多元函数条件极值的几种求解方法

1、多元函数条件极值的几种求解方法本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条 件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括 了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还 着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决 冋题的途径。关键词极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式Multivariate function of several conditional extreme valuesolutionAbstractThis paper m

2、ainly discusses the multivariable function conditional extreme value problem solving, including the unconditional extreme value, conditional extreme value con cept of multivariate function is in troduced, and several methods of solving condition limit the wraparound, including direct generation into

3、 law, Lagra nge multiplier method, methods of cauchy in equality, in cludi ng Lagra nge multiplier method also in troduces the differe ntial and sec on d-order partial derivative namely Hesse matrix method, etc. This paper introduces the multivariable fun cti on about sol ving several methods of con

4、 diti onal extreme value, which can provide in sol ving the releva nt questi on readers may be refere nee whe n, find the appropriate way to solve the problem. Mea nwhile in troduc ing method also has some deficie ncies in its done, and further discussi on.Key wordsExtreme; Lagra nge multiplier meth

5、od; Cauchy in equalityI函数极值问题已广泛地出现于数学、物理、化学等学科中，且它 涉及的知识面非常广，所以就要求学生有较高的分析能力和逻辑推理 能力，同时也要求学生掌握多种求函数极值的方法，因此对函数极值 的研究是非常必要的。函数极值的求解与发展极大的推动了微积分学科的发展，为其做出了重大贡献。微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问 题。有四种主要类型的科学问题：第一类是，已知物体的移动的距离 表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变 化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求 曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，

6、确定炮弹的最大射程以及 求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、 极小值问题 也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、 行星矢径扫过 的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引 力等微积分基本问题的计算被重新研究。同样在很多工程实际中，我们经常需要做一些优化。举个简单 的例子，就拿天气预报来说吧，通过实验测得很多气象数据，那么我 们怎么处理这些数据，或者说用什么方法处理这些数据， 才能达到预 测结果最为准确呢，这其实也是一个广义上的极值问题。 还有就是经 济学的投资问题，我们知道现在国家搞什么高铁、高速公路的，都是 浩大的工程，动不动就几百亿的，如何合理布局

7、才能让这些公共基础 建设的利远大于弊。一般实际问题都是一个或者一组多元函数，那么研究清楚这些问 题，对我们的工程实际将有莫大的裨益。通过对求解多元函数条件极值问题的研究， 从中找到求出极值的 不同方法，在不同的实际应用中对相关问题运用与其相适应的方法， 从而在解决问题的过程达到最优化。学生在遇到不同的问题时能够从 中找到突破口，能让这些求解放法扎根于学生的思维中，运用到学生 的实际问题中去，并且在解决实际问题的同时，自己的思维能力以及 解题能力得到较好的发展。2多元函数极值2.1在解决实际问题中，我们已经看到了最大值最小值的重要性。求函数的最大值、最小值时，涉及到函数的自变量往往不止一个，因此

8、， 就需要求多元函数的最大值、最小值。而最大值与最小值与极值有着 密切的联系。首先我们给出多元函数的极值概念， 并利用一元函数极 值的性质，推断出多元函数极值的性质。定义2.1设函数z = f(x, y)在点po(xo, yo)的某邻域u(p。)内有定 义，若对任何 p(x,y)u(p°)，都有 f(p)(po)(或 f(p)Af(po)。则称 函数g在点Po取到极大(或极小)值，点Po称为f的极大(或极小) 值点。极大值(极小值)统称极值，极大值点(极小值点)统称为极 值点。由定义知，若f在点(Xo,yo)取极值，则当固定y = yo时，一元函数 f (x, yo)必定在x=x取相

9、同的极值，若fx(Xo, yo)也存在，利用一元函数 取极值的必要条件知 f(x,yo) =0，即fx©o，yo) = O。同理一元函数dxx仝f(x, yo)在y=y°也取相同的极值，若f；(xo,yo)=O也存在，则fx(Xo,y°)=O, 因此有定理2.1 2(极值的必要条件)若函数f在点Po(xo，yo)存在偏导数 且在Po取极值，则有fx(xo，y。)=O, fy(xo，y。)=O( 2.11)反之，若函数f在点Po满足(2.11)，则称点Po为f的稳定点或 驻点。若f存在偏导数，则其极值点必是稳定点，但反之不一定成立。 例 f (x, y)二xy， f

10、x(x,y) =y, fy(x, y) =x,但 f (x, y)在点 o(O, O)处不取极值。 这是因为在o(O,O)点的任何一个邻域u(o)中，若p u(o)，当p在一，三 象限时，f(P) O。当p在二四象限时，f(p)：O。因此，f(O,O)不是极 值。若f (x, y)在点(xo, yo)取极值，f (x, y)的偏导数只有两种情形：(i) fx(x°,yo), fy(xo,y。)都存在，则 fx(Xo,yo)=o, fy(xo,yo)=o。即 点Po(x), yo)为稳定点。(ii ) fx(xo, yo), fy(x°, yo)至少有一个不存在。因此，f (

11、x, y)的极值点一定包含在稳定点火偏导数不存在点统称为极值点的怀疑点之中例2.1设f (x, y) =、, x2y2, f (x, y)存在点(0,0)处偏导数不存在，但 (x,y)R时，有f(x,y) _ f(0,0) = 0,因此，f (0,0)为极小值。极值点的 怀疑点找出来后，若是偏导数不存在的点(心丫。)，可用函数值不等式 来检验点(x0,y°)是否为极值点；若是稳定点，我们又下面的定理。定理2.2 31 (极值的充分条件)设函数z=f(x,y)在点(x°,y°)的某 邻域u(p。)连续且有一阶 与二阶连续偏导 数，如果fx(x0,y。)=0， fy

12、(x。，y。)=0，设 A 二 fxx(x0,y°),B 二 fxy(x°,y°),C 二 fyy(x0,y。)，贝S(1) 当B2 -AC <0时，f(x0，y。) 一定为极值，并且当A (或C ) 0 时，f(x°,y°)为极小值；当A (或C ) <0时，f(x0,y。)为极大值；(2) 当B2-AC0时，f(x0,y。)不是极值；(3) 当B2 -AD =0 ,还不能断定仁心)是否为极值，须作进一步 研究。由前述定理知，若f(p)在有界闭区域G上连续，则f(p)在G上一 定能取到最大值与最小值。即存在 Pi,P2，G,有f(

13、p)=m, f(y) = M , 对一切 p G，有 mf(p)二 M。最大值，最小值也可以在边界点取到，也可以在内部取到。当在 内部取到时，最大值、最小值点一定是极值点，则一定是稳定点或偏 导数不存在点。因此，最大值、最小值点一定包含在区域内部的稳定点和偏导数 不存在点的点及边界点(边界函数值最大值与最小值点)之中(注意 与区间端点不同的是闭区域G的边界点又无数个，若G R2，边界点 是边界曲线上的点，若G R3，边界点是边界曲线上的点，若G R3,边界点是曲面上的点），这些怀疑点中函数值中的最大者即为函数的 最大值，最小者即为函数的最小值。若根据实际问题一定有最大值（或最小值），而内部有唯

14、一可疑 点，则改点的函数无须判断一定是最大值（或最小值）。例2.2设D是由x轴，y轴及直线x y = 2二所围成的三角形区域 （图2.1 ）求函数u = sin x sin y sin（x y）在D上的最大值。解：由函数无偏导数不存在的点，图2.1 例题2.2示意图解方程组CU/丄 C=cosxcos（x + y） =0进（定理2.1）:U/、 Ccosy -cos（x y） = 0解得X二j, y二亠，33而在边界x =0或y =0或x y =2二上，u =0。因此（,）是唯一的可疑点，所以为u（互互）=口 最大值333322.2多元函数条件极值前面我们讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目

15、标函数的定义域。但在实际问题中还有另外一中类型的极值问题，其极值点的搜索范围还受到许多条件限制。例如要设计一个容量为V的长方体无上盖水箱，试问水箱长、宽、 高各等于多少时，其所用的材料最少（即表面积最小）。设水箱的长、 宽、高分别为x, y, z,则表面积为s（x, y,z） =2（xz yz） xy （ 3.1）定义域是x 0, y 0,z 0,，而且必须满足条件xyz=v （ 3.2）像这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题，不带约束条件的极值问题称为无条件极值问题。条件极值问题的一般形式是在条件组（为，X2, ,xn）=0,k=1,2, ,m（m ： n） （ 3.3）的限制下，求目

16、标函数y = f（,X2, ,Xn） （ 3.4）以前像这类极值时，只能用消元法化为无条件极值问题。前面的例子，由条件（3.2 ），解出代入（3.1 ）式，有xyv11f （x, y） =s（x,y, ） =2v（ ） xy,（x 0, y 0）,xyy x由于F （x, y）在定义域内无偏导数存在的点，解方程组1-_2v- y 二 0（定理2.1 ）x1二 _2v r x = 0y解得x十阪V炫由实际问题表面积无最大值，只有最小值，因此，当x = y = 2v, z =1适V,时表面积s = 3?4v2最小。2然而，在一般情况下，要从条件组（3.3 ）中解出m个变元并非容 易，甚至解不出来，

17、因此，我们要开辟解决问题的新途径。从而产生 了拉格朗日乘数法这种不直接依赖消元而求解条件极值的有效方法。为了便于理解我们看比较简单的情形在所给条件G（x, y,z）=0 （ 3.5）下，求目标函数u = f （x, y,z） （ 3.6）的极值。设f和G具有连续的偏导数，且涇=0，由隐函数存在定理，方程ex（3.5）确定一个隐函数z =z（x, y），且它的偏导数为三一旦， exGzGy，于是所求条件极值问题化为求函数y Gzu 二 fx,y, z（x, y） 1 （ 3.7）无条件极值问题。这用已经讲过的方法就可解决。然而在实际计算中， 要从（3.5 ）解出z来，往往是很困难的，这时就可用下

18、面介绍的拉 格朗日（Lagrange）乘数法来解。定义2.3 4设（x%为（3.7 ）的极值点，Zo = z（Xo,yo），由必要条件知，极值点（Xo，y。）必须满足条件:(3.8)GxGzGvGz应用符合函数求导法则及式（3.8 ），得10#即所求问题的解（xo,yo,zo）必须满足关系式fx(Xo,yo,zo) = fy(xo,yo,zo) = fz(Xo,y°,Zo)Gx(Xo, yo,zo) Gy(Xo,yo,Zo) Gz(Xo,y°,zo)若将上式的公共比值记为-,（Xo.yo.zo）必须满足：£w；=o5 +扎G；=o（3.9）显+扎G； =o因此，（

19、心）除了应满足约束条件（3.5 ）外，还应满足方程组（3.9），换句话说, 函数u=f（x,y,z）在约束条件G（x.y.z）=o下的极值点（Xo.y°.zo）是下列方程组的解:(3.io)fx*G；=o. fy*G； =o.fz*G；=o,G(x.y.z)=o.容易看到，（3.io ）式恰好是四个独立变量x.y.z的函数L(x. y.z. ') = f (x.y.z) G(x.y.z) ( 3.11 )取到极值的必要条件，这里引进的函数L（x,y,z, ）称为Lagrange函数。 它将有约束条件的极值问题化为普通的无条件的极值问题，通过解方程组（3.10 ），解得x, y

20、, z,h，然后再研究相应的（x, y,z）是否真是问题 的极值点。这种方法，就称为Lagrange乘数法，它可以推广到多个变量与多个约束条件的情形，对于（3.4），（ 3.3 ）两式所表示的一般 约束条件极值的拉格朗日函数是mL（Xi,X2,，Xn, '1, '2,，m）二 f （XX?,，Xj -二：人二叭为，X?,Xn）其中j，2,m为拉格朗日的乘数。若（X°i,X°2，乂）是函数f（.X2,人）的极值点,则一定存在m个常 数（''I,役,m），使（X°i,X°2，乂， J °27）是函数L的稳定点， 因此

21、函数f极值点的可疑点，一定在拉格朗日函数L的稳定点前n个坐标构成的点之中，往往可以借助于物理意义或者实际经验来判断所 得点是否为极值点。2.3在求解多元函数无条件极值问题时，我们可以根据极值存在的 充分条件来判断函数是否在驻点处取得极值，而在多元函数条件极值 问题的求解过程中，我们在使用拉格朗日乘数法求出驻点后 ，往往根 据问题的实际意义判断函数在该点取得极值。但是对于一般情况下的条件极问题，由于没有实际实际背景做辅助判断，我们就需要寻求判 断函数取得极值的方法。下面通过例题介绍几种判断方法。231这种方法是将条件极值问题转化为无条件极值问题加以解决，可以用来解决一些较为简单的条件极值问题。前

22、面介绍了关于极值的充分条件，求得其驻点后从定理2.2 可 以知道设函数z = f(x,y)在点(xo，yo)的某邻域u(p。)连续且有一阶与二 阶连续偏导数，如果fx(X0,yo)=O ，fy(Xo，y0)= O ,设A 二 fxx(Xo，y°)，B 二 fxy(Xo，y°),C 二 fyy(Xo，y。)，则(1) 当B2AC：0时，f(Xo,y。) 一定为极值，并且当A (或C) 0时，f (Xo, yo)为极小值；当A (或C) ： 0时，f (Xo,yo)为极大值；(2) 当 B2-AC 0时，f(Xo，yo)不是极值；(3) 当B2-AC=0，还不能断定f(Xo,y

23、o)是否为极值。就可以用以上定理来解决一些相关问题，下面看几个例题。例2.3求函数f(x, y,z) =xyz在x y z = 0条件下的极值。解：由 x y 0 解得 g(x,y)=xy(2-x+y)，将上试代入函数 f (x, y, z)二 xyz，得 g(x, y)二 xy(2 - x y)，求偏导数 gx =2y-2xy y2,gy =2x，2xy-x22由方程组 g22xy y/0解得 Pi(0,0), P2(Z,-Z)gy = 2x 2xy _x= 033又gxx = 2y，gxy =2_2x 2y,gyy =2x根据极值存在的充分条件，在点p1处J二AC-B2=0 0-22 =4

24、：0,所以Pi不是极值点，从而函数 f(x,y,z)在点(0,0, 2)处无极值；在点 P2处，=AC B? = 4 4 _(_2)2 =4 . 0,又 A =-，所以 p2 为极小值3 3333点，因而函数f(x,y,z)在相应点(2,-2,2)处有极小值，极小33 32 2 28值为 F (-,)=3 3 327例2.4求函数f (x, y, z) =xyz在条件x y =1下的极值。解：由两个条件可得小222 z zx, y =2 2将其带入目标函数f(x,y,z)=xyz中消去变量x和y可得4f (z) = 2z3 - z5,两边求导可得4f (z) =6z2 -5z4,可得稳定点由于

25、 f (0) = 0,而f (0) = 12 = 0，即乙点的奇数阶导数不为零所以乙不是函数的极值点;值:又显然4f-12r：0，故函数在z-j处取得极大14#而4f (6)=12,5 0，故函数z3 = 6处取得极小值:15将多元函数的极值问题转化为我们熟知的一元函数极值问题使问题变得简单，缺陷在于有些条件极值很难化为无条件极值来解 决。232首先我们利用全微分判断，在无条件极值问题中，可以利用全微分判断函数是否在驻点处取得极限值。设函数 u =. f (x,y,z)在点处 df (Xo, yo,Zo)=O若d2f(x), yo，Zo) : 0，则函数在po处取得极大值若d2f(X), y0

26、,z0) 0，贝卩函数在po处取得极小值；其他情况则不能确定是否有极值。如果求函数f (x, y, z)在g(x, y, z) =0条件下的极值，可先构造拉格朗日函 数F(x,y,z)二 f (x,y,z) g(x, y, z)在求出驻点后，可根据F(x,y,z)在驻点处的二阶微分d2F的 符号，来判断函数f(x,y,z)是否在该点取得极值。例2.5求函数f (x, y,z) =x-2y2z在x2 y2 z2 = 1条件下的 极值。解：构造拉格朗日函数2 2 2F(x,y,z) =x-2y 2z g(x y z -1)Fx* = 1 +2X.x = 02 2 2F,= x2 y2z2 -仁 0

27、/lj/1234由(1) ( 2) ( 3)式可得 X 二一丄，yj,z=_l,代入(4) 2九人k得二 3 于是的驻点 Pl( -12 , - 2)与 P2(,2)。23 3333 3仪匚2F 2d F 牙 dx一:x2匚ydy2-2匚/ F2；zF：2F：2fdzdxdy dydz 2 dzdx = 2 (dx dy dz )<%dydczczSx17当时，即在点Pl（丄2,-2）处，d2F 0，所以Pi为极小值点，函23 33数的极小值为f（丄2,_Z）= _3；当 3时，即在点P2C）处,3 33233 3d2F ：0,所以P2为极大值点，极大值为 相,-2,2）=3。33 3再

28、就是我们利用二阶偏导数矩阵判断6若要：求函数f （咅,，Xn）则条件gk（X1,X2，Xn） =0 ,k =1,2,，m m : n（）下的极值还可以米用以下方法。（1）构造拉格朗日函数mL(X!,X2,Xn, 1,2，m)=f(X1,X2,Xn)' ' k9 k (花，X? , , X.);(2)求出驻点(X1,0,X2°,，Xn°, 1°, '2°,'m0),设 P° (xj , X?。，X.。),令 F(X1,X2,Xn) =L(X1,X2,Xn, 10,0 0、2，m ）；（3）利用以下定理判断函数f（X

29、X2，Xn）的极值定理记矩阵M二Fxx! FxX2若M正定,小值;若M负定,大值;若M不定，极值。点。FWnFX2Xn则在条件则在条件则在条件例2.6求函数f（xx2） =C)下,()下,()下,f（Xi, X2, , Xn）在点Po处取得极f (Xi,X2 / , Xn)在点Po处取得极f化,X2, Xn）在点Po处无条件x2 y2 -3在y =1 - x条件下的极值。解：构造拉格朗日函数F（%, x2） = x2 y2-3皿（1 x - y）F= 2x +丸=0（1）解方程组Fy =2y - =0jFQl+x-y = 0解得XH-LyJ,1 =1，下面判断卩0（丄,丄）是否为极值2 2 2

30、 2由 F(x4,x2) =x2 - y2 x _y _2得Fx =2x 1,Fy =2y-1,Fxx =2,Fyy =2,Fxy =0,Fyx =0矩阵M二正定，所以函数在点Po（-玮）处取得极小2 0'<0 2值，且极小值为f （-丄丄）一5。2 2 2233多元函数条件极值的求解，一般是利用拉格朗日乘数法，从上面的研究讨论可以看出，当求得稳定点后，如何判断函数究竟在该 点是否取得了极值，尤其当稳定点不唯一时难度更大。下面就介绍借 助多元函数取得极值的充分条件来判断是否能取得极值点的问题。极值的充分条件我们可以从定理 2.2 3中知道，下面介绍例题 来进一步研究该类问题。例2

31、.7求函数f(x, y,z)=xyz在条件-1 1 (x, y, z, r 0)下的极x y z r值。解：设拉格朗日函数为、 .1111L(x, y, z,，) = xyz ()。x y z r对L求偏导数并令他们等于零，则有Lx 二 yz 2=0,xL y = ZX - 一 - 0, yLz 二 xy=0,z1111c+ + 一 = 0.x y z r易得函数L的稳定点为x= y = z=3r, =(3r)4，为了判f (3r,3r ,3r) = (3r)3是否为所求极值，我们可以把条件1丄1看作隐函数z二z(x, y)(满x y z r足隐函数存在定理的条件)，并把目标函数f (x, y

32、,z) =xyz(x, y) = F(x, y)看作函数f =xyz与z=z(x,y)的复合函数。这样就可以应用极值充分条件20来做出判断。为此计算如下:2 2 zzzx =-2 ,zy = - ,xy2 2yz33 X二 yzyzxz,Fy =XZ- -xy33zz2z2xz，Fyy3-yxxyy当 x=y=z=3r 时，2 2 2Fxx =6r 二 Fyy，Fxy =3r，FxxFyy - Fxy=36r= 27°,由此可见所求的稳定点为极小值点 当约束条件的方程个数超过一个时，这种方法的使用受到了限制2.3.4借助柯西不等式求解柯西不等式是一个重要的不等式，它在数学的各个分支都

33、有着十 分重要的应用。我们还发现利用柯西不等式求函数极值较为简便。这 是由于某些函数可以转化成柯西不等式的形式，从而利用柯西不等式 求出极值。柯西不等式8:对于任意实数a和b1,b2bn，有 (qba2b2 nanb乞(2a a ：na)( 2ib Vn %当 且仅当 6 =kb，即a与b(i =12n)成比例时取等号。下面从几个方面来说明如何利用柯西不等式求函数极值。二维柯西不等式9 : (aibi a2b2)(a12 a22)(2 b?2)等价于aib +a2d 兰 J(ai2 +a22) J(bi2 +b22)当且仅当aib2 =a2d时取等号。利用这一结论用来求无理函数的最值较为简便。

34、例2.8求函数f(x)=5.,(3V、12X的最大值解：由函数解析式f (x)的定义域为1,51且f (x) 0，从而f (x)可变形为f(x5.,2 ,rx根据上述结论可得f (x) =5 (x -1”、(x 一1)2 (5x)2h£27 4 =6、.3例2.9小结：用这个方法求最值关键是要先对函数式进行变形，使之 满足柯西不等式的条件和结构。函数f (x) = 3cosx 4 1 sin x何时取最大值？最值是多少？3 c x) s4 2(诚 34)灵=0 2S22#25(cos2 x 1 sin2 x) =50 = 5、2又由于 4cosx = 3 1 sin2 x 得cosx

35、 _0I2216cos x =9(1 sin x)解得 cosx=¥，sinxc彳cosxndsinx 二 时，3cosx 4 (1 sin2 x) 055f(x)的最大值为5 2。当且仅当cosx二年sinx"¥时取得。将函数式“凑” “配”成已知条件，便可以用柯西不等式求出极值。相对于高等数学中的导数求极值来说， 此法更为简洁实用，更能反映出数学的灵活性。例 2.10 设(x 1)2 (y1)2 =9，求函数 f(x,y) =3x-4y 的最值。解： f(x, y) =3x4y =3(x 1)4(y 一1)一7 ,3(x+1)4(y1)兰 J32+(4)+ (

36、y1)2 = J25x9 = 15由-4(x 13(y-1)(x 1)2 (y1)2 =94x = 解得 514x = 或 5 y y 5174x = 当 5y =-时,3(x 1)-4(y -1)0.(3(x 1)-4(y-1)馬=15,. f(x,y)min =15-7=814又当17r时,3(x 1)-4(y-1) ： 0(3(x)-4(y -Omin = -15, f (x, y)min = -15 - 17 = -22综上得f(x,y)的最大值为8，最小值为-22。 例2.11求函数u = x-2y2z在x2 y2 z1下的最小值。解：根据柯西不等式可得u =x2y+2z 兰J12+

37、(2)2+22(x2 + y2+z2)= 3.一3乞u乞3当且仅当丄二取等号。又x2 y2 z2 =11 -2 2因此当 X =l,y - -2,z = 2 时Umax =3333当 X , y , z时 Umin - -3333根据柯西不等式中的相等条件，可以求得使等号成立的极值点。例2.12求实数x,y的值，使得(y -1)2 (x 3)2 (2x 6)2达到最小值。解：根据柯西不等式可得刁2 +22 +12_T(y _1)2 十(x + y _3)2 +(2x + y_6)2z1 (y -1) 2 (3-x-y) 1 (2x y-6).l -1即(y -1)2 (x y -3)2 (2x y 6)2 一16当且仅当匕1二口 y二空口，