经典不等式证明的基本方法

1、不等式和绝对值不等式一、不等式1、不等式的基本性质：、对称性： 传递性：_ 、 ，a+cb+c 、ab， ， 那么acbc； ab， ，那么acbc 、ab0， 那么，acbd 、a>b>0，那么an>bn.（条件 ） 、 ab0 那么 （条件 ）2、基本不等式定理1 如果a, bR, 那么 a2+b22ab.当且仅当a=b时等号成立。定理2（基本不等式） 如果a，b>0，那么当且仅当a=b时，等号成立。即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。结论：已知x, y都是正数。（1）如果积xy是定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值2 ；（2）如果和x+y是定值s，那么当

2、x=y时，积xy有最大值小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时， 一 定要满足“一正二定三相等”的条件。3、三个正数的算术-几何平均不等式二、绝对值不等式1、绝对值三角不等式 实数a的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离：任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，那么|a-b|的几何意义是A、B两点间的距离。定理1 如果a, b是实数，则 |a+b|a|+|b| ， 当且仅当ab0时，等号成立。（绝对值三角不等式）如果a, b是实数，那么 |a|-|b|a±b|a|+|b|定理2 如果a, b, c是实数，那么 |a-c

3、|a-b|+|b-c| ， 当且仅当(a-b)(b-c)0时，等号成立。2、绝对值不等式的解法（1）|ax+b|c和|ax+b|c(c>0)型不等式的解法：换元法：令t=ax+b, 转化为|t|c和|t|c型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。分段讨论法： 用绝对值不等式的几何意义 零点分区间法 构造函数法典型例题例1 解不等式例2 解不等式|x+3|-|x-3|>3。例3  解不等式|x2-3|x|-3|<1。例4 求使不等式|x-4|+|x-3|<a有解的a的取值范围。例5 不等式证明的基本方法知识点一：比较法比较法是证明不等式的最基本最常用的方法，可分

4、为作差比较法和作商比较法。1、作差比较法常用于多项式大小的比较，通过作差变形（分解因式、配方、拆、拼项等）判断符号（判断差与0的大小关系）得结论（确定被减式与减式的大小.理论依据：；。一般步骤：第一步：作差；第二步：变形；常采用配方、因式分解等恒等变形手段；第三步：判断差的符号；就是确定差是大于零，还是等于零，小于零. 如果差的符号无法确定，应根据题目的要求分类讨论.第四步：得出结论。注意：其中判断差的符号是目的，变形是关键。2、作商比较法常用于单项式大小的比较，当两式同为正时，通过作商变形（约分、化简）判断商与1的大小得结论（确定被除式与除式的大小）. 理论依据：若、，则有；.基本步骤:第一

5、步：判定要比较两式子的符号第二步：作商第三步：变形；常采用约分、化简等变形手段；第四步：判定商式大于1或等于1或小于1。如果商与1的大小关系无法确定,应根据题目的要求分类讨论.第五步：得出结论。注意：作商比较法一般适合含“幂”、“指数”的式子比较大小。知识点二：分析法分析法是从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立，或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种方法.思维过程：“执果索因”.证明格式：要证，只需证，只需证，因为成立，所以原不等式得证。适用题型：当所证的不等式的结论与所给条件间联系不明确，常常采用分析法证明不等

6、式。知识点三：综合法综合法是从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明的命题。 思维过程：“执因索果”适用题型：当所证的不等式的条件形式或不等式两端的形式与不等式的性质、定理有直接联系时，常常采用综合法证明不等式. 知识点四：反证法反证法首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的结论正确。适用题型：适合证明“存在性问题、唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.理论依据：命题“p”与命题“非p”

7、一真、一假。注意：反证法解题的实质是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确。在否定结论时，其反面要找对、找全.知识点五：放缩法放缩法是指在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当的放大（或缩小），以此来简化不等式，达到证明的目的。理论依据：不等式的传递性：a>b,b>ca>c，找到不等号的两边的中间量，从而使不等式成立。注意：应用放缩法时，放大（缩小）一定要适当。规律方法指导1、不等式证明的常用方法： 比较法，综合法，分析法，反证法，放缩法，换元法等。2、反证法的证明步骤： 否定结论：假设命题的结论不成立，即结论的反面成立；推出矛盾：由结论反面成立出发，通过一系列正确的

8、推理，导出矛盾；否定假设：由正确的推导导出了矛盾，说明假设不成立；肯定结论：原命题正确。3、放缩法的常用技巧： 在恒等式中舍掉或者加进一些项；在分式中放大或缩小分子或分母；例如：应用函数的单调性、有界性等性质进行放缩；例如：f(x)为增函数，则f(x-1)<f(x)<f(x+1)应用基本不等式进行放缩。例如：若，则有；若，则有。这两个结论是实现“累差法”、“累商法”、“降幂”等转化的重要手段经典例题透析类型一：比较法证明不等式1、用作差比较法证明下列不等式： （1）；（2） (a，b均为正数，且ab)思路点拨：（1）中不等号两边是关于a,b,c的多项式，作差后因式分解的前途不大光明

9、，但注意到如a2, b2, ab这样的结构，考虑配方来说明符号；（2）中作差后重新分组进行因式分解。证明：（1） 当且仅当a=b=c时等号成立， （当且仅当a=b=c取等号）.（2） a>0, b>0, ab, a+b>0, (a-b)2>0, ， .总结升华：作差，变形（分解因式、配方等），判断差的符号，这是作差比较法证明不等式的常用方法。举一反三：【变式1】证明下列不等式：(1)a2+b2+22(a+b)(2)a2+b2+c2+32(a+b+c)(3)a2+b2ab+a+b-1【变式2】已知a，b，x，y，且a+b=1，求证：ax2+by2(ax+by)22、用作商

10、比较法证明下列不等式： （1） (a，b均为正实数，且ab)（2）（a，b，c，且a，b，c互不相等）证明：（1）a3+b3>0, a2b+ab2>0. ， a, b为不等正数， （2）证明： 不妨设a>b>c，则 所以，总结升华：当不等号两边均是正数乘积或指数式时，常用这种方法，目的是约分化简. 作商比较法的基本步骤:判定式子的符号并作商变形 判定商式大于1或等于1或小于1 结论。举一反三：【变式1】已知a>2，b>2，求证：a+b<ab【变式2】已知a，b均为正实数，求证：aabbabba类型二：综合法证明不等式3、a, b, c是不全相等的正数，

11、求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc证明：法一：由b2+c22bc, a>0,得a(b2+c2)2abc，同理b(c2+a2)2abc，c(a2+b2)2abca,b,c不全相等，上述三个等号不同时成立，三式相加有：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.法二：a，b，c是不全相等的正数，a(b2+c2), b(c2+a2), c(a2+b2)均为正数，由三个数的平均不等式得：a(b2+c2)+b(c2+a2)+ c(a2+b2)不等式成立.总结升华：综合法是由因导果，从已知出发，根据已有的定义、定理，逐步推出欲证的不等

12、式成立。举一反三：【变式1】a , b, mR+，且a<b，求证：.4、若a>b>0，求证：.思路点拨：不等号左边是一个各项皆正的“和的形式”，但左侧是两项而右侧都出现了特征数“3”.因此启发我们将左侧拆成3项的和利用平均值定理.证明：， a>b>0, a-b>0, b>0, , ,（当且仅当，即a=2，b=1的等号成立）举一反三：【变式】x, y,zR+, 求证：类型三：分析法证明不等式5、已知a,b>0，且2c>a+b，求证：证明：要证，只需证：即证：，a2-2ac+c2<c2-ab，即证a2+ab<2ac，a>0，只

13、需证a+b<2c已知上式成立，原不等式成立。总结升华： 1分析法是从求证的不等式出发，分析使之成立的条件，把证不等式转化为判断这些条件是否具备的 问题，若能肯定这些条件都成立，就可断定原不等式成立。2分析法在不等式证明中占有重要地位，是解决数学问题的一种重要思想方法。3基本思路：执果索因4. 格式：要证，只需证，只需证，因为成立，所以原不等式得证。举一反三：【变式1】求证：a3+b3>a2b+ab2(a，b均为正数，且ab)【变式2】a , b, mR+，且a<b，求证：.【变式3】求证：【变式4】设x>0，y>0，xy，求证：类型四：反证法证明不等式6、已知a,

14、b,c(0,1)，求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a，至少有一个不大于。思路点拨：此题目若直接证，从何处入手？对于这样正面情况较为复杂的问题，可以考虑使用反证法。证明：假设原结论不成立，即，则三式相乘有：又0<a,b,c<1, .同理有：，以上三式相乘得，这与矛盾，假设错误，原结论成立。总结升华：反证法的基本思路是：“假设矛盾肯定”，采用反证法证明不等式时，从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理都必须是正确的。由于本题题目的结论是：三个数中“至少有一个不大于”，情况比较复杂，会出现多个由异向不等式组成的不等式组，一一证明十分繁杂，而对结论的否定是三个数“都

15、大于”，结构简单明了，为推出矛盾提供了方便，故采用反证法是适宜的。举一反三：【变式】已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0类型五：放缩法证明不等式7、若a,b,c,dR+，求证：思路点拨：记中间4个分式之和的值为m，显然，通过通分求出m的值再与1、2比大小是困难的，可考虑运用放缩法把异分母化成同分母。证明：记a,b,c,dR+，1<m<2，即原式成立。总结升华：证后半部分，还可用“糖水公式”，即进行放缩。常用的放缩技巧主要有： f(x)为增函数，则f(x-1)<f(x)<f(x+1)； 分式放缩如； 根式放缩如

16、举一反三：【变式1】求证：【变式2】 当n>2时，求证：logn(n-1)logn(n+1)<1类型六：其他证明不等式的方法1. 构造函数法8、已知a>2，b>2，求证：a+b<ab证明：令y=f(a)=a+b-ab=(1-b)a+b，1-b<0，f(a)是减函数当a>2时，f(a)<f(2)=2-b<0 a+b<ab总结升华：不等式证明方法很灵活。分析不等式的结构特点，构造函数，借助函数单调性，使问题变得非常简单。举一反三：【变式】已知a3，求证：。类型六：一题多证13、若a>0，b>0，求证：思路点拨：由于a>0，b>0，所以求证