巴特沃斯滤波器设计

1、数字信号处理电子教案第五章IIR 数字滤波器设计 鞍山科技大学电子教研室2006年5月10日5.1 引 言数字滤波器是指完成信号滤波处理功能的，用有限精度算法实现的离散时间线性非时变系统，其输入是一组数字量，其输出是经过变换的另一组数字量。因此，它本身即可以是用数字硬件装配成的一台完成给定运算的专用数字计算机，也可以是将所需运算编成程序，让通用计算机来执行。数字滤波器具有稳定性高、精度高、灵活性大等优点。随着数字技术的发展，用数字技术实现滤波器的功能越来越受到人们的注意和广泛的应用。一、 常用滤波器的性能指标滤波器性能一般用系统频率特性 (j e H 来说明，常用的性能指标主要有以下三个参数：

2、1. 幅度平方函数2*( ( *( ( ( (j j j j j j z e H e H e H e H e H e H z H z -=该性能指标主要用来说明系统的幅频特性。2. 相位函数( ( Re(Im( j j j j j j e H e H e j H e H e e =+=其中：=(Re(Im (j j j e H e H arctg e 该指标主要用来说明系统的相位特性。3. 群延时d e d j ( (-=定义为相位对角频率导数的负值，说明了滤波器对不同的频率成分的平均延时。当要求在通带内的群延迟是常数时，滤波器相位响应特性应该是线性的。二、实际滤波器的频率特性实际设计中所能得

3、到的滤波器的频率特性与理想滤波器的频率特性之间存在着一些显著的差别，现以低通滤波器的频率特性为例进行说明。1. 理想滤波器的特性：设滤波器输入信号为 (t x ，信号中混入噪音 (t u ，它们有不同的频率成分。滤波器的单位脉冲响应为 (t h 。则理想滤波器输出为：( ( ( ( y t x t u t h t K x t =+*=- （5-1）即噪音信号被滤除0 ( (=*t h t u ，而信号无失真只有延时和线性放大。对(5-1式作傅里叶变换得：( ( ( ( ( ( j Y j X j H j U j H j Ke X j -=+= （5-2）假定噪音信号被滤除，即( ( 0U j

4、H j = （5-3）将（5-3）式代入（5-2）式整理得：( (j Y j H j Ke X j -=假定信号频率成分为：c ，噪音频率成分为c >。则完成滤波的理想低通滤波器特性是： |( ( ( 0 |j c cK eY j H j X j -=> （5-4） 即 |( |0 |cc K H j =>arg( H j =-系统的单位脉冲响应为：sin( 1( 2(ccj j t c t h t Ke e d Kt -=-（5-5）理性低通滤波器的频率特性如图5-1所示，单位脉冲响应的波形如图5-2所示。2. 实际滤波器特性理想滤波器具有非因果、无限长的单位脉冲响应和不连

5、续的频率特性，要用稳定的线性时不变（LTI ）系统来实现这样的特性是不可能的。工程上是用脉冲响应为有限长的、因果的、稳定的线性时不变系统或具有连续频率特性的线性时不变系统来逼近理想特性。在满足一定的误差要求的情况下来实现理想滤波特性。因此实际的滤波器的频率特性如图5-3所示。其中 c 截止频率 s 阻带起始频率c s -过渡带宽在通带内幅度响应以1±的误差接近于1，即111( 1j c H e -+s 为阻带起始频率，在阻带内幅度响应以小于2的误差接近于零，即2( j s H e c图5-1 理想低通滤波器频率特性h(tt图5-2 理性滤波器的单位脉冲响应(0=11+1-2图5-3

6、实际滤波器的频率特性c s为了使逼近理想低通滤波器的方法成为可能，还必须提供一带宽为s c -的不为零的过渡带。在这个频带内，幅度响应从通带平滑的下落到阻带。三、设计无限长单位脉冲响应数字滤波器的常用方法常用的IIR 滤波器设计方法主要有以下几种：1. 以模拟滤波器函数为基础的变换法；即先设计一满足指定条件的模拟滤波器H(s，再将该模拟滤波器转化为数字滤波器H(z。2. 直接设计法：在z 平面内，根据零、极点对系统特性的影响，调整零极点位置得H(z。 3. 最优化设计法(计算机辅助设计 ，在某种最小化误差准则下，建立差分方程系数 a k 、b i 对理想特性的逼近方程，使用迭代方法解方程组得到

7、最佳逼近系统。由于此方法计算量大，需要借助于计算机进行设计。在本书中着重研究第一种方法，即由模拟滤波器设计数字滤波器的方法。5.2 常用模拟滤波器设计为了从模拟滤波器设计IIR 数字滤波器，必须先设计一个满足技术指标的模拟原型滤波器。设计“模拟原型”滤波器有多种方法，如模拟低通逼近有巴特沃斯（Butter worth ）型，切比雪夫（Chebyshev ）型或椭圆（Elliptic ）型。低通滤波器是最基本的，至于高通、带通、带阻等滤波器可以用频率变换的方法由低通滤波器变换得到。模拟滤波器设计就是将一组规定的设计要求，转化为相应的模拟系统函数( a H s ，使其逼近某个理想滤波器的特性。一、

8、根据幅度平方函数确定系统函数模拟滤波器幅度响应常采用“幅度平方函数”2( A 表示。22( ( ( ( a a a s j A H j H s H s =- (5-6式中( a H s 是模拟滤波器的系统函数，它是s 的有理函数。( a H j 是其稳态响应，又称为滤波器的频率响应。( a H j 是滤波器的稳态振幅特性。从模拟滤波器变换为数字滤波器是从( a H s 开始的，为此必须由已知的2 ( A 求得( a H s 。这就要将（5-6）式与s 平面的解释联系起来。设( a H s 有一临界频率（极点或零点）位于0s s =，则( a H s -必有一相应的临界频率落在0s s =-的位

9、置，即当( a H s 的临界频率是落在a jb -±位置时，则( a H s -相应的临界频率必落在a jb + 的位置。应该指出，纯虚数的临界频率必然是二阶的。在s 平面上，上述临界频率的特性如图5-4所示。所得到的对称形式称为象限对称。图中在j 轴上零点处所表示的数代表零点的阶次是二阶的。图5-4 s 平面的零极点分布任何实际的滤波器都是稳定的，因此极点必落在s 平面的左半平面。所以落于s 左半平面的极点都属于( a H s ，落于s 右半平面的极点都属于( a H s -。零点的分布与滤波器的相位特性有关。如要求最小相位特性，则应选s 平面左半平面的零点为( a H s 的零

10、点；若对相位有特殊要求，则可以以各种不同的组合来分配左半平面和右半平面的零点。综上所述，可归纳出由2( A 确定( a H s 的方法是：（1）根据（5-6）式，代入22s =-或js =-到2( A ，得到一个s 平面的函数； （2）求出第一步中所得s 函数的所有零极点，将左半平面的极点分配给( a H s ，右半平面的极点分配给( a H s -，如要求最小相位特性，则应选s 平面左半平面的零点为( a H s 的零点；若对相位没有特殊要求，则可以各种不同的组合来分配左半平面和右半平面的零点。（3）根据具体情况，对比( A 与( a H s 的低频或高频特性就可以确定出增益常数k 。 例5

11、.1 根据以下幅度平方函数2( A 确定滤波器的系统函数( a H s 。2222216(25 ( (49(36A -=+ 解：（1）根据（5-6）式，代入22s =-到2( A ，得到一个s 平面的函数；222222216(25 ( ( (49(36a a s s H s H s A s s =-+-=- （2）求出( ( a a H s H s -中所有的零极点，将左半平面极点分配给( a H s ， 极点为：7s =±，6s =± 零点为：5s j =±（二阶）选6, 7s s =-=-及一对虚轴零点5s j =±为的( a H s 极点和零点，即

12、20(25( (6(7a k s H s s s +=+ （5-7） （3）根据( A 低频特性确定出增益常数。22( ( a A H j = 22(0(0a A H =代入（5-7）式得200164k k =，即2224(25 4100( (6(7 1342a s s H s s s s s +=+ 二、巴特沃斯（Butterworth ）低通滤波器的设计巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数定义为2221|( |1NH j C =+ （5-8） 其中C 为一常数参数，N 为滤波器阶数，为归一化低通截止频率,/p =。式中N 为整数，是滤波器的阶次。巴特沃斯低通滤波器在通带内具有最大平坦的振幅特性

13、，这就是说，N 阶低通滤波器在0=处 幅度平方函数的前2N-1阶导数等于零，在阻带内的逼近是单调变化的。巴特沃斯低通滤波器的振幅特性如图5-5所示。 滤波器的特性完全由其阶数N 决定。当N 增加时，滤波器的特性曲线变得更陡峭，这时虽然由（5-8）式决定了在p =处的幅度函数总是衰减3dB ，但是它们将在通带的更大范围内接近于1，在阻带内更迅速的接近于零，因而振幅特性更接近于理想的矩形频率特性。滤波器的振幅特性对参数N 的依赖关系如图5-5所示。设归一化巴特沃斯低通滤波器的归一化频率为，归一化传递函数为( H p ，其中p j =，则由（5-6）式和（5-8）式得：2221(1(1 N Np H

14、 j C p=+- 由于221( ( (1(a a jsNcH s H s A s j =-=+ （5-9）所以巴特沃斯滤波器属于全极点滤波器。 1、常用设计巴特沃斯低通滤波器指标p ：通带截止频率； p ：通带衰减，单位：dB ； s ：阻带起始频率； s ：阻带衰减，单位：dB 。说明：（1）衰减在这里以分贝（dB ）为单位；即p图5-5 巴特沃斯低通滤波器的振幅特性图5-6 巴特沃斯低通滤波器指标222110lg10lg 1(NC H j =+（2）当3dB =时p C =为通常意义上的截止频率。 （3）在滤波器设计中常选用归一化的频率/C =，即1,p sp s pp= 2、巴特沃斯低

15、通滤波器设计实质根据设计指标要求p ，p ，s ，s 确定归一化巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数中的待定系数C 及滤波器的阶数N ；然后再根据幅度平方函数确定巴特沃斯低通滤波器的传递函数H(s。（1）将实际频率归一化得1p p p=，ss p=，再根据已知的p ，s，幅度平方函数2221|( |1N H j C =+ 确定C 和N 。（2） 求C 和N 由(2221( 10lg10lg 1(N C H j =+并带入 p ，p ，s ，s 得(222210lg 10lg 11Np p N s sC C =+= 即2222101011Np Nsp s C C=-=-因为1p =，所以210101p

16、C =-由101022ssp NsC -=-两边取对数得： lg lg sa N =其中a =这样可以求出C 和N 。注意：当3p dB =时，20.3101011011pC =-=-=，即C=1，此时巴特沃斯滤波器只剩下一个参数N 。（3）确定巴特沃斯滤波器的传递函数H(p。 由于22211( ( (1(1 1(p N NN jH p H p G j p j=-=+-+ 由21(1 0N N p +-=，解得极点为：, 1,2, ,2j k p ek N =将p 左半平面的极点赋予( H p 即121( N H p p p p p p p =-其中, 1,2, , j k p ek N =为

17、了便于设计，工程上已将当1p =时，各阶巴特沃斯低通滤波器系统函数设计成表格供查阅，该表如表5-1所示。在表5-1中的函数被称为归一化巴特沃斯原型低通滤波器系统函数。 （4）去掉归一化影响 上面设计中采用归一化的频率即1p =，而实际中截止频率为p ，所以要进行如下的变量代换：p ps p j j= 即 ( ( ps p H s H p =综上，归纳出设计巴特沃斯低通滤波器的方法如下：（1）计算归一化频率1p p p=，ss p=。 （2） 根据设计要求按照210101p C =-和lg lg saN =其中a =参数C 和阶次N ；注意当3p dB =时 C=1。（3）利用N 查表获得归一化

18、巴特沃斯低通原型滤波器的系统函数( H p ； （4）令( H p 中的psp =得到截止频率为p 的巴特沃斯低通滤波器的系统函数。 例5-2 已知滤波器的3dB 截止频率为50Hz ，试求一个二阶巴特沃斯低通滤波器的实现方案。解：根据题义，滤波器设计指标为：截止频率50c f Hz =；阶数N=2；查表得归一化低通巴特沃斯原型滤波器的系统函数为：21( 11.414H p p p =+2100c c f =rad/s，代入( H p 得：24241( ( 11.414( (s p H s H p s s =+=+例5-3 试设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求截止频率5000p f Hz =，通

19、带最大衰减3p dB =，阻带起始频率10000s f Hz =，阻带最小衰减30s dB =。解：已知225000p p f =，3p dB =，2210000s s f =，30s dB = （1）计算归一化频率1p p p=，2ss p=。 （2）计算出巴特沃斯滤波器的阶次N 及C20.3101011011pC =-=-=31.637a =则 lg lg31.637 4.982lg lg 2s a N =选择N=5。（3）利用N 查表获得归一化巴特沃斯低通原型滤波器的系统函数( H p ；54321H p p p p p p =+（4）去掉归一化影响2055448231232164205

20、s p H s H p s s s s s =+三、切比雪夫（Chebyshev ）滤波器设计巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带内还是阻带内都是频率的单调函数。因此，当通带的边界处满足指标要求时，通带内肯定会有裕量。所以，更有效的设计方法应该是将精确度均匀的分布在整个通带或阻带内，或者同时分布在两者之内。这样就可用较低阶数的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。 切比雪夫滤波器的振幅特性就具有这种等波纹特性。它有两种类型：振幅特性在通带内是等波纹的，在阻带内是单调的称为切比雪夫I 型滤波器；振幅特性在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的称为切比雪夫II 型滤波器。采用何

21、种形式的切比雪夫滤波器取决于实际用途。图5-7和图5-8分别画出了N 为奇数、偶数时的切比雪夫I 、II 型滤波器的频率特性。psp(a1(b1图5-7切比雪夫I 型滤波器的振幅特性 （a ）N=3，2dB 通带波纹的切比雪夫振幅特性 （b ）N=4，2dB 通带波纹的切比雪夫振幅特性(a1(b1图5-8 切比雪夫II 型滤波器的振幅特性ps/pp s/pp sp1、切比雪夫I 型滤波器的基本特点现在介绍切比雪夫I 型滤波器的设计，切比雪夫归一化滤波器的幅度平方函数为22221( ( 1N A H j c =+ （5-11） 为小于1的正数，表示通带内振幅波动的程度。越大，波动也越大。/p=为

22、对截止频率p 的归一化频率，p 为截止频率，也是滤波器的通带带宽（注：切比雪夫滤波器的通带带宽并不一定是3dB 带宽）。( N C x 是N 阶切比雪夫多项式，定义为11cos( 01( (1N Ncos x x C x ch Nch x x -<= （5-12） 其中1cos ( x -为反余弦函数；( ch x 为双曲余弦函数；1( ch x -为反双曲余弦函数；它们的定义如（5-13）式和（5-14）式所示2x xe e chx -+= （5-13） 1( ( ln(ch x arcch x x -= （5-14） （5-12）式可展开为多项式的形式如表5-2所示：由表5-2可归纳

23、出各阶切比雪夫多项式的递推公式为11( 2( ( N N N C x xC x C x +-=- （5-15）图5-9示出了N=0，4，5时切比雪夫多项式的特性。由图5-9可见：1. 切比雪夫多项式的零值在01x <<的间隔内。 2. 当x<1时，( 1N C x ，且具有等波纹幅度特性。 3. 在1x 的区间外，( N C x 是双曲余弦函数，随着x 而单调增加。再看函数22( N C x ，是小于1的实数，22( N C x 的值在1x 之内，将在0至2之间改变。而221( N C x +的函数值在1x 之内，将在1至21+之间改变。然后将221( N C x +取倒数，

24、即可得（5-11）式的切比雪夫I 型滤波器幅度平方函数。根据以上所述，在1，2( H j 在接近1处振荡，其最大值为1，最小值为211+。在此范围之外，随着增大，表5-2 切比雪夫多项1图5-9 切比雪夫多项式曲线22( 1N C ，则2( H j 很快接近于零。图5-7画出了切比雪夫I 型滤波器振幅特性曲线，从中可以看出：振幅特性( H j 的起伏为1，因2(11N C =，所以在1p =时， ( H j =I 型滤波器的截止频率并不对应3dB 的衰减。 2、切比雪夫I 型滤波器设计方法由（5-11）式可知，要确定切比雪夫滤波器的幅度平方函数，需要确定三个参数：, c 及N 。下面研究如何确

25、定这三个参数，具体步骤如下：(1 将实际频率归一化得1p p p=，ss p= 再根据已知的p，s ，幅度平方函数2221|( |1(N H j C =+ 确定和N 。 (2确定和N 。定义通带波纹(即通带衰减 ( （以分贝为单位）为：2221( 10lg10lg 1( (N C H j =+代入 p ，p ，s ，s 得222210lg 10lg 1( 1( N p p N s sC C =+= 即2222221( 10(1011( N p N S p s s C C ch Nch -=-=-=因为1p =，2(11N C =，所以210101p=-1010212210101101( 101

26、ssps ch Nch a -=-则 11(s ch a N ch -= 其中a =这样可以求出和N，其中1( ln ch x x -=± 在已知、N 、p 的情况下，就可以根据幅度平方函数求出滤波器的零点和极点，从而确定滤波器的系统函数。 为了设计方便，工程上已将截止频率1p =的切比雪夫低通滤波器的系统函数设计为表格供设计时查阅。归一化原型切比雪夫低通滤波器的系统函数如（5-18）式所示，设计表格如表5-3所示。210121( N NN d H p a a p a p a p p-=+ （5-18） 再次强调，表5-3是归一化1p =的结果，对于具体的c ，其系统函数( a H

27、s 可由（5-19）表5-3 归一化切比雪夫原型滤波器分母多项式设计系数式得到。( ( pp H s H p = （5-19）综上所述，设计切比雪夫低通滤波器的基本步骤如下： （1）计算归一化频率1p p p=，ss p=。 （2）根据通带波纹（通带衰减）p db ，按照210101p=-式计算；（3）根据阻带起始频率s ，阻带衰减s 和。按照1 1( (s ch a N ch -=其中a =滤波器的阶数N ；（4）根据滤波器阶数N ，查表得归一化原型切比雪夫滤波器系统函数( H p ；根据( H p 的低频特性求出待定系数0d ，注：当N为偶数时，(0H =；当N 为奇数时，(01H =。

28、（5）去掉归一化影响 根据截止频率p ，按照( ( S pp H s H p =式计算切比雪夫滤波器的系统函数( H s ；例5-4 已知通带波纹为1db ，截止频率0.3/p rad s =，阻带截止频率0.5/s rad s =，阻带衰减大于15db ，试设计满足上述性能指标的切比雪夫型低通滤波器。解：已知0.3p =，1p dB =，0.5s =，15s dB = （1）计算归一化频率1p p p=，1.6667ss p=。 （2）计算。2=-=-=（3）计算滤波器的阶数N ；10.8757a = s ch a ch N ch ch -=选定 N=3。（4）根据滤波器阶数N ，查表得归一

29、化原型切比雪夫滤波器系统函数( H p ；KH p p p p =+因为当N 为奇数时，(01H =即 (00.49131H K = 所以0.4913K =（5）去掉归一化影响320.0133pp H s H p s s s =+5.3其它各型滤波器设计一、 模拟高通滤波器设计由于滤波器的幅频特性都是偶函数，所以模拟低通滤波器( G j 和模拟高通滤波器的幅频特性( H j 如图5-10（a ）和（b ）所示。 其中：和分别是模拟低通滤波器和高通滤波器的归一化频率；观察图5-10（a ）和（b ）可知模拟低通滤波器和高通滤波器的归一化频率存在如下关系如表5-4所示。从而有：1=（5-20） 通

30、过式5-20可将高通滤波器的归一化频率转化为低通滤波器的归一化频率，同时通带和阻带衰减p 和s 保持不变。若令高通滤波器和低通滤波器的传递函数分别为( H q 和( G p ，其中q j =，p j =则111q j jj p=-=-表5-4 和间的关系p Sp S pS S图（a ） 模拟低通滤波器的幅频特性 图（b ） 模拟高通滤波器的幅频特性图5-10 模拟高通滤波器设计即 11( ( p H q G p G q=-=-由于( G p 是偶函数所以1( ( p qH q G p =上式即为将模拟低通滤波器变换为高通滤波器的变换关系。 在经过去归一化得( ( ( p pp ss q H s

31、 H q G p = （5-21）这样即得到模拟高通滤波器的传递函数。由模拟低通滤波器变换为高通滤波器的方法归纳如下： 1、将频率归一化；2、将高通滤波器的指标映射为低通滤波器的指标； 3、根据低通滤波器的指标设计低通滤波器；4、根据( ( p p H s G p =求高通滤波器的传递函数。例5-5 设计一高通模拟滤波器，要求100p f Hz =，3p dB =，50s f Hz =，30s dB =，用巴特沃斯滤波器设计。 解1、 先将频率归一化，得1p pp=，0.5ss p= 2、 利用=作频率转化将高通滤波器的指标映射为低通滤波器的指标，得11p p=，12s s=由已知知3p dB

32、=，30s dB =3、 根据上述低通滤波器的指标设计低通巴特沃斯滤波器，得C=1，N=5，查表可得归一化转移函数为54321G p p p p p p =+4、 根据( ( p p H s G p =求高通滤波器的传递函数，其中200p p s s=带入上式得 553463921113=+二、带通滤波器设计模拟带通滤波器的四个频率参数分别是sl ，1，3，sh 。其中1，3分别是通带下限和上限截止频率。sl ，sh 分别是阻带的下限、上限频率，下面进行归一化处理。 定义通带带宽31BW =-，并以该频率为参考频率对轴作归一化处理，即11BW =，33BW =，sl sl BW =，sh sh

33、 BW= 再定义阻带中心频率2213=，归一化为：2213=。 归一化频率的带通滤波器幅频特性如图5-11（b ）所示，低通滤波器的幅频特性如图5-11（b ）所示。 表5-5给出了和间的关系 由上图可知：1、 由于在轴上有2213=即2321=，也就是说在轴上1关于2的对称点为2321=；则在23 之间的任意一点关于2的对称点应为22'=；2、在23 之间的任意一点映射为轴上的对应点在0p 之间的，22映射为-，于是得到和间的对应关系为：223122p-=- 表5-5 和间的关系p ssh3p s sl12(a 低通滤波器的幅频特性（b ）带通滤波器的幅频特性由于311-=，1p =

34、，所以有222-= 参见表(5-22从而实现带通滤波器与低通滤波器讲的频率变换。我们利用低通滤波器的指标p ，s ，p ，s ，可以设计出低通滤波器的传递函数( G p 。并设带通滤波器的传递函数为( H q ，其中q j =，p j =，则222222222( ( q j q p j j j q j q-+=即 222( ( q p H q G p +=去掉归一化影响得213222213231( (BWBW BW s BW q s s q p qs s =+ +=- 所以21331( ( s p s H s G p +=-=这样，所求的带通滤波器的传递函数就可以求出。注意，N 阶低通滤波器转

35、换到带通后，阶次变为2N 。现归纳模拟带通滤波器设计方法如下： 1、将频率归一化；2、将带通滤波器的指标映射为低通滤波器的指标； 3、根据低通滤波器的指标设计低通滤波器；4、根据21331( ( s p s H s G p +=-=求带通滤波器的传递函数。例5-6 设计一切比雪夫带通滤波器，要求带宽为200HZ ，中心频率为1000HZ ，通带衰减不大于1dB ，在频率小于830 HZ或大于1200 Hz衰减不小于15 dB。解由题意可知2200BW =，221000=，1p dB =，2830sl =，21200sh =，15s dB =。1、将频率归一化，有222225BW = ，4.15

36、sl sl BW =，6sh shBW =，有311-=和2213=，可求出14.525=，35.525=。2、利用222223231p -=，221211p -=-2221.833sh s sh -=，2221.874sl s sl-=-注意：（1）1p =可以直接给出不需要计算，这是由变换方法本社决定的。（2）在一般情况下，s 和s -会稍有些不同，我们可以取s 的绝对值较小者，即1.833s =，至此我们得到了设计低通滤波器的全部指标，即1p =，1p dB=，1.833s =，15s dB =。3、根据上述指标设计切比雪夫低通滤波器，得1210100.2589p-=a = = s ch

37、 a N ch -=注意：1( ln(ch x x -= 取3N =。根据N 及2查表得归一化切比雪夫低通滤波器为32KG p p p p =+ 因为当N 为奇数时(01G =即(010.4973KG =所以 0.4913K =即 320.4913G p p p p =+4、求带通传递函数( H s2222221323141000( 2200( ( ( ( BWs s s p p p s s s H s G p G p G p +=-=5.3 从模拟滤波器设计数字滤波器的方法从模拟滤波器设计IIR 数字滤波器就是要由模拟滤波器的系统函数( a H s 进一步求得( H z 。归根结底是一个由s

38、 平面到z 平面的变换。这个变换应遵循两个基本的目标。(1 H(z的频响必须要模仿( a H s 的频响，也即s 平面的虚轴j 应该映射到z 平面的单位圆上。(2 ( a H s 的因果稳定性，通过映射后仍应在所得到的H(z中保持，也即s 平面的左半平面应该映射到z 平面单位圆以内。从模拟滤波器映射(变换 成数字滤波器有四种方法：(1微分-差分变换法；(2脉冲响应不变变换法；(3双线性变换法；(4匹配z 变换法。由于(1，(4两种方法都有一定的局限性，工程上常用的是脉冲响应不变变换法和双线性变换法两种。一、脉冲响应不变变换法1. 变换原理 脉冲响应不变变换法又称为标准z 变换法。它是保证从模拟

39、滤波器变换所得的数字滤波器的单位取样响应h(n是相应的模拟滤波器的单位脉冲响应( a h t 的等间隔取样值，即( ( a h n h nT = (5-20如图5-10所示，这T 为取样周期。( a h t 的拉氏变换为 ( a a L h t H s =h(nT的z 变换即为数字滤波器的系统函数H(z。( Z h nT H z =z 变换和拉氏变换之间的关系可知12( ( ( sTa z e m H z H s j m H s T T=-=+= （5-21） 即时域的取样，使连续时间信号的拉氏变换( a H s 在s 平面上沿虚轴周期延拓，然后再经过sTz e =的映射关系，将( a H s

40、 映射到z 平面上，即得H(z。第二章讨论sTz e =的映射关系表明:s平面上每一宽为2/T 的条带，都将重叠地映射到整个z平面上。而每一条带的左半部分映射在z 平面单位圆以内，条带的右半部分映射到单位圆外。s 平面的虚轴映射到单位圆上，但是j 轴上的每一段2/T 的虚轴，都对应于绕单位圆一周。所以按照脉冲响应不变变换法，从s 平面到z 平面的映射不是单值关系，千万不可错误地认为经过sTz e=t图5-10 脉冲响应不变法示意图的简单代数变换即可由( a H s 得到 H(z。这里除了这一变换之外，还同时含有将( a H s 以2/T 为周期对( a H s 作周期延拓的过程。脉冲响应不变变

41、换法s 平面与z 平面的映射关系如图5-11所示。由(5-21式可得数字滤波器与模拟滤波器频率响应之间关系为12( ( j a m H e H j j m T T T=-=+ 即数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。如果模拟滤波器的频响是限带于折叠频率之内的，即( 0a H j T= 这时才使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内，重现模拟滤波器的频率响应而不产生混叠失真。 但是任何实际的模拟滤波器，都不是带宽绝对有限的，因此，通过脉冲响应不变变换法所得的数字滤波器就不可避免地要出现频谱的混叠失真，如图5-12所示。只有当模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减很大，混叠失真很小时，采用脉冲

42、响应不变法设计的数字滤波器才能满足精度的要求。 应该注意，在设计中，当滤波器的指标用数字域频率给定时，不能用减小T 的办法解决混叠问题。如设计一截止频率为c 的低通滤波器，则要求相应模拟滤波器的截止频率为/c c T =，T 减小时，只有让c 同倍数的增大，才能保证给定的c 不变。T 减小使带域/, /T T -加宽了，但c 也同倍数加宽，所以如果在带域/, /T T -外有非零的( a H s 值，即/c T >，则不论如何减小T ，由于c 与T 成同样倍数变化，总还是/c T >，不能解决混叠问题；2. 模拟滤波器的数字化在脉冲响应不变变换法设计中，由一个较为复杂的模拟系统函数

43、(或脉冲响应 求出数字滤波器系统函数(或单位取样响应 是一个很麻烦的变换过程。因为乘积的z 变换并不等于各部分变换的乘积，所以在这里不宜采用级联分解。但各项和的z 变换是线性关系，因而用部分分式表达系统函数，c T0c 图5-12 脉冲响应不变法中的频率混叠现象图5-11 脉冲响应不变法s 平面与z 平面关系Rez Imj z特别适合于对复杂模拟系统函数的变换。现实的系统通常是分母的阶数N 高于分子的阶数M ，这时系统若只有单极点(若不是单极点情况，则求逆拉氏变换要复杂一些 ，则可将模拟滤波器的系统函数( a H s 表达为如下的部分分式形式1( Nia i iA H s s s =+ (5-

44、22 相应的单位脉冲响应是11( ( i Ns ta a ii h t L H s Ae u t -= 式中( u t 是单位阶跃响应。根据脉冲响应不变变换法的意义，数字滤波器的单位取样响应是11( ( ( ( (i i Ns nTa ii Ns T n i i h n h nT Ae u n A e u n -=-=数字滤波器的系统函数H(z则为01( ( i Ns nT nni n n i H z h n zAe z -=-= (5-23 1111( 1i i NNs Tnii s Ti n i A A ez ez-=-将上式与(5-22式相比可见，由( a H s 至( H z 间的变换

45、关系为11i i i i i s T s Ti A A A zs s e z z e-=+- （5-24） (5-24式说明：(1( a H s 与H(z的各部分分式的系数是相同的均为i A ；(2极点是以sTz e =的关系进行映射的。( a H s 的i s s =-极点变成了H(z的i s Tz e-=的极点；(3( a H s 与H(z间的零点没有一一对应的关系，一般说来，它是由极点和各系数i A 决定的一个函数关系。3. 脉冲响应不变法的修正由（5-21）时可知：时域取样后的频谱幅值是原来信号频谱特性幅值的1/T倍，频率将以2/s T =为周期进行延拓。由于取样时间一般很小，会造成1

46、/T较大，即取样后的信号频谱幅值过大，为了修正这一问题，雷道和戈尔德提出在进行时域取样时取( ( a h n Th nT =，这样(5-23式修正为11( 1i Nis T i AT H z e z -=-（5-24） 根据以上分析可知，脉冲响应不变变换法的设计步骤可以不必再经历( ( ( ( a a H s h t h nT H z 的过程，而是直接将( a H s 写成许多单极点的部分分式之和的形式，然后将各个部分分式用(5-24式的关系进行替代，即可得所需的数字滤波器系统函数H(z。脉冲响应不变法设计步骤1、按照给定的数字滤波器的设计指标，利用模拟滤波器设计技术设计原型模拟滤波器，得 (

47、s H a 。（如果是非低通滤波器则需进行变换） 2、把 (s H a 分解成部分分式求和形式=-=Ni iia s s A s H 1 (，其中：i s 是系统极点。（求出极点和系数 i i A s , ）3、用变换式：1111-ze s s T s i i 对 (s H a 进行变换，得数字滤波器系统函数=-=Ni T s iz e A T z H i 111 (。 例5-7 已知模拟滤波器的系统传递函数为22( ( s aH s s a b+=+ 试使用脉冲响应不变法将上述传递函数转变为数字滤波器的传递函数。解；1、将( a H s 化成部分因式和的形式：22( ( a s a H s

48、s a b s a bj s a bj+=+- 2、系统的极点为： 1p s a bj =-，2p s a bj =-+3、根据（5-24）式可知脉冲响应不变法设计的数字滤波器的系统函数为( 1( 1( 11a bj Ta bj TTTH z ez ez -+-=+-例5-8已知数字系统采样频率为500Hz 。要求所设计的低通数字滤波器的3dB 截止频率为50Hz 。试采用脉冲响应不变法设计一个二阶数字巴特沃斯低通滤波器。 解：1、 根据题义，数字滤波器设计指标为：截止频率50Hz ；阶数N=2；采样频率500Hz 。选择滤波器逼近函数为Butterworth 二阶函数；查表得：21( 11.

49、414H p p p =+2100/c c f rad s = ，代入得：424100100cs p H s H p s s =+2、求系统的极点：1. 2221. 2222, 1j s ±-=，将 (s H 部分分式展开得：1. 2221. 222(4441. 2221. 222(444 (j s j s s H a -+-=3、3102500-=T ，得444. 0444. 01j Ts e e +-=和444. 0444. 02j T s e e -=代入变换式，进行变换得：e z -+-=-4、整理成标准形式得：211411. 0(16. 11245. 0 (-=zz z z

50、 H 4. 脉冲响应不变法的优缺点脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变化是线性的，即T =。因此，如果模拟滤波器的频响是限带于折叠频率以内的话，则通过变化后所得的数字滤波器的频响可以不失真的反映原频率响应的关系脉冲响应不变法最大缺点是有频谱周期延拓效应，因此只能用于限带的频响特性，如衰减特性较好的低通或带通滤波器的设计。对于高通、带通滤波器，由于它们在高频部分不衰减，当一定要追求频率响应线性而采用脉冲响应不变法时，必须先对模拟高通、带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频率，然后再转变为数字滤波器以避免混叠失真。二、双线性变换法1. 变换原理双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换方法。为了克服脉冲响应不变法的多值映射这一缺点，我们首先把整个s 平面压缩变换到某一中介的1s 平面的一横带里（宽度为2/T ，即从/T -到/T ），然后再通过上面讨论过的标准变换关系sTz e =将此横带变换到整个z 平面上去，这样就使s 平面与z 平面是一一对应的关系，消