。思路二：先求过渡矩阵，再求出其逆矩阵，用坐标变换公式Y = C-1X将旧基坐标转换为新基坐标。坐标变换公式如果向量 a 在两组基下的坐标分别是X = (x1, x2, , xn)T 和 Y = (y1, y2, , yn)

11、T, 则Y = C-1X, 或 X = CY 称为坐标变换公式.二、线性子空间1、定义与定理（1）线性子空间定义1设 V 是 F 上的线性空间, W为 V 的非空子集, 如果W 对于 V 和 F 上的 “+”,“ · ”仍为线性空间, 则称 W 是 V 的子空间. 0 和 V 称为平凡子空间.定义2齐次线性方程组 AX = 0 的全体解向量构成 Rn 的一个子空间, 记为 N(A), 称为 AX = 0 的解空间或化零空间。定理1设 W 是线性空间 V 的非空子集, 那么 W 是 V 的子空间的充要条件是 W 对 V 中定义的加法和数乘运算封闭.定理2设 W1, W2 是线性空间 V

12、 的两个子空间, 则 W1, W2 的交 W1ÇW2 = a|aÎW1且 aÎW2 是 V 的一个子空间.定义3设W1, W2是线性空间 V 的两个子空间, 则W1+W2 = a½a = a1+ a2, a1ÎW1, a2ÎW2称为 W1 与W2的和.定理3 线性空间 V 的两个子空间W1 与 W2 的和 W1+W2 是 V 的一个子空间.定理4 设 W1, W2 为 V 的两个子空间，则dimW1+dimW2 = dim(W1+W2)+dim(W1W2).定义4设属于数域F上的线性空间V,则子集是V的一个子空间, 称为由生成的子空间

13、.定理5向量组a1, a2,¼, as生成的子空间维数等于它的秩。定理6向量组和其极大线性无关组生成的子空间是相同的。定理7两个向量组生成子空间相同的充分必要条件是这两个向量组等价。定义5设由 A 的 n 个列向量生成的子空间称为 A 的列空间, 记为 R(A). 定理8设A为m×n矩阵，B为n×s矩阵，则有R(AB)R(A);N(AB)N(A)（2）子空间的直和定义6设W1和W2是V的子空间, 如果W1W2= 0, 则称 W1+W2为W1与W2的直和, 记为定理9设 W1, W2 为 V 的两个子空间, V = W1+W2, 则下面的四个命题等价：(1) W1&

14、#199;W2 = 0,(2) 0 表示成 W1与W2 中元素和的方法唯一. (3) V 中任意元素表示成 W1与 W2 中元素和的方法唯一.(4) dim V = dim W1 +dim W2 . 推论设 W1, W2 为 V 的两个子空间, V = W1+W2, 为 W1 的一组基, 而为 W2 的一组基, 则为V的一组基. 定义7设 W1 是 V 的一个子空间, a1, a2,¼, as 是 W1 的一组基,b1,¼, bs+t 为 V 的一组基, 则可以把 a1,¼, as扩充为向量组 a1,¼, as, b1,¼, bs+t 的极大线

15、性无关组, 即为V的一组基, a1, a2,¼, as, as+1,¼,as+t .记则W2称为W1的补空间.定理10设是 V 的一组基,设即则 b1, b2,¼, bs 线性无关ÛC 的 s 列线性无关.推论设是 V 的一组基,设即则与矩阵 C 的列向量组的任何对应部分组有相同的线性相关性(线性关系),且 定理11设W1是n维线性空间V的一个非零子空间，则V中必存在W2使得。（3）线性空间的同构定义8设 V1 与 V2 是数域 F 上的两个线性空间, 如果存在从V1 到 V2 的一个双射满足：则称是同构映射,称 V1 与 V2 是同构的.性质(1)；(

16、2)有(3) 设 a1,¼, an 是 V1 中向量, 则 V2 中向量 j(a1),¼, j(an) 线性相关（无关）Ûa1,¼, an 线性相关（无关）(4)若a1,¼, an 是 V1的一组基，则j(a1),¼, j(an)是V2的一组基(5)同构映射的逆映射以及两个同构映射的复合映射均为同构映射定理12V是n维线性空间，则其必同构于数域F上的n维向量空间Fn。推论F上的两个有限维线性空间同构的充分必要条件为它们的维数相同。题外话证明一个关系是等价关系，需要证明三点：自反性、对称性和传递性。2、题型（1）判断一个集合能否构成子空

17、间思路：只要验证一下该集合是否对加法和数乘封闭即可。（2）求W1，W2以及子空间的W1ÇW2和W1+W2的基和维数思路：10找出W1W2的一组基，则W1=L ()，即可得到W1W2和其维数； 20将W1W2的基作为列向量排成一个矩阵，化为阶梯矩阵，然后找出线性无关的向量组，即为W1+W2的一组基，其维数即为W1+W2的维数； 30由维数公式得到dim W1ÇW2。然后取，利用既在W1中又在W2中列出方程求解出基础解系，带回其中一个方程组即为W1ÇW2的一组基。（3）的证明思路：这个问题很复杂，变化也很多，但是一般的，常常要借助的手段有： 维数公式、的3个等价命题、

18、集合的相互包含关系。例如3题，其思路为：10找出W1+W2的一组基和维数；20由于W1W2都是V的子集，故W1+W2也是V的子集，从而为其子空间；30取其一组基，则为V的基，由同一向量组的生成子空间相等，得到V= W1+W2；40由维数公式推出W1ÇW2 = 0，从而得证。三、欧几里得空间1、定义与定理（1）内积定义1设 V 是一个实线性空间, 如果对 V 中任意的两个向量 ,ab, 都有唯一的一个实数 (a,b) 与之对应, 且满足以下性质(1) "a, ÎbV, (a, b) = (b, a);(2) "a, b, ÎgV, (a, b+g

19、) = (a, b) + (a, g);(3) "a, ÎbV, "kÎR, (ka, b) = k(b,a);(4) "ÎaV, (a, a) ³ 0, 且 (a, a) = 0 Ûa = 0,则称（b,a）是向量 a 与 b 的内积, 定义了内积的实线性空间 V 称为欧几里德空间. 定义2 由于 (a,a) ³ 0, 在欧几里德空间中向量 a 的长度 |a| 定义为在欧氏空间 V 中, 任意两个向量 a 和 b, a 与 b的夹角<a, b> 定义为设 (a,b) = 0, 则称 a 与

20、b 正交(垂直), 记作 ba.定义3设 e1, e2,¼, en 是 n 维欧氏空间 V 中一组基:则度量矩阵为若a=(e1, e2,¼, en)C = x1e1+x2e2+¼+xnen, b=(e1, e2,¼, en)Y = y1e1+y2e2+¼+ynen，则定理1任意正交向量组 a1, a2,¼, as 线性无关推论在 n 维欧氏空间 V 中线性无关的向量至多只有 n 个, 因而 V 中两两正交的非零向量组含向量数不会超过 n.柯西-斯瓦兹不等式设V为欧几里得空间，有等号成立的充要条件是与线性相关。（2）标准正交基定义4在

21、n 维欧氏空间 V 中由 n 个两两正交的非零向量构成的向量组称为正交基, 由单位向量组成的正交基称为标准正交基.定理2设 e1, e2,¼, en 是 n 维欧氏空间 V 中一组标准正交基:a=(e1, e2,¼, en)C = x1e1+x2e2+¼+xnen,b=(e1, e2,¼, en)Y = y1e1+y2e2+¼+ynen则有定理3n维欧氏空间 V中任意 n 个线性无关的向量a1,a2,¼,an,可用施密特正交化方法,其中再通过把b1,b2,¼,bn 单位化可得标准正交向量组g1, g2,¼, gn施

22、密特正交化(1)把a1,a2,¼,an,转化成一个正交向量组b1,b2,¼,bn(2) 把b1,b2,¼,bn 单位化可得标准正交向量组g1, g2,¼, gn（3）正交矩阵定义5设 Q 是 n 阶实矩阵, QTQ = I, 则称 Q 是正交矩阵.定理4正交矩阵 Q 具有下列性质:(1) Q 的行、列向量组都构成标准正交向量组 (可看作Rn的标准正交基).(2) |Q| = +1或-1.(3) Q 的逆矩阵Q-1 = QT 还是正交矩阵.(4) 正交矩阵的乘积仍是正交矩阵.定理5对任意 n 阶可逆实矩阵 A, 存在一个 n 阶正交矩阵 Q及一个 n 阶主

23、对角元素为正数的上三角阵 R, 使 A = QR, 称为矩阵 A 的QR分解.这种分解是唯一的.可逆矩阵的QR分解（根据施密特正交化过程）；其中2、题型（1）验证给定的运算是否满足内积定义（判断一个线性空间是否为欧几里得空间）思路：逐条验证是否满足内积的四条性质。特别注意正定性中(a, a) = 0 Û a = 0的验证！（2）将一组基化为标准正交基以及对可逆矩阵实施QR分解（见上）（3）求已知齐次线性方程组解空间的标准正交基以及其正交补的标准正交基思路：注意正交补的一组基即为系数矩阵的行向量。（4）求某向量在一子空间上的投影思路：10求出子空间的标准正交基； 20用公式求出投影。定

24、义6设 V 是欧几里得空间, W 是 V 的子空间, 则称为 W 在 V 中的正交补.W 恰好由所有与W 正交的向量组成.定理5 设 W 是欧几里得空间 V 的子空间, 则本章小结与习题结论：1（P187.7（2）结论或背景：（1）与任意n阶方阵可交换的矩阵是纯量矩阵A=kI；（2）与n阶对角阵可交换的矩阵只能是对角阵； 与准对角阵可交换的矩阵只能是准对角矩阵；（3）与可交换的矩阵是； 与可交换的矩阵是。（数学归纳法）2（P188.13）设W1、W2是线性空间V的两个非凡子空间，则使得且。3（P188.14）若W为V的子空间，且dimW=dimV，则W=V。4（P188.17）每个n维线性空间

25、都可以表示为n个一维线性空间的直和。5（P189.25）n阶主对角元素为正数的上三角正交矩阵为单位矩阵。 （P189.30）正交矩阵的伴随矩阵A*也是正交阵。第六章线性变换一、线性变换与矩阵1、定义与定理（1）线性变换的定义与运算定义1设s: V®V是线性空间V到自身的一个映射(变换), 如果s保持加法及数乘运算, 即对任意a, bÎV,对任意常数k都有s(a+b) = s(a)+s(b), s(ka) = ks(a), 则称s是线性空间V的一个线性变换, 称s(a)为向量a在线性变换s下的象.用L(V)来表示线性空间V的全部线性变换所作成的集合。一些特殊的线性变换s: V

26、®V, 定义为s(a) = ca, 其中c是一个固定常数,通常叫数乘变换或位似变换c = 0，叫零变换, 记作0, 即 0(a) = 0c = 1，叫恒等变换, 记作e, 即 e(a) = as(a)=a, s为把平面上的向量绕坐标原点反时针旋转q的变换，称旋转变换s: R3®R3, 设则称为投影变换.设 s: R2®R2, 设则称为境面反射变换线性变换的简单性质.设 s 是线性空间V上的线性变换, 则(1) s(0) =0;(2) s(- a) = - s(a), "aÎV;(3) s(k1a1+k2a2+¼+knan) = s(

27、k1a1)+s( k2a2)+¼+s( knan)(4)若a1, a2¼, an线性相关, 则 s(a1), a(s2),¼, a(sn) 线性相关.（逆命题和否命题不成立）(5)若s(a1), a(s2),¼, a(sn)线性无关, 则 a1, a2¼, an 线性无关.定理1设s是n维线性空间V的一个线性变换, a1, a2¼,an是V的一组基, 则s可逆的充要条件是a(s1), a(s2),¼, a(sn)也是V中的一组基。（2）线性变换的矩阵定义2设f和g均为A到B的映射, 若A中任意元素在f和g下的象均相等, 则称

28、f和g相等, 记为 f = g.引理1设s是n维线性空间V的一个线性变换, a1, a2¼,an是V的一组基, 则V中任一向量a的象 s(a)由基的象a(s1), a(s2),¼, a(sn)所完全确定.定义3设线性变换 s 在基 a1, a2¼, an下的象用这组基线性表示为:记 s(a1, a2¼,an) = (a(s1), a(s2),¼, a(sn), A = (aij)n´n,可以表示为s(a1, a2¼,an) = (a1, a2¼,an)An阶矩阵A叫做线性变换s在基a1, a2¼,an下的

29、矩阵. 其中A的第j列就是基向量aj的象s(aj)在这组基下的坐标.定理2设线性变换 s 在基 a1, a2¼,an下的矩阵是A, 即s(a) = (a1, a2¼,an)A,设向量 a, s(a) 在这组基下的坐标分别是X = (x1, x2¼,xn)T；Y = (y1, y2¼,yn)T,则Y = AX 引理2 设a1, a2,¼, an 是n维线性空间V的一组基, 对任意给定的n个向量b1, b2,¼, bn, 都存在线性变换s, 使得a(si) = bi (i = 1, 2,¼, n).定理3设a1, a2¼

30、;,an, 是n维线性空间V的一组基, A = (aij)是任一n阶矩阵, 则有唯一的线性变换s满足s(a1, a2¼,an) = (a1, a2¼,an)A.定理4设V是数域F上的线性空间, 则上述映射j是同构映射.（线性变换的集合与 n 阶矩阵的集合之间有着一一对应的关系）定义4设有两个映射定义f 和g的复合映射为引理3设均为映射，则定义5设A是一个集合, A上的映射id : A ® A, id(a) = a是A到A的一个双射, 称为A上的恒同映射, 亦记为IA.定义6设f是集合 A 到 B的一个映射, 如果存在集合B到A的一个映射g, 使gf = IA和fg

31、 =IB同时成立,则称f是可逆映射(简称f可逆), 并称g为f的逆映射.引理4设f是集合A到B的一个映射, 如果映射f是可逆的, 则其逆映射是唯一的(故可记为f -1=g).引理5A到B的映射f为双射的充要条件为f可逆.定理5线性变换的乘积(即复合映射)对应于矩阵的乘积.推论1 (1) 线性变换乘法一般不满足交换律.(2) 非零线性变换的乘积可以是零变换.(3) 线性变换的乘法一般不满足消去律.2、题型（1）判断一个变换是不是线性变换思路：只需判断改变换是否对加法和数乘封闭即可。（2）已知一组基和另一组向量组，求基到另一组的线性变换（参考P432）思路：10任取V中一元素a=(x1,x2,xn

32、)T，设；20反解出c1,c2,cs；30对a做线性变换s，并将解出的ci带入即可得到线性变换s。（3）求一个线性变换的逆变换思路：求出s的矩阵的逆矩阵即得到s-1的矩阵，也就得到了s的逆变换。（4）求线性变换对应的矩阵思路：将基带入线性变换后再用基表示，所得到的矩阵极为线性变换对应的矩阵。 或者由分别解出，并由排成矩阵（5）已知一组基的矩阵，求另一组基的矩阵思路：求出第一组基到第二组基的过渡矩阵，由公式B=P-1AP即可得到第二组基的矩阵。推论2sÎL(V)可逆Ûs对应的矩阵可逆.二、线性变换的核、值域与特征值1、定义与定理（1）线性变换的核与值域定义1设 s 是 V 的

33、线性变换, V 中向量在 s 的作用下全体象的集合称为 s 的值域, 记为 Im s = sV = sa|aÎV.dim Ims 称为线性变换 s 的秩定理1Im s 是 V 的子空间.定理2设是 V 的一组基, A 是 s 在这组基下的矩阵, 则定义2 设 s 是 V 的线性变换, 所有被 s 映成零向量的向量的集合称为 s 的核, 记为 kers. dim kers 称为 s 的零度.定理3kers 是 V 的子空间.定理4设是 V 的一组基, A 是 s 在这组基下的矩阵, 则定理5 设 s 是 V 的线性变换, 则推论1s 是单射 Û kers = 0 Û

34、 Im s =V Ûs 是满射 Ûs是双射Ûs 可逆推论2定义3设 n 维线性空间 V 的线性变换 s 在 V 一组基下的矩阵是幂等方阵, 则 s是幂等变换, 且s在 V 的某组基下的矩阵为（2）不变子空间定义4设 s 是 V 上的线性变换, W 是 V 的子空间, 如果对 W 中任一向量 a, 有 as 属于 W, 则称 W 为 s 的不变子空间. Ims和kers均为s不变子空间引理设 W 是 s 的不变子空间, 则是 W 上的线性变换, 称为 s 在 W 上的限制, 记为定理6设 s 是 V 上的线性变换, W 是 V 的子空间, 为 W 的一组基, 扩充为

35、 V 的一组基则(1)W是s的不变子空间的充分必要条件为s在V的基下的矩阵为(2)当(1)成立时, 有下的矩阵为 A1, 且 A2 = 0 也是 s不变子空间.推论 设 s是V上的线性变换, 则 V 可以分解为若干 s不变子空间的直和的充分必要条件为s在V的某组基下的矩阵为准对角阵.（3）特征值和特征向量定义5设sÎL(V), 若存在数l及非零向量x, 使得xs = xl则称l是s的特征值, x是s的属于特征值l的特征向量.s属于特征值l的特征向量的任意非零线性组合仍是属于l的特征向量, 加上零向量就构成V的一个子空间.定义6设sÎL(V), l是s的一个特征值, 则称Vl

36、 = xÎV|sx = lx 为s的属于特征值l的特征子空间, 其维数称为特征值l的几何重数.定义7设A为一个n阶方阵, 则行列式称为矩阵A的特征多项式。求给定矩阵的特征值相当于求A的特征多项式的根, 所以特征值也叫做特征根。特征向量的性质(1) s属于同一特征值l0的特征向量的任意非零线性组合仍是属于l0的特征向量.(2) s属于不同特征值的特征向量的线性组合不再是s的特征向量(3) s属于不同特征值的特征向量是线性无关的特征多项式的基本性质设则有定义8设l0是方阵A的特征值, 称齐次线性方程组(l0I-A)X = 0的解空间为A的属于特征值l0的特征子空间, 记作Vlo.特征子空

37、间的性质(1)特征子空间必是s的一个不变子空间；(2)V中任意一个一维不变子空间W，都是某一个Vlo的一维子空间； (3)Vl的任意一个子空间也都是s的不变子空间；(4)V中s的一维不变子空间和Vlo的一维子空间是一一对应的；定理7n阶方阵A可逆ÛA的n个特征值全不为零。定理8设，是A的特征多项式，则=0. 2、题型（1）求特征值和特征向量思路：由定义即可简单得到。（2）一些证明题思路：本部分的证明题常结合计算，综合性很强，需要从定义概念，定理以及一些常见结论入手。 推论：设，是的特征多项式，那么三、矩阵的相似、实对称矩阵的对角化1、定义与定理（1）矩阵的相似定义1设A, B是两个n

38、阶方阵, 如果存在一个n阶可逆矩阵P, 使得P-1AP=B, 则称矩阵B相似于矩阵A, 记作A B.定理1n为线性空间V上的一个线性变换在V的不同基下的矩阵是相似矩阵。相似矩阵的性质(1)自反性: AA; 对称性: 若 AB, 则 BA; 传递性: 若 AB, BC, 则 AC.(2)相似矩阵有相同特征多项式.推论：相似矩阵具有相同的特征值、迹和行列式(3)相似矩阵有相同的可逆性, 且如果 A B, 那么 A-1 B-1(4)如果 A B, 则 Am Bm, 其中 m 是正整数.(5)若AB，设f(x)为一个一元多项式，则f(A)f(B)(6)若AiBi，i=1,2,s则diag(A1,A2A

39、s)diag(B1,B2Bs)（2）矩阵的相似对角化条件定理2n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。定理3若A有n个两两不等的特征值，则A必可对角化。定理4n阶矩阵A的ni重特征值所对应的线性无关的特征向量个数不超过ni。 注：将特征值l0的重数ni称为代数重数。 即是说每个特征值的几何重数不超过其代数重数。定理5n阶矩阵A可对角化的充要条件是每个特征值的代数重数等于几何重数。 注：可分为两种情况（1）A只有n个单特征根时。 （2）n有重根时，只有当每一重根的几何重数和代数重数相等时，A才可对角化。（3）实对称矩阵的相似对角化定理6设A是n阶实对称阵, 则A的特征值都是实数

40、.定理7对任意的n阶实对称阵A, 总存在正交矩阵Q, 使得Q-1AQ = QTAQ=定理8n阶实对称矩阵A属于相异的特征值的特征向量必正交.实对称矩阵的相似对角化(1)求A的特征值, 得到(2)对每个li,求线性方程组(liI-A)X =0的基础解系, i = 1,2,¼ s,得到(3)对每组向量进行施密特正交化, 得到一个标准正交特征向量组:(4)令则由定理3, Q 是正交矩阵, 而且2、题型（1）实对称阵正交对角化，求正交矩阵思路：见上文。（2）求矩阵的高次幂乘思路：10将矩阵（一般为对称阵）相似对角化，求出可逆矩阵P，对角阵； 20由求出结果。（3）求行列式思路：求出特征值易得

41、。（4）判断矩阵是否相似思路：只要将其化为对角阵后，看对角阵是否相同或相似，其实判断其特征值及其代数重数即可。（5）由特征向量和特征值反求A思路：特征向量组成P，特征值按对应顺序组成，则由公式易得。本章小结与习题结论：1（P450例10.16）设V为数域F上的n维线性空间，则由V上线性变换组成的线性空间L(V)是n2维的，且其一组基为。2常见特殊矩阵的逆矩阵（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；3（P226.10）若是线性空间V上的线性变换，且，则线性无关。4（P227.15）设，是线性变换，且，则有（1） （2）5（P227.16）如果是线性空间V中两两不同的线性变换，那么

42、在V中存在向量，使得也两两不同。6（P228.23）若可逆矩阵A属于的特征向量是x，则A-1属于的特征向量为x，A*属于的特征向量为x。7（P228.29）若A可逆，则AB与BA相似。若A不可逆则不一定成立。8（P228.30）与相似，其中为1,2,.n的一个排列。与相似，其中为1,2,.n的一个排列。9（P229.31）若方阵A只与自身相似，当且仅当A=cI。10（P230.34）不是方阵A的特征值的充要条件是可逆。11（P230.40）的n个特征值为，则有。12（P267.6.21）若存在一个可逆矩阵P使得A、B同时化为对角矩阵，则必有AB=BA。第七章 二次型与二次曲面一、二次型的标准型

43、1、定义与定理（1）二次型的概念定义1n 个变量 x1, x2, , xn的二次齐次多项式函数称为 n 元二次型, 其中 aij= aji, i, j = 1, 2, n.定义2一般地, 如果将(1)式中的二次型展开, 有则二次型可以矩阵乘积形式写作，其中对称矩阵A称为二次型的矩阵.定理1n 元二次型是 n 个变量x1, x2, , xn的二次齐次多项式函数, 二个x1, x2, , xn的二次齐次多项式函数相等Û 对 n 个变量x1, x2, , xn的任意取值, 这二次齐次多项式函数的值均相等Û 这两个二次型对应的矩阵相等. 即二次型与对称矩阵之间存在一一对应关系.（2

44、）矩阵的合同定义3同一个向量函数 Q(a) 在不同基下所对应的两个二次型XTAX 和 YTBY 称为是等价的.即二次型 XTAX 与二次型 YTBY 等价 Û 后者可以由前者通过可逆线性替换 X = PY 得到. 定义4给定两个 n 阶方阵 A 和 B,如果存在可逆方阵 P,使得B = PTAP,则称 B 与 A合同(相合)两个二次型等价 Û 它们的矩阵合同定理2任何实对称矩阵都一定能合同于一个对角型.（3）二次型的标准型定理3设 Q(a) = XTAX 是一个实二次型, 其中 AT = A, 则存在正交线性替换 X = PY, 其中 P 是正交阵, 把 Q(a) 化成标准

45、形:其中 l1, l2, ln 是 A 的 n 个特征值.正交替换法取变换为 X = PY, 即可得到标准形:这种通过正交替换 X = PY 把实二次型化为标准形的方法, 称为正交替换法.注：1）这里所作的变换矩阵 P 是个正交阵, 它是由实二次型的矩阵 A 的特征向量经过施密特正交化得到的. 2）经过这样的正交线性替换 X = PY 得到的 Q(a) = XTAX 的标准形中, 平方项的系数恰是A的特征值. 3）对角阵中特征值的顺序和它们对应的特征向量在 P 中的排列顺序一致.定义6一个二次型经可逆线性替换 X = PY 化简出的二次型称为原二次型的标准形.配方法基本步骤1）如果 x1 平方

46、项的系数不为零, 就将含 x1 的所有项集中起来, 并进行配平方: 2）然后把后面剩下的不x1的项整理好, 并令前面所配的平方项里面的一次齐次式为y13）在后面整理好的项里面, 如果有平方项(不妨设为 x2 的平方项)的系数不等于零, 可以继续上面的过程. 一直到最后令 yn = xn 就完成了配方过程.4）如果出现平方项全为零的情况, 可以进行转换, 化为平方项不为零的情况, 然后再继续利用前面的配方法进行.定理4任何一个复(实)二次型都可通过可逆线性替换化成标准形.推论任何一个复(实)对称矩阵都与一个对角矩阵合同,即对任何对称矩阵A都存在可逆矩阵 P, 使得 PTAP = diag(d1,

47、 d2, dn).初等变换法利用初等变换与乘初等矩阵的关系, 可以得到类似于矩阵就逆过程的一种求标准形的方法。将单位阵放在待变换矩阵下面, 构成一个 2n´n 矩阵:或2、题型（1）求二次型的矩阵或根据矩阵写出二次型（2）判断两个矩阵是否相合思路：考虑两个方面：10 r是否相同；20正惯性系数是否相同。而一般采取将矩阵化为标准型或求出其特征值来得到以上参数。（3）配方法求标准型和可逆线性变换（见上文）（4）初等变换法求标准型和可逆线性变换思路：10写出二次型的矩阵A； 20用对A进行初等变化，得到P和PTAP； 30求出二次标准型。（5）正交线性替换求标准型和可逆线性变换思路：10写

48、出二次型的矩阵A； 20求出A的特征值，并求出各特征值对应的特征向量，再对实行施密特正交化，得到，以其为列向量组成正交阵P，即可逆线性变换； 30PTAP=diag()，从而求出二次标准型。当通过一系列合同变换把 A 变为对角矩阵 D = PTAP 时, 下面的单位矩阵 I 就变成了可逆矩阵 P, 即将原二次型化为标准形时可逆线性替换所需要的矩阵.二、二次型的规范型和实二次型的正定性1、定义与定理（1）二次型的规范型定义1形如的二次型称为复系数二次型的规范形定理1任意一个复系数的二次型, 总可经过一个适当的可逆线性替换化成规范形, 规范形是唯一的.推论任意一个复对称矩阵相合于其中 r 是对称阵

49、的秩定义2形如的二次型称为实二次型的规范形. 定理2任意一个实系数的二次型,总可以经过一个适当的可逆线性替换化成规范形, 规范形是唯一的推论任意实对称矩阵相合于对角阵或者说 "AÎMn(R), 若AT=A,则存在一个可逆矩阵PÎMn(R) 使得定义3规范形中的参数r, p是唯一确定的.规范形中的p称为正惯性指数, r-p为负惯性指数; p-(r-p) = 2p-r 为符号差（2）实二次型的正定性定义4设Q(a) = XTAX是实二次型, 若对任何非零向量a都有 Q(a) > 0, 则称这个实二次型 Q(a) 为正定二次型. 正定二次型的矩阵称为正定矩阵.正定

50、矩阵的性质(1) 可逆线性替换不改变二次型的正定性.(2) 实对称阵 A 正定 Û A 的特征值都大于0.(3) n 元实二次型正定 Û 正惯性指数 p = n.(4) 实对称阵 A 正定 Û A 与 I 相合.(5) 实对称阵 A 正定 Û A = CTC, 其中 C 可逆.(6) 正定矩阵的行列式大于零.反之不一定成立.定义5 设 AÎMn, 子式称为矩阵 A 的第 i 阶顺序主子式.定理3实二次型Q(a) = XTAX正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式Pi > 0, i = 1, 2, n. 半正定负定半负定设Q(a)=XTAX

51、是实二次型,若对任何向量a都有Q(a) ³ 0, 则称这个实二次型Q(a)为半正定二次型设Q(a)=XTAX是实二次型, 若对任何非零向量a 都有Q(a)< 0, 则称这个实二次型Q(a)为负定二次型设Q(a)=XTAX是实二次型, 若对任何向量a都Q(a) £ 0, 则称这个实二次型Q(a)为半负定二次型(1) 可逆线性替换不改变二次型的半正定性.(2) n 元实二次型半正定Û 正惯性指数 p = r £n.(3) 实对称矩阵 A 半正定Û A 合同于 diag(Ir, 0), r £ n.(4) 实对称矩阵 A 半正定 Û A = CTC, 其中 r(C) = r(A).(5) 实对称矩阵 A 半正定 Û A 的特征值都大于等于0.(6) 实对称矩阵 A 半正定 Û A 的所有主子式 ³ 0. (1) 可逆线性替换不改变二次型的负定性