圆补充知识集合

1、关于圆的定理一切割线定理证明: 设ABP是O的一条割线，PT是O的一条切线，切点为T，则PT的平方=PA·PB 证明：连接AT, BT PTB=PAT(弦切角定理) P=P(公共角) PBTPTA(两角对应相等,两三角形相似) 则PB：PT=PT：AP 即：PT的平方=PB·PA二割线定理为圆幂定理之一，其他二为： 切割线定理 割线定理 相交弦定理 证明：如图 直线ABP和CDP是自点P引的O的两条割线，则PA·PB=PC·PD 证明:连接AD、BC A和C都对弧BD 由圆周角定理，得 A=C 又APD=CPB ADPCBP AP:CP=DP:BP, 也

2、就是AP·BP=CP·DP三概念相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）相交弦说明几何语言： 若弦AB、CD交于点P 则PA·PB=PC·PD（相交弦定理） 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 几何语言： 若AB是直径，CD垂直AB于点P， 则PC2=PA·PB（相交弦定理推论）如何证明证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得AD，CB。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.） PACPDB，PAPDPCPB，PA

3、83;PBPC·PD 注：其逆定理可作为证明圆的内接三角形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。四弦切角弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角      PCA=PBC(PCA为弦切角） 弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明 证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作TP的平行线交BC于D， 则TCB=CDA TCB=90-OCD BOC=180-2OCD    ,BOC=2TCB（弦切角的度数等于它所夹的弧

4、的圆心角的度数的一半） BOC=2CAB TCB=CAB（弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角） 证明已知：AC是O的弦，AB是O的切线，A为切点，弧是弦切角BAC所夹的弧. 求证：.（弦切角定理） 证明：分三种情况：      （1）圆心O在BAC的一边AC上 AC为直径，AB切O于A， 弧CmA=弧CA 为半圆, CAB=90=弦CA所对的圆周角    B点应在A点左侧（2）圆心O在BAC的内部. 过A作直径AD交O于D, 若在优弧m所对的劣弧上有一点E 那么，连接EC、ED、EA 则有：CED=CAD、DEA=DAB CEA=CA

5、B （弦切角定理）      （3）圆心O在BAC的外部, 过A作直径AD交O于D 那么 CDA+CAD=CAB+CAD=90 CDA=CAB （弦切角定理） 弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等 应用举例      例1：如图，在中，C=90，以AB为弦的O与AC相切于点A，CBA=60° , AB=a 求BC长. 解：连结OA，OB. 在中, C=90 BAC=30° BC=1/2a(中30°角所对边等于斜边的一半）     

6、 例2：如图，AD是ABC中BAC的平分线，经过点A的O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 求证：EFBC. 证明：连DF. AD是BAC的平分线BAD=DAC EFD=BAD EFD=DAC O切BC于D FDC=DAC EFD=FDC EFBC      例3：如图，ABC内接于O，AB是O直径，CDAB于D，MN切O于C， 求证：AC平分MCD，BC平分NCD. 证明：AB是O直径 ACB=90 CDAB ACD=B， MN切O于C MCA=B， MCA=ACD， 即AC平分MCD， 同理：BC平分NCD.总结：圆的直径连接两

7、头（一端在圆上，一端在直径上）这个角是直角这叫垂径定理 圆周角定理 是多少乘圆面积或周长=这个扇行的面积或那条弧360圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；围绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的重合 2顶点在圆心的角叫做圆心角圆心到弦的距离叫做弦心距 圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理） 切线长定理 垂径定理 圆周角定理 弦切角定理 四圆定理 3在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 4在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 5把整个圆周等分成360

8、份，每一份弧是1°的弧圆心角的度数和它所对的弧的度数相等 6.圆是中心对称图形，即圆绕其对称中心(圆心)旋转180°后能够与原来图形重合，这一性质不难理解圆和其他中心对称图形不同，它还具有旋转不变性，即围绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合 7.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 8.（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 9.圆的两条平行弦所夹的弧相等 10.(1)一条弧所对的圆周角等于它所对

9、的圆心角的一半. (2)同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. (3)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. (4)如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 11.(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴. (2)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. (3)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. (4)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弦. (5)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. (6)圆的两条平行弦所夹的弧度

10、数相等. 12.圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 13.平分弦(不是直径)的直径垂直与弦,并且平分弦所对的两条弧. 14.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等,所对的弦的弦心距也相等. 15.在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等,所对的圆心角相等,所对的弦的弦心距也相等. 16.同一个弧有无数个相对的圆周角. 17.弧的比等于弧所对的圆心角的比. 18.圆的内接四边形的对角互补或相等. 19.不在同一条直线上的三个点能确定一个圆. 20.直径是圆中最长的弦. 21.一条弦把一个圆分成一个优弧和一个劣弧.关于相似三角形射影定理直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比