附录：张量分析

1、内容梗概内容梗概换标符ij排列符e erst 符号ij符号erst哑标求和约定:多项简写自由标:多个方程简写自由标【坐标变换揭示各类量的性质、张量方程的特点等】张量分析引论张量分析引论 力学中常用的物理量分成三类三类： 标量标量只有大小没有方向性的物理量： 温度T、密度、时间t等。 矢量矢量既有大小又有方向性的物理量： 矢径r r、位移u u、速度v v、力F F等。 张量张量具有多重方向性的物理量：应力张量、应变张量等（常用黑体表示）A.1 A.1 矢量和张量的记法，求和约定矢量和张量的记法，求和约定张量分析以简洁的表达形式和清晰的推导过程描述复杂问题，被近代力学文献和教科书普遍采用。本附录

2、着重介绍笛卡儿坐标系和正交曲线坐标系中的张量。(1)(1)实体记法：实体记法： u u 矢(张)量的三种记法：位移u u为例三三种种记记法法iiieu31u uu1e e1 1+u2e e2 2+u3e e3=分量和基矢量(2)(2)分解式记法：分解式记法：(3)(3)分量记法：分量记法： ui(i1，2，3)的集合张量是具有多个分量的复杂物理量，为表达简洁，需引入一些记号记号和约定约定指标符号指标符号： 对于一组性质相关的对于一组性质相关的n n个量用个量用相同的字母相同的字母加不同的指标符号加不同的指标符号来表示来表示约约 定：定：若不标明取值范围 拉丁指标i,j,k,3D（取值1，2，3

3、） 希腊指标, 2D（取值1，2） 指标符号指标符号 a a的n个分量 al，a2，an (比如n维空间中的加速度) 可缩写成 ai(i1，2，n) i1，2,n;为指标的取值范围；n是空间维数W = fs = f 1s1+f 2s2+f 3s3 = f is ii=13记x, y , z 为x1, x2, x3, xi ; 各轴的基矢为e e1,e e2,e e3, e ei,; 矢量v v 的分量记为v1, v2, v3, vi,; 应力分量 ij ; 其它例子：举例举例例如例如 线性变换的表达式为：用哑标代替求和号用哑标代替求和号，( (A A4)4) 式简化成式简化成通过通过哑指标哑指

4、标可把可把多个项多个项缩写成缩写成一项一项代数方程组求解、坐标变换，及一点处的应力、应变等，都含有代数方程组求解、坐标变换，及一点处的应力、应变等，都含有大量的分量大量的分量；利用指标符号可以大大利用指标符号可以大大地简化表达式地简化表达式。爱因斯坦爱因斯坦( (A AEinstein)Einstein)求和约定：求和约定： 如果在表达式的如果在表达式的某项某项中，中，某指标某指标重复地出现重复地出现两次两次，则该项在该指标的取值范围，则该项在该指标的取值范围内内 遍历求和。该重复指标称为哑指标，简称遍历求和。该重复指标称为哑指标，简称哑标哑标（如（如j j）。一、求和约定、哑标一、求和约定、

5、哑标【利用哑标可把多个项缩写成一项】二、自由标二、自由标自由指标自由指标：在表达式或方程中的：在表达式或方程中的不同项内不同项内重复出现的重复出现的同名指标同名指标自由指标只表示对取值范围轮流取值，无论其取何字母，关系式始终成立；二、自由标二、自由标【利用自由标方程组可进一步缩写成】 (2)(2)自由指标必须自由指标必须整体换名整体换名 方程或表达式中的同名自由指标需全部改为同一个新名字; 而哑指标可以成对地局部换名 例例：通过通过自由指标自由指标又把又把多个方程多个方程缩写成缩写成一个方程一个方程换自由指标时应注意( (A A5)5)（只要k和i的取值范围相同）因此(A5)式通过换标，可写成

6、： (1)(1)同时取值的指标同时取值的指标必须同名必须同名，独立取值的指标应防止重名，独立取值的指标应防止重名 例例： c=a+b=c=a+b=(a1+b1)e e1+(a2+b2)e e2+(a3+b3)e e3 ci=ai+bi 或 ck=ak+bk【指标符号的正确用法】 同一项中出现两对（或两对（或几对几对）的不同哑标，表示重复求和。(共九项求和) 指标符号也适用于微分表达式微分表达式。例如，三维空间中线元长度ds和其分量dxi之间的关系 三、其他应用举例三、其他应用举例 若对在同项内同项内出现两次以上两次以上的指标进行遍历求和，一般应加求和号，或者，在多余指标下加一横，表示该指标不计

7、指标数。如： 当自由指标在同项内出现两次时，应申明该指标不求和。或者，在其中一个指标下加一横，表示该指标不求和。例如：saii原表示sa11+a22+a33 , 但如果ai特定取值时(A12)式可成立，如 可取(a1，a2，a3)=(1，0，0) b1 c1 ：通过哑指标哑指标可把多多个个项项缩写成一项一项，通过自由指标自由指标又把多多个个方程方程缩写成一个方程一个方程。指标符号使书写简洁，但也必须小心，因为许多重要的含义往往只表现在指标的细微变化上。 一般地说，不能由等式“两边消去两边消去a ai i(A13)(A12)1 1同理，若取(a1，a2，a3)=(0，1，0) b2 c2 (a1

8、，a2，a3)=(0，0，1) b3 c3 所以(A13)式成立的前提是“ai任意”而不是简单地“消去ai” 本节介绍两个张量分析中的常用符号本节介绍两个张量分析中的常用符号一、符号一、符号ij ，称为，称为“Kronecker deltaKronecker delta”【使重复下标求和约定更加方便】 ij的分量集合对应于单位矩阵。例如，的分量集合对应于单位矩阵。例如，3 3D D： ij定义定义： 定义表明它对指标定义表明它对指标i i和和j j是对称的，即是对称的，即 ij具有换标作用（换标符号）具有换标作用（换标符号） 即利用即利用ij可以把线元长度平方的公式改写成可以把线元长度平方的公

9、式改写成: : A.2 符号符号ij与与e erst ij的性质：的性质：ij起换标作用：起换标作用：如果如果符号的两个指标之一和符号的两个指标之一和同项中同项中其他因子的某其他因子的某指标相重指标相重，则该因子的那个相，则该因子的那个相重指标可重指标可替换成替换成的另一个指标的另一个指标，而，而自动消失。自动消失。 11dx1dx1+12dx1dx2+13dx1dx3 +21dx2dx1+22dx2dx2+ 23dx2dx3 +31dx3dx1+32dx3dx2+ 33dx3dx3利用利用ij定义，可以验证：定义，可以验证：同理有：同理有：练习练习 11dx1dx1+22dx2dx2+33d

10、x3dx3 dx1dx1+dx2dx2+dx3dx3 dxidxi 二、排列（置换）符号二、排列（置换）符号e erst 符号符号e erst三种三种定义：定义： 当三个指标轮流换位时(相当于指标连续对换偶次)， erst 的值不变：erst称为排列符号排列符号或置换符号置换符号。它共有27个元素，其中只有三个元素为l，三个元素为一l，其余的元素都是0。 定义表明， erst 对任何两个指标都是反对称的（相当于指标互换奇次），即： e e 恒等式：恒等式：上式按行列式相乘展开，并注意到有一对哑标，如有一对哑标，如r=i，则按行列式展开则按行列式展开有二对哑标，再令有二对哑标，再令t=k，则则有

11、二对哑标，如再令有二对哑标，如再令s=j，则则导得：1 1正交标准化基，具有重要性质：正交标准化基，具有重要性质：其中，i，j，k的正序排列对应右手系，逆序排列对应左手系。三、三、 ij与与e erst的的应用实例：应用实例：(3)(3)当ei，ej ，ek 构成右手系时有 当ei， ej ，ek 构成左手系时有用erst 统一写成：(1)(1)每个基矢量的模为：(2)(2)不同基矢量互相正交：用ij 统一写成：2 2两个矢量的两个矢量的点积点积( (标量标量) )：【ij】3 3两个矢量的两个矢量的叉积叉积( (矢量矢量) ) ： 【erst】 a a=aje ej ; b b=bke ek 应用ij与e