地图着色定理与图的曲面嵌入-

1、 # # 弓理 % > 4 戊 # 4= 证 由 定理 % # # 假若 > , 则 + 2 7 内 一 5 从 一 殉 7 4 % > # # # > 4 必有 区 # 并有 如 图 4 # 从对 称性 可 以 看出 在 凡 上 三 角 嵌 人 的 对 偶 只 能 形 如 图 2 的定 向 这 就 与 不 可 定向 矛 盾 # # 8 “ 火 火 , 8 汉 % = 4 8 图 # # # 引理 4 / 从 铸 > # 4 8 证 # 假若 / 从 一 % # > , 则 由定 理 , # 4 必 存在 一 个 临界 图 , 仁 , / 一 / 一 >

2、; # 又 由 定理 , 有 + , 内 即 8、 艺 如图 ! # 。 。, 一 4 。卜 再 由 定理 已 不相 邻 , # # , 只能 # , # 叹价 7 记将 边 8 # 8 , # # 并且 六 个 顶 点 ! 一 凡 中 至 少有两个 如 , , , 引理 % ! , , ! , , 九 收 缩为 ! 后 的图 为 8 , 如图 # # 因 2 , 是 临界 图 则 至 多 可 用 色 又与 色着 染 然 从 的 色 着染 可延 拓 到 整 个 使 得 凡同 的 临界性 矛 盾 图 # 图 # 定理 > # / # # , 7 +/ 矛 <8 , , 3 丫3 4

3、# 4“ , % “ 钾 4 。 证 设对于 , 取 叮 宁 1。 & 宁 , 则 由定理 8 7 > # , 当; 0, 即 < & 一 一 时 有 。 叮 ; , 十 ; < 4 4 ; 一 。 4 ; 一 8宁 , 8( 宁, 一 一 一 0 。 一 , 。十 召丁 不 丁 , , 一 丫了 不 下 # 44 # 因 第 二个 因 子 大 于 故 一 0 3 了 3 4 4 已 , , 丁十 创% 十 4 4 一 %, 从而 , , > 3 。 。 , 了玉 不百 4 % 百 , # 又 , 。 宁 ; 成 宁, 。 。, / 从而 / 、 。 &

4、gt; 3 丫 不 下 # > , 4% 再 由推论 情况 # 4 # , 可 得 定理 的 由推 论 # 4 / , 情况 > # # 一 / 凡 蕊 , 又 定理 , 从 故 # , 、 一 > 一 > 3 不 丫丁 万石 4 % 但 引理 > 。 情况 7 4 # 由推 论 # # 4 / # 4 , 簇 # > > # % # 表明 > 4 改 # 而 定理 # 8 # > 给出 从 更有 从 又从 引理 # 4 / 从 铸 , 故 只能 / 从 , # 7 情况 7 % # 由 推论 / 和 定理 , 有 、 一 8 一 >

5、 3 丫玉 万石 4 % 下 五 设 、 三 角 嵌 人 0 % , 为 在 上的 嵌入 # , 是 的 对偶 则 是 的 区 域 图 , 产 # 用 , , , +2 一 二 表示 的 处 个 区 域 , 区域 1 2 有 . 个 区 域与它 相 邻 2 , 选 定一 个 循环 次 序 沪 2 沙 得方案 1 , “2 劣 劣 4> “2 一 , 一 ” 丫 , 实 际 上 若 令 相应 中 区 域 , 的顶 点也 用 夕 表示 , 则方 案 4> 4> 就 确 定 了一 个 行 的走 向 # # 定义 = % # 记 动 7 沪 认 二 岁 # 沃 玲 表 示 在 方 案

6、 # 第 了 的 循 环 次序 中 护后 紧 接 着 掩 相 仿 地 有 夕 砂 , . , 的意义 叮 灯 , 左 # 7 一 + 3 2 , 夜 ., 。, 2 . , , , 7 , 且 二 , 灸, , 一 , , , 3 友 , % 镇 . # 提 . 。, 7 . 且 2 才, , , 了, 7 + , % 蕊 , 攫 # 定理 = % 区 当且 仅 当存 在 一 个 , 的 走 向 使得 其 方 案 左 # 4> 满足 规则 一 2 若 左 则有 义 或 % 左 >8 证 的走 向 若 # 区 0 , 由在 上 的 三 角 嵌 人 的 对偶 得到 的 方 案 4>

7、; 确 定了 一 个 因 为 中每 个 顶点 的 次均 为 # , 则 必有 4> 2 若 令 砂 # , 只 有两 个可 能 , 认 或 伏 即 规 则 , # 反 之 若 有 一个 的 走 向 其 相 应 的 方 案 , 满 足 规则 则 可 以 构造 , 罕 几 4& 万 你声 其中 , 一 、 1 石 , 娇 占 , 娇 一 , 当 由 、 互 受 当 由 沃 、 , 仁 仅 # 由对称性 每边在 , 艺 中 出现 两 次 和 的连 通性 # , 万 # 表 示 一 个 多面 体 # = # 其棱 形成 的 0 上 的 地 图 的 对 偶 的 区 域图 为 又 对于 沃

8、, 从而 , , 仆 由 规则 , , 三 个区 域 叱 , 友由 图 = % 奋 无 介 几 纵 肖 码 瓣 军 一, 李 # = 弄 一 吞 又 亨 , 、 、 犷 丫 军 、 了 奋, : “了 人 天 及 七 图 可 见 在 上 每 一个顶 点 的 次 皆 为 , # 即 # 区0 # 规则 八 证 泛 友 # 2 # 若 砂 则 沃 灯 或 砂 仁 户 , # 定理 = 4 在方 案 , 4> 中 满足规则 , , 当且 仅 当满 足规 则 # 若 有 规则 反 则从 砂 可 得 徒 右 或 从 , 分 # 即 , 从 种 可得 或 护 # 反之 , 若有规则 则 从 沃 ,

9、可 得 行 , 砂或 砂和 砂 或 伏 伏 # 只 能 , 灯 和 砂 或 砂 # 定理 = # 砂和 朴 # 前者 为 # 4> 砂 或后者 # 区 0, , 当且 仅 当存在 一 个 , 的 走 向 使得 其方 案 满足 规则 况 十 2 若 友 则 伪 # 证 # 与定理 2 # = % # 证 明相 仿 不过 要 注 意这 里 的 可 定 向性 , , # # 规则 八3 # 定理 = 若 友 则 友 在 方案 , 4> = 4 中 满足规 则 , 。 十 # , 当 且 仅 当满 足 规 则 气 证 # 事实 上是 定 理 , 的 一 种 特 殊情 况 一 1, 表 示

10、从 二 # 下面 为 了 方 便 趣 只是 。 记 。 中去 掉 # 2 条 边 所得 的 图 # 然 我 们的 实 际 兴 , # 一 , # , 7 一 1 一 , 4 和 一 些 有 相 当 的 对 称性 的 图 , 不 管怎 样 下 面 的 二 个 定 理 是 有 一般 性 的 定理 = 占 如果 。 一 1 区 1 胜 , 则 一 ; 一 、 一 八4 # 且 ; 、 ,了 、 . , , , 或 > 力 三 2 素 或 , 或 ,。 . 4 , , 当 , 一 一 + 6 : ; 6 , 工 ; % 6 记 8 # 4 证 由推 论 , 6 , 。 0 一 ;& 一

11、< 。 一> 3 > 0 , 。 : 即 < 一 6& 一 % & 一 一& + , 。 从而 , 一 6 & , 一 斗 & 一 二 = +& ? 只有 3 ;, , ! , %= 记 > & 时 有 上述四 组 6 的 可 能值 定理 > 若 ( ! : 6 + 。 一 1 区 户3 , 和 ( 。 > , , : , 则 。 & < 一 & 。 一 % & 八 证 由 于这 时 有 & , > < < : , 一 一 6&: 6& : 一 一 , 斗 & 一 , & 八 3 1 > % &