应力状态及应变状态分析

1、第七章 应力状态及应变状态分析第一节 概 述在第一章中将应力定义为内力的集度或单位面积的内力值。应力又分正应力和剪应力两种。前面各章的知识表明，受力杆件中任一点的应力是随截面位置及点的位置的不同而不同，如7-1（a）中a、b两点分别在两个截面上，其应力是不同的。同一截面上的各点，如图7-1（b）中b、c两点的应力一般情况下也是不同的。同一点不同方向的应力也是不同的。过一点各个方向上的应力情况称为该点的应力状态，应力状态分析就是要研究杆件中某一点（特别是危险点）各个方向上的应力之间的关系，确定该点处的最大正应力和最大剪应力，为强度计算提供重要依据。研究应力状态的方法是过杆件中的任一点取出一个微小

2、的六面体单元体。如图7-1（a）中过a点取出的单元体放大如图7-2所示。单元体三个方向的边长很小且趋于零，则该单元体代表一点，即a点，互相平行的平面上的正应力相等，剪应力也相等。杆件在任意荷载作用下，从中所取出的单元体表面上一般既有正应为又有剪应力，如图7-2所示。当图7-2所示的单元体各面上的即六个面上均没有剪应力作用时，这种面叫做特殊平面，并定义为主平面。该主平面上作用的正应力称为主应力，用表示（），如图7-3所示。各面均为主平面的单元体，称为主单元体。三个主应力中若有两个等于零一个不等于零，该单元体称为单向应力状态，如图7-4（a）；三个主应力中有一个等于零，两个不等于零，该单元体称为二

3、向应力状态，如图7-4（b）；三个主应力均不等于零，该单元体称为三向应力状态，如7-3。单向应力状态和二向应力状态属平面应力状态，三向应力状态属空间应力状态。单向应力状态又称为简单应力状态，二向三向应力状态又称为复杂应力状态。若从受力杆件中取出的单元体（如图7-5）各面都没有正应力，而单元体承受侧面（abba）上分布的剪应力作用，为了满足的平衡条件，则在另一个侧面（cddc）上必须作用有大小相等且方向相反的剪应力，但是这一对剪应力的合力组成一个力偶，对轴z会产生力偶矩，那么，上、下两个平面(acca, bddb）上也应有剪应力组成一个对z轴的力偶矩，以保持单元体的平衡，并且由推导可得。这就表明

4、，在互相垂直的二平面上的剪应力的数值相等，且都指向（或背离）该二平面的交线。这就是在第三章中介绍的剪应力互等定理。图7-5所示的单元体的应力状态叫纯剪应力状态。剪应力互等定理不仅对于纯剪应力状态的单元体是成立的，而且对于既有正应力又有剪应力作用的单元体是成立的，因此，图7-2上的各剪应力有的关系。本章主要研究二向应力状态下任意斜截面上的应力；最大正应力及作用平面方向；最大剪应力及作用平面方向；平面应变状态的应变分析；复杂应力状态下应力与应变的关系。这些都是杆件强度计算的基础，也是实验应力分析的基础。第二节 二向应力状态下的应力分析（解析法）图7-6（a）所示的单元体是二向应力状态下的一般单元体

5、，因为有一对平面为主平面，而且主平面上的主应力等于零，属二向应力状态，也属平面问题，可以用平面图7-6（b）来表示。均已知，以受拉为正，以使研究对象绕另一端作顺时针转动趋势为正。2.1 斜截面上的应力任意截面ef的外法线与作用面的外法线之间的夹角为（逆时针转为正，顺时针转为负），该斜截面上一般有两个应力，即正应力和剪应力。我们可以用截面法来求。取出ebf部分为为研究对象（如图7-6（c），假设ef面的面积为dA，则eb面的面积为,bf面的面积为。选择nOt轴。由可得即 （a）代入以下的三角函数关系：可得 （7-2-1） 由，整理后可得 （7-2-2）由式（7-2-1）、（7-2-2）可以求出二

6、向应力状态下任一斜截面上的应力。2.2 主应力、及作用平面方向由式（7-2-1）、（7-2-2）可以看出，因都是已知常量，故和均为的函数，用求极值的方法求的极值以及它们所在截面位置。由可得即 （b）但由式（7-2-2）知即有 式（b）说明，在剪应力的平面上，正应力是极值，即它比单元体上任何其它截面上的正应力都要大（或都要小）。在第一节中已经提到，我们通常把这种剪应力等于零的平面叫主平面，而把作用在主平面上的正应力叫做主应力。因此最大最小正应力也叫主应力。将式（b）进一步简化为若用表示主平面的外法线与x轴之间的夹角，并代入上式，即可得到 （7-2-3）由式（7-2-3）可确定主平面的位置，其中的

7、有两个根。因，说明和都满足式（7-2-3），即处于二向应力状态的单元体上有两个主平面，且是互相垂直的。下面推导计算主应力数值的公式。将和的值代入式（7-2-1）得到、值，经过化简后得 （7-2-4）式（7-2-4）是计算主应力数值的公式。显然，在二向应力状态下求得的这两个主应力和是分别作用在二互相垂直的主平面上。至于是作用在二个主平面的哪一个主平面上，是作用在哪一个主平面上，还必须进一步判断，才能确定每个主应力的具体方向。确定主应力具体方向的方法很多，这里我们介绍其中的一种。由式（7-2-3）可看出，的极限是（相应于），即总是小于或等于90°，因此总是小于或等于45°的锐角

8、，即由确定方向的那个主应力总是偏向于和中的较大者，较小的主应力偏向于和中的较小者，因此，我们归纳出确定主应力方向的具体规则如下：当时，是与之间的夹角；当时，是与（或）之间的夹角；当时，主应力的方向可由单元体上的应力情况直观判断出来。将式（7-2-4）中包含的二式相加，可得到如下的关系 （7-2-5）式（7-2-5）说明在与同一主平面垂直的所有截面中，任意二互相垂直的截面上的正应力之和为常数。利用这一关系可检查主应力的计算结果是否正确，实验应力分析中有时也会用到它。2.3 、 及作用平面的方向欲求、的值，对求导并令其为零。即 （c）若用表示最大剪应力所在平面的外法线n与x轴之间的夹角，则由式（c

9、）得出 (7-2-6)式（7-2-6）可以解出两个角度，即和，从而确定两个互相垂直的平面，分别作用着最大和最小剪应力。有时也将最大剪应力及最小剪应力称为主剪应力。将式（7-2-6）与式（7-2-3）比较，可知即 或 （d）这说明最大剪应力所在平面与主平面相交成45°角。求的值可以将的值代入式（7-2-2），进行化简后得最大和最小剪应力的值 （7-2-7）将式（7-2-7）与式（7-2-4）比较，可见最大、最小剪应力与主应力在数值上的关系是单元体上最大、最小剪应力的数值等于最大主应力与最小主应力之差的一半。当单元体的三个主应力按代数值排列是时，最大、最小剪应力的计算公式应为 （7-2-

10、8）例题7-1 图7-7（a）所示单元体，试用解析法求时斜截面上的应力，主应力大小及主平面方向，最大、最小剪应力及作用平面方向。解 （1）利用公式（7-2-1）、（7-2-2）求斜截面上的应力 （2）利用公式（7-2-3）、（7-2-4）求主平面方向及主应力大小。 由于还有一个主应力为零（二向应力状态），且主应力应按代数值排列。三个主应力正确的排列应为 根据确定主应力方向的具体规则可知，应该是之间的夹角为，与之间的夹角也为。见图7-7（b）。（3）由式（d）及式（7-2-8）可得到最大、最小剪应力的值及其作用平面或最大、最小剪应力分别作用在和的平面上，剪应力的方向可以由单元体的主应力的箭头直观

11、判断，如图7-7（b）所示。2.4 二向应力状态的两个特例（1）当图示7-6（a）单元体的时，即为单向应力状态（如图7-4（a），式（7-2-1）、（7-2-2）化简为下式 （7-2-9）当时，当时，（2）当图示7-6（a）单元体的，即为纯剪应力状态（如图7-5）式（7-2-1）、（7-2-2）化简为 （7-2-10）第三节 二向应力状态下的应力分析（图解法）若对式（7-2-1）作如下的变动并将上式及式（7-2-2）的等号两边分别平方相加，即可得到 （7-3-1）图7-8（a）所示的单元体，、都是已知量，故式（7-3-1）中等号的右端为一常量。由解析几何知识可知，式（7-3-1）为一圆方程。若

12、取直角坐标系并以横轴为轴，纵轴为轴，则式（7-3-1）所代表的圆的圆心在轴上，且离坐标原点的距离为；圆的半径为。我们把这种圆叫做应力圆或莫尔（O.Mohr）圆。下面介绍怎样根据已知单元体上的、作出应力圆，以及怎样应用应力圆求单元体任意斜截面上的应力、，最大、最小正应力及作用平面方向，最大、最小剪应力及作用平面方向。取直角坐标系，并以横坐标代表（向右为正），以纵坐标代表（向上为正）。在坐标轴上按比例量取，得到点D1；量得到点。作直线连接、并与轴交于C点，以点C为圆心，为直径作一圆，如图7-8（b）所示。它就是表示图7-8（a）所示单元体的二向应力状态的应力圆。作出的应力圆应满足式（7-3-1）证

13、明如下：圆心C在轴上，故此圆的圆心到原点O的距离为。在直角三角形CA1D1中，因，故，即为圆的半径。它们都满足式（7-3-1）利用应力圆可求得单元体任意斜截面上的应力。例如我们要求图7-8（a）所示单元体的任意斜面截ef(它的外向法线和作用面的外法线间的夹角为)上的应力和。从式（7-2-1）和（7-2-2）可以看出，和都随2的正弦和余弦而变。故当单元体与斜截面的角度为时，在应力圆中应从D1（，）开始，按单元体上的转动方向量一弧长，并使其所对应的圆心角为2，在圆弧上得到点E，点E的横坐标和纵坐标就分别代表ef面上的和。证明如下：上式右边部分与式（7-2-1）的右边部分完全相同，即。同时可以证明。

14、故应力圆圆周上点E的坐标即代表ef斜截面上的应力情况。以上分析表明，表示应力状态的单元体面上的应力和应力圆圆周上的点有着相互的对应关系，单元体上二截面的外向法线夹角为时，则在应力圆上与此二截面相对应的两点之间的圆弧所对应的圆心角为2，且它们的转向相同。应力圆圆周上各点的纵、横坐标代表着单元体相应面上的应力。应力圆圆周上横坐标最大的点为A点，最小的点为B点，所以且A、B点的纵坐标为零（即）因此。证明如下它和解析法得到的式（7-2-4）相同。另外，我们也可由图7-8（b）求得主应力的方向。因D1CA为与所夹的角的两倍（即），而由D1转至A是顺时针转角，故应为负值。据此，我们只要在单元体上，自的方向

15、按顺时针转向量一角度就可得到主应力的方向，的方向则与的方向垂直，如图7-8（c）中所示。证明如下：由图7-8（b）可以看出即 它和公式（7-2-3）完全相同。为了避免量角，也可用另一种方法得到的方向。如图7-8（b）所示，由点（其坐标表示外法线为x轴的面上的应力）作垂直于轴的直线与圆周交于另一点K，连BK线（从几何关系容易证明ABK=），在单元体上作与BK线平行的线，即为的方向线，至于表示方向的箭头则由的正负号来决定。通常我们把点K叫做主点，把上面这种求主应力方向的图解法叫做主点法。图7-8（b）所示的应力圆上纵坐标最大的点为点，最小的点为点,即,。证明如下：即最大、最小剪应力的数值等于应力圆

16、的半径，它的方向与主平面的方向在单元体上成45°角（因为应力圆上CD与CA之间的夹角是90°）。例7-2 图7-7（a）所示单元体，试用应力圆求时斜截面上的应力，最大正应力及作用面方向，最大剪应力及作用面方向。解 作应力圆按比例尺量 D1 D2连D1 D2直线交轴于点C，以C为圆心D1 D2为直径作圆，该圆即为单元体的应力圆。如图7-9。从应力圆的点D1起按单元体上的转动方向在应力圆上量D1E弧所对应的中心角等于，圆周上E点的横坐标，纵坐标。圆周上横坐标最大的点是A点，最小的点是B点，则：过D1点在垂直方向上作延长线交圆周于另一点K，连BK直线，即为的方向线，的方向与垂直。

17、最大、最小剪应力即为应力圆的半径。，作用平面与主平面成45°的夹角。例7-3 图7-10（a）所示单元体为纯剪应力状态，若剪应力试用应力圆求其主应力的数值和方向。解 作应力圆，由，在坐标系中作出点D1。由，在坐标系中作出点D2。连D1D2交轴于C点（与坐标原点重合），以点C为圆心D1D2为直径作圆，即为纯剪应力状态单元体的应力圆。如图7-10（b）所示。在应力圆（如图7-10（b）上可直接量得主应力的大小为；从D1点在垂直方向上作延长线交圆周于另一点K，连BK直线，即为的方向线，从单元体上作BK的平行线，即得的方向，的方向与垂直。第四节 梁的应力状态分析、主应力轨迹线4.1 梁的应力

18、状态分析若从图7-11（a）所示的梁中某一截面上的某一点K取出单元体如图7-11（b）所示。点K所在的截面位置及点K到中性层的距离均为已知，则K单元体上的应力可以用式（7-1-2）和式（7-3-2）分别求出，。因为梁纵向截面上的正应力忽略不计（互不挤压，因此），而梁前后两个面（即纸平面）为自由表面，则单元体abcd平面上既没有剪应力又没有正应力，这种无剪应力的平面又叫主平面，主应力，因此，该单元体属于二向应力状态，可用平面图（如图7-11（c）表示。对于图7-11（c）所示的单元体，可以用二向应力状态应力分析中的式（7-2-1）和式（7-2-2）求其任意斜截面上的应力 （1）同时也可用式（7-

19、2-3）、（7-2-4）求解单元体的主应力大小及主平面方向： （2） （3）也可以运用图解法（应力圆）求解类似图7-11（c）单元体的主应力大小和主平面方向。例7-4 有一悬臂梁如图7-12（a）所示。试求距自由端400mm的截面k-k上A、B、C、D、E五点的主应力数值和主平面位置。解 （1）解析法在梁k-k截面上的内力为：梁横截面的惯性矩为：在梁k-k截面的A、B、C、D、E五点处取单元体如图7-12（b）所示。（a）求点A的主应力因 ， 根据定义，的平面为主平面，作用在主平面上的正应力为主应力，故在点A处的主应力为：且点A处于单向应力状态，在该点处的横截面和纵截面就是主平面。将点A 的主

20、应力表示在单元体上，如图7-12（b）所示。（b）求点B的主应力因 , 将它们代入式（7-2-4）计算主应力的数值，可得MPa由式（7-2-3）求主应力的方向：解得 或 运用前面所述判断主应力方向的规则进行分析。因在点B处，故必偏向于，且两者相交成小于45°的锐角，可见应是与之间的夹角。在点B的单元体上，由x轴开始向反时针方向转即可得到作用的主平面的外法线n，从而确定的方向及其所在主平面的位置。另一主应力的方向及其所在主平面的位置则分别与的方向及其所在的主平面位置垂直。将点B的主应力、的方向和所在主平面的位置表示在单元体上，如图7-12（b）中所示。可见点B是处于二向应力状态。（c）

21、求点C的主应力按同样的方法可得 , 主应力的方向： 运用判断主应力方向的规则进行分析。因在点C处，故和既不偏向于也不偏向于，这时可根据剪应力的方向来判断。从图7-12（b）所示点C处的单元体图可直观地看出，应与x轴相交成角，则应与x轴相交成角，这与力的合成规律相符合。将点C处的主应力和的方向和所在的主平面位置表示在单元体上，如图7-12（b）中所示。因点C在梁的中性层上，故由上述结果可知，在梁中性层上的任一点，其主应力大小与过该点横截面上的剪应力大小相等，且主应力方向与x轴（梁轴线）相交成45°。因在这种单元体的四个面上只作用有剪应力而没有正应力，故是处于纯剪应力状态。（d）求点D的

22、主应力按相同的方法求得：,，；，。因，故偏向于，即为与间的夹角。在点D的单元体上，从x轴开始向顺时针方向转一角度，即得到作用的主平面的外向法线n。从而确定了主应力、的方向及其所在主平面的位置，如图7-12（b）中所示。（e）求点E的主应力按相同方法求得：,，。与点A类似，点E也处于单向应力状态，该点处的横截面和纵截面即为主平面。将点E的主应力和主平面表示在单元体上，如图7-12（b）所示。（2）图解法我们也可用应力圆求梁内各单元体上主应力的数值和方向。在图7-12（c）中作出表示A、B、C、D、E各点应力状态的应力圆，在这些应力圆上可量出主应力的数值和画出主应力的方向。通过本例题中对梁同一横截

23、面上五点的应力状态分析，可对梁在横力弯曲时各点的应力状态有比较全面的了解。梁的上、下边缘上的各点均属单向应力状态；梁的中性层上各点一般情况下均属纯剪应力状态；其它各点属二向应力状态，且。或， ，计算梁内任意一点的主应力时可将式（2）、式（3）改写为 （4） （5）本例题还说明，在梁内任意一点一般有两个主应力，必然是一个为拉应力，另一个为压应力，二者的方向是互相垂直的。4.2 主应力轨迹线对于任一平面结构，我们都可求出其任意一点的两个主应力的大小及方向。由例题7-4还可看出沿梁高不同点处主应力方向的变化也是有一定规律的。掌握构件内主应力方向的变化规律，对结构设计非常有用。例如在设计钢筋混凝土梁时

24、，若已知梁中主应力方向的变化情况，即可判断梁上裂缝可能发生的方向，从而恰当地配置钢筋，更有效地发挥钢筋的抗拉作用。在工程设计中，有时需要根据构件上各计算点的主应力方向，绘制出两组彼此正交的曲线，在这些曲线上任意一点的切线方向即为该点的主应力方向。我们把这种曲线叫做主应力轨迹线。其中的一组是的轨迹线（主拉应力轨迹线），另一组是的轨迹线（主压应力轨迹线）。图7-13表示了绘制梁的主应力轨迹线的方法。首先如图7-13（a）所示，对梁取若干个横截面，且在每个横截面上选定若干个计算点，然后求出每个计算点处的主拉应力和主压应力的大小和方向，再按各点处的主应力方向绘出梁的主应力轨迹线，如图7-13（b）所示

25、，其中的实线是主拉应力的轨迹线，虚线是主压应力的轨迹线。通过对梁的主应力轨迹线的分析可以看出，对于承受均布荷载的简支梁，在梁的上、下边缘附近（跨中部分）的主应力轨迹线是水平线；在梁的中性层处，主应力轨迹线的倾角为45°。因水平方向的主拉应力可能使梁发生竖向的裂缝，倾斜方向的主拉应力可能使梁发生斜向的裂缝。故在钢筋混凝土梁中，不但要配置纵向抗拉钢筋，而且常常还要配置如图7-13（c）中所示的斜向弯起钢筋。同样，可绘出受集中荷载作用的悬臂梁的主应力轨迹线（如图7-14（a）及钢筋混凝土梁的配筋图（如图7-14（b）。第五节 三向应力状态下应力分析简介和研究二向应力状态一样，对于三向应力状

26、态的分析，也有解析法和图解法。本节只对三向应力状态的分析作简单的介绍。设已知三向应力状态的三个主应力、和（如图7-15（a），求过这一点的任一斜截面上的应力情况。我们首先研究与一个主应力（例如）平行的斜截面（如图7-15（a）上的应力情况。因方向与所截截面平行的主应力在该截面上既不能引起正应力也不能引起剪应力，故在这些平行于的截面上的应力只决定于和。在这种特殊情况下，这些截面上的和的求法就和在二向应力状态时一样，可用由和作出的应力圆上的各点来表示（如图7-15（b）。同理，与的方向平行的各截面上的应力，可用由和作出的应力圆上的各点来表示；与的方向平行的各截面上的应力，可用由和作出的应力圆上的各

27、点来表示。这样，三个应力圆上各点的坐标值（如图7-15（b）就代表着在单元体内与任一主应力的方向平行的截面上的正应力和剪应力。至于与三个主应力的方向都不平行的任意斜截面，可以证明，它们上面的应力将由图7-15（b）中阴影部分上的各点D的坐标来表示。从图7-15（b）中可明显地看出：在三向应力状态下，单元体的最大正应力就是最大应力圆上点A的横坐标所表示的主应力，既最小主应力就是最大应力圆上点C的横坐标所表示的主应为，即而最大剪应力等于最大应力圆D0的坐标所表示的剪应力，其大小等于最大应力圆的半径所代表的数值（或最大主应力与最小主应力的差的一半），且作用在与此二主应力的方向成45°角的截

28、面上，即例题7-5 已知图7-16（a ）所示单元体上的主应力，。试用应力圆求此单元体内的最大剪应力及其作用面，以及在其作用面上的正应力数值。解 根据、作出三向应力圆，如图7-16（b）所示。从图中可直接看出最大剪应力的大小等于圆半径所代表的数值，即其作用面与和的作用面成45°角（如图7-16（a）中的阴影面所示）。在此作用面上的正应力为第六节 平面应变状态下的应变分析上面研究了构件中一点处的应力状态，现在再研究构件中一点处的应变状态。在第一章中对应变作过定义，应变分为线应变、剪应变二种。单位长度上的变形叫线应变，用表示；直角的改变量叫剪应变，用表示。所谓一点处的应变状态，

29、是指构件内一点在各个不同方向上的应变情况。当构件内某点的所有应变都发生在同一平面内时，称该点的应变状态为平面应变状态，我们着重介绍平面应变状态下的应变分析。6.1任意方向的应变设点O为我们要求得其应变状态的点，且其在xOy坐标内的线应变、和剪应变。为求得点O沿任意方向的正应变，可将xOy坐标系绕点O旋转一角（规定以逆时针方向转动为正），得到一新坐标系，如图7-17（a）所示，直角的变化即为相应的剪应变。因我们研究的是小变形问题，故可先分别算出由各应变分量、单独存在时的，然后再按叠加原理将它们叠加起来以求得、同时存在时的线应变。用类似的办法可求得。首先推导线应变的表达式。如图7-17（b）所示，

30、从点O沿方向取一微段，并以它作为矩形OAPB的对角线，命矩形的边长分别为dx与dy，则有 （a）在只有的情况下，假设OB边不动，矩形OAPB在变形后将成为，。因是小变形，的伸长可看做为 （b）由线应变定义可得点O处沿方向的线应变为 （c）在只有的情况下（如图7-17（c），假设OA边不动，矩形OAPB在变形后成为，。同样因是小变形，的伸长 （d）从而可得点O沿方向的线应变为 （e）最后研究只有剪应变的情况（如图7-17（d）。假设矩形OAPB的OA边固定不动，在发生剪应变后它变成菱形，且。在此情况下，的伸长量为 （f）从而可得点O沿方向的线应变为 （g） 同样还可证明，当矩形OAPB的OB边固

31、定不动，或OA、OB两边都不固定时，也可得到式（g）所示的结果。按叠加原理，当、和同时存在时，点O沿方向的线应变应等于式（c）、（e）、(g)的代数和，即 （7-6-1a）经过三角函数关系的变换后可得 （7-6-1b）下面再推导剪应变的表达式。因剪应变是指直角的变化，故应研究在图7-17（b）、（c）、（d）所示三种变形情况下，沿轴和轴的边OP和OQ的转角，它们的代数和即等于剪应变，且根据对剪应变的正负号规定，使原直角减小者为正号的剪应变，使原直角增大者为负号的剪应变。在只有正值的的情况下（如图7-17(b)），假设OB边不动，从变形前的矩形OAPB的对角线OP转向变形后矩形的对角线的转角可看

32、做为 （h）此转角使直角增大了，故为负值。至于沿轴方向的微段在上述变形下的转角，可将上式中的角代之以角求得，即 （i）上式中的负号表明角的转向与角相反，即角也使直角，故同样为负值。此二转角之和即为剪应变，即 （j）此式表明，当为正值时为负值。同理可导出：在只有正值的的情况下（如图7-17（c）的剪应变 （k）为正值，表示。在只有正值的情况下（如图7-17（d）的剪应变 （l）根据叠加原理，当、同时存在时，有 （7-6-2a）或 （7-6-2b）6.2 应变圆将表示、的式（7-6-1b）、（7-6-2b）与表示、的式（7-2-1）、（7-2-2）比较，可知它们是相似的，只需将式（7-2-1）、（

33、7-2-2）中的，代以，；，代以，即可得式（7-6-1b），（7-6-2b）。故与应力圆表示一点的应力状态相似，也可用应变圆表示一点的应变状态。但应注意在画坐标轴时，表示线应变的横坐标的正向仍指向右方，而表示角应变的一半的纵坐标的正向应指向下方，如图7-18所示。在应变圆上的点D1，其横坐标代表沿x轴方向的线应变，纵坐标则代表xOy轴的直角改变量的一半，即剪应变的一半；而在圆上的点D2，即通过点D1的直径的另一端点，其横坐标代表沿y轴方向的线应变，纵坐标则代表xOy轴旋转了90°以后的直角改变量的一半，即。显然，若已知一点处的三个应变分量，和，即可在坐标系中定出D1，D2两点，以D1

34、D2为直径作出相应的应变圆。6.3 主应变和最大剪应变由图7-18可以看出，应变圆与坐标轴的二交点A1和A2的纵坐标都为零，它们的横坐标分别代表一点处的最大和最小线应变，我们称它们为主应变，并用符号、表示，因在应变圆上A1，A2两点间的圆心角为180°，故、方向之间的夹角为,即互相垂直。从应变圆还可导出如下的表达式主应变 （7-6-3）主应变方向与x轴间的夹角 （7-6-4）最大剪应变 （7-6-5）在弹性范围内，各向同性材料中任一点的主应力指向与相应的主应变方向是一致的。例题7-6 已知构件表面某点处的应变，试求该点的主应变的数值和方向。解（1）求该点主应变的数值 （2）求主应变的

35、方向 本题也可用图解法求解。由图7-19中所示的应变圆可以量得它们与前面用解析法所得的结果相比，其微小的误差是由图解误差所引起的，在容许范围之内。第七节 应力与应变的关系7.1 单向应力状态下应力与应变的关系 图7-20所示的单元体处于单向应力状态，在主应力作用下，单元体是要产生变形的，在沿的方向上要伸长，在垂直于的方向上，即y轴和z轴方向上也要变形（缩短）。第一章所给出的定义是单位长度上的变形叫线应变，在方向上的线应变叫纵向线应变，用表示；垂直于方向的线应变叫横向线应变，用表示。实验证明当正应力不太大时，和是成正比的，即或 （7-7-1）式（7-7-1）称为胡克定律，E为材料的弹性模量（单位

36、是N/m2）。 横向线应变和纵向线应变也是成正比的，即 （7-7-2）式中为材料常数，称为泊松比。为正值，而与符号相反，因此，此值应加绝对值符号。7.2 纯剪应力状态下应力与应变的关系图7-21所示的单元体为纯剪应力状态，在剪应力作用下，产生的变形是剪应变，即直角的改变量。实验证明当剪应力不太大时，剪应力与剪应变也是成正比的，即 或 （7-7-3）式（7-7-3）称为剪切胡克定律，G为剪切弹性模量，单位为N/。7.3 复杂应力状态下应力与应变的关系下面我们进一步研究在三向应力状态下的应力和应变之间的关系。图7-22（a）表示从受力构件中取出的一个单元体，因同时受到正应力和剪应力的作用，将同时产

37、生线应变和角应变。可以证明，在小变形情况下，剪应力所引起的线应变与正应力所引起的线应变相比，是高阶微量，可忽略不计。故可认为，正应力只产生线应变，剪应力只产生角应变，二者互不影响，从而可根据叠加原理，把图7-22（a）所示的三向应力状态看做是只单独作用有正应力（如图7-22（b）和只单独作用有剪应力（如图7-22(c)）的两种情况的叠加。在图7-22（b）所示的单元体上同时作用有正应力、和，需要利用叠加原理计算由它们所引起的线应变、和。将图7-22（b）所示的三向应力情况，分解为三个单向应力情况，如图7-23中的实线图形所示。首先分析沿x轴方向（即的方向）发生的线应变：当单独作用时，在x轴方向

38、引起的线应变是相对伸长（参看图7-23（a）当单独作用时，在x轴方向引起的线应变是横向缩短（参看图7-23（b）当单独作用时，在x轴方向引起的线应变也是横向缩短（参看图7-23（c）故当正应力、共同作用时，在x轴方向引起的线应变为同样可求出沿y轴方向和沿z轴方向的线应变和。将它们排列在一起，即得 (7-7-4)剪应力、与剪应变、之间，仍具有式（7-7-3）所示的关系。它们表达出空间应力状态下的应力、应变之间的关系，称为广义胡克定律的表达式。若改用应变来表示应力，则由式（7-7-4）可得： (7-7-5)式中，,。当取出的单元体为主单元体，其上作用的主应力为、时，广义胡克定律也可写成如下的形式

39、(7-7-6)在二向应力状态下，式（7-7-5）和（7-7-4）可化简为 （7-7-7）和 （7-7-8）式（7-7-7）和（7-7-8）不仅在求解结构中的某些应力问题和应变问题时要经常用到，而且在实验应力分析中也很有用。例如只要用仪器测出试件上某些测点处的线应变和，即可用式（7-7-7）计算出这些测点的应力。例题7-7 在对图7-24所示的某船闸人字闸门进行原型观测时，通过电测法量测到板上面点k处的应变是（压缩）与（拉伸）。试用式（7-7-7）求点k处的正应力、。已知人字闸门面板的材料为Q235钢，其拉压弹性模量，横向变形系数（泊松比）。解 将、和的数值代入广义胡克定律的表达式（7-7-7）

40、，即可得出面板上点k处的正应力和：7.4 体积应变当单元体处在复杂应力状态时，其体积也将发生变化。设单元体各边的原长分别为dx、dy、dz,则在变形前单元体的原体积为在变形后单元体的体积变为故单位体积的改变或体积应变 （7-7-9a）将式（7-7-6）中的三个主应变代入式（7-7-9a）中，则得 （7-7-9b）当三个主应力相等，即时，则（7-7-9b）变为式中 （7-7-10）称为体积变形系数。由式（7-7-9b）可以看到，体积的改变仅取决于三个主应力之和，而不取决于它们之间大小的比例。若将图7-25（a）中所示单元体的应力情况分解为如图7-25（b）、（c）所示的两种应力情况，则可看出：在

41、图7-25（b）所示的情况下，因在单元体的各面上都作用着数值相等的主应力显然其各个主应变也都相等，故单元体只会发生体积改变而不会发生形状改变。在图7-25（c）所示的情况下，因作用在单元体上的三个主应力之和等于零，故根据式（7-7-9b），单元体没有体积改变而只会发生形状改变。由此可知，图7-25（a）中所示单元体变形时，其变形将同时包括体积改变和形状改变。例题7-8 边长为的混凝土块，很密合地放在绝对刚硬的凹座里，并承受轴向压力 (如图7-26)，试求刚凹座壁上所受的压力，以及混凝土块内所产生的应力。已知混凝土的泊松比。解 当混凝土块受到轴向压力P作用时，它要发生横向变形，但这种变形受到了刚

42、体凹座的限制，放在凹座上会产生反力Nx和Nz（设力P沿y轴方向作用）。由于对称关系，所有作用在立体上的力都将相交于一点，静力平衡方程都变成了00的恒等式。现在转过来研究弹性变形，因凹座是绝对刚硬的，混凝土块在里面不能发生（在x轴和z轴方向上的）横向变形，即由式（7-7-4）可得 （a）此外有 （b）解联立方程组（a）得到以a2遍乘各项，并代入有关数值得到故在混凝土块里的应力为习 题7-1 试用解析法及图解法求图示各单元体中指定斜截面上的正应力和剪应力。7-2 试用解析法及图解法求图示各单元体的主应力的数值、方向和最大剪应力的数值。7-3 已知平面应力状态下某点处的两个截面上的应力如图7-3所示

43、。试利用应力圆求该点处的主应力值和主平面方位，并求出此两截面间的夹角值。7-4 某点处的应力如图所示，设 、值为已知，试考虑如何根据已知数据直接作出应力圆。7-5 单元体各面上的应力如图所示（应力单位为）。试用应力圆求主应力及最大剪应力。7-6 已知一点处应力状态的应力圆如图所示。试用单元体表示出该点处的应力状态，并在该单元体上绘出应力圆上A点所代表的截面。7-7 对图中所示的梁进行试验时，测得梁上点A处的应变为。若梁材料的弹性模量，泊松比试求梁上点A处的正应力。7-8 从构件上测得某点的应变为=，试求该点的主应变数值和方向。7-9 用电测法测得构件上某点的应变为，试求主应变的数值和方向。7-

44、10 用试验的方法测得梁上某点处的应变为，。试求该点的主应变数值和方向。7-11 有一处于二向应力状态下的单元体，两个主应力的大小相等且，材料的弹性模量，泊松比。试求单元体的三个主应变，并用应变圆求出其最大剪应变。7-12 用直角应变花测得构件表面上一点处三个方向的线应变分别为，试作应变圆，求该点处的主应变数值和方向。7-13 图示一处在三向应力状态下的单元体。已知三个主应力为：，。（a）试求此单元体的最大剪应力的大小和所在截面位置。（b）若材料的泊松比，弹性模量，试求此单元体的最大线应变（绝对值）。7-14 图示一体积为的立方体铝块，放入宽度正好是的钢槽中。设在立方体顶面施加的压力，铝的横向

45、变形系数。钢槽的变形可以忽略不计，试求铝块的三个主应力。7-15 有一直径的实心钢球。若使它承受均匀的静水压力，它的体积会减小多少（已知钢的，答 案7-1 （a）（b）（c）（d）7-2 （a）（b）（c）（d） （e）（f）（g）（h）7-3 7-7 7-8 ，第七章 小结及学习指导1、应力状态概念：受力杆件中任一点的各个不同截面上的应力情况，称为该点的应力状态。应力状态分析主要是找出各类（特别点）的最大正应力，最小正应力，最大剪应力，为了杆件能进行强度计算。从杆件中取出单元体（正立面体）有三对互相垂直的平面，若平面上没有剪应力作用，则该面称主平面，若六个面上均无剪应力作用，该单元体称为主单

46、元体。主单元体上作用的正应力称为主应力，主应力用、。单元体一般有三个主应力。三个主应力中有任意二个为零，一个主应力不为零，该单元体称为单向应力状态。三个主应中有任意一个为零，二个主应力不为零，称为二向应力状态。三个主应力均不为零，称为三向应力状态。单向应力状态和二向应力状态又称为平面应力状态，三向应力状态称为空间应力状态，又可以将单向应力状态称为简单应力状态，二向应力状态与三向应力状态，称为复杂应力状态。2、平面应力状态的应力分析平面应力状态包括单向和二向应力状态。应力分析的目的主要解决三个问题，求任意斜截面上的应力；最大、最小正应力（即主应力）及作用平面方向；最大最小剪应力及作用平面方向。解决的方法有解析法和图解法。（1） 解析法： 任一斜截面上的应力：主应力大小及主平面方向：（为主平面方向角）最大最小剪应力：（为 或 作用平面的方向角）（2）图解法