计算机控制系统第2章(第2次课离散化)

1、2.2 模拟化设计模拟化设计方法p根据被控制对象的传递函数和系统的性能指标，先设计一个模拟校正装置D(s)，使系统的动态性能到达预定要求；p再将模拟校正装置的数学模型离散化，构成由计算机实现的数字控制器D(z) ，并使该控制器的脉冲响应、频率响应和模拟校正装置等效。 模拟化设计步骤：（1）G(s) D(s) 根轨迹/Bode图/Nichols图误差控制量对象控制器 （2）加入零阶保持器，选择适当的离散化方法 D(S) D(z) 离散化方法 （3）分析图2-12所示离散控制系统的动态特性，控制系统的要求 稳（稳定） 快（快速） 准（准确）（4 4）在计算机上用数字算法实现在计算机上用数字算法实现

2、D(z)D(z) (a)(b)(c) 1.D(s)与D(z)的转化方法1）数值积分法 D(s) 微分方程 差分方程近似表示D(s) - D(z)的典型转换方法p后向差分法（数值积分法中的一种）p双线性变换法（Tustin法）p零极点匹配法p冲激响应法（Z变换法）p阶跃响应不变法（带零阶保持器的Z变换法）1. 后向差分：TzssDzDTzszUTzZssUTkukudttdu)1 (111)()()1 ()()1 ()(L) 1()()(：关系，叫作后向差分法时，可以作为一个对应对比两边的系数，变换右边求变换左边求教材p.17D(s)稳定，则D(z)稳定前向差分：TssDzDTzszUTzZss

3、UTkukudttdu1 -z)()(1)(1)(L)() 1()(：关系，叫作前向差分法时，可以作为一个对应对比两边的系数，变换右边求变换左边求asssD)(11)1 (11)(1zaTzasszDTzs111 -z) 1(11) 1(1)(zaTzaTzzasssDTs例题2-12 模拟控制器用后向差分、前向差分法，变成数字控制器。后向差分：前向差分： 由Z变换定义，有：展开泰勒级数：同样：得到：即：22TsTsTsezee232111()()21222223!TsTsTsTsTse ！212TsTse 1212,112TszzsTsTz112 11zsTz112 11( )( )zsTz

4、D zD s2.双线性变换法（Tustin法） 双线性变换(Tustin变换)有以下特点：（1）D(s)稳定，D(z)也稳定（2）D(s)的频率D(z)的频率之间存在着非线性，不能保持原有频响特性(会出现频率畸变)例2-8用双线性变换法D(z)，已知： 设采样周期T=1s。解：将 代入D(s)得到：112 11zsTz1111111111 2211112(1)2 211(1)(3)11( )2(1) 2(1)4(1)4(1)8(1)2111zzzzzzzD zzzzzzzzz )2(1)(ssssD各种变换后的稳定区域21112121)1 (2)1 (2121112111,11TsTszTsT

5、sTsTszTzs21212121后向差分可见，s平面虚轴经过后向差分变换，在Z平面为圆心在（，0），半径为 的圆s平面左半稳定平面映射到Z平面为圆心在（，0），半径为的圆内区域。因而，后向差分变换后，原来s平面稳定的系统，在Z平面一定能保持稳定，但极点分布区域变小了。前向差分变换TszTzs1,1可见，s平面虚轴经过前向差分变换，在Z平面为通过+1的垂直线，s平面左半稳定平面映射到Z平面为通过+1的垂直线左边区域，因而，前向差分变换后，原来s平面稳定的系统，在Z平面不一定能保持稳定。双线性变换稳定区域12121,2121,112TsTszTsTszzzTss平面虚轴经过双线性变换，在Z平面为

6、单位圆。s平面左半稳定平面映射到Z平面为单位圆内。可见，双线性变换可以保证s平面稳定的系统，在Z平面仍然稳定，是性能较好的变换方法。 时间域的采样操作： S域的零极点 Z域将D(s)进行因式分解，设分解后的D(s)为：其等效的D(z)是：Tsze1212()()()( )()()()smnK szszszD sspspsp1212(1()()()( )()()()mnz Tz Tz Tp Tp Tn mzp TKzezezeD zzezeezz-=0Tsz e3.零极点匹配法 p 项：通常，nm,可看成S域在与穷远处有n-m个零点 Z域中Z=-1处。pD(z)中，增益 可用D(s) 和 D(z

7、)在某个频率下的增益相等来确定。例如，设S=0来确定。则 （低通）或 （高通） (1)n mzZK01( )( )szD sD z1( )( )szD sD z 零极点匹配法特点：（1）匹配规则：根据 变换有：（2）D(s)稳定 ， D(z)必稳定（3）nm时，用 来匹配D(s)中的n-m个无穷零点。（4）当D(s)的零极点已知时，此方法简便。(1)n mzTsze()2222,1,()2cosaTajb TaTaTsazeszsajbzesabzzebTe 例2-9已知 用零极点匹配法求数字控制器D(z)。解：D(s)中，n=1,m=0,所以在S平面上有一个无穷远的零点，在D(z)中用(z+

8、1)匹配：按低通匹配有：( )sKD ssa(1)( )zaTKzD zze012( )( )1szszaTKKD sD zae(1)2aTszKeKa(1)1( )2aTsaTKezD zaze教材p.19例2-10已知 ，用零极点匹配法求数字控制器D(z)，设采样频率f=10Hz。解：（1）采样周期 S域有两个极点：s=-5,s=-10, 1个零点:s=-1;e=2.718. 根据 变换，10.1TsfaTsaze51050.607100.36810.905TTTszezszezszez 20(1)( )(5)(10)sD sss教材p.19 （2）D(s)中，n=2,m=1所以设在S平面

9、上有一个无穷远处的零点，在D(z)分子中增加（z+1）匹配。（3）求增益 ，按低通匹配：求出 代入D(z)得：(0.905)(1)( )(0.607)(0.368)zKzzD zzzzK0.524zK 012 0.09520( )( )500.393 0.632zszKD sD z 0.524(0.905)(1)( )(0.607)(0.368)zzD zzz4.冲激响应不变法(Z变换法) 离散后的数字控制器脉冲响应，与模拟控制器的脉冲响应h(t)一样D(s)D(s)T T D(z) 冲激不变法的特点：（1）D(s)与D(z)两者的脉冲响应在采样点取值相等。（2） D(s)稳定，D(z)稳定（

10、3） D(s)与D(z)的频谱不同。例2-11已知连续环节 用冲激不变法设计数字控制器D(z)。解：则数字控制器为：1( )(3)(2)sD sss121( )(3)(2)32sD sssssTTezzezzssZsssZsDZzD2322132)2)(3(1)()(5.阶跃响应不变法（带零阶保持器的Z变换法） 111)() 1 ()(zzDZzD1)()1 ()(ssDZLsDZ111)(zzD1)(ssDZ)1 ()(1zzD1)(ssDZ离散后的数字控制器阶跃响应（先离散后，后求响应）与模拟控制器的阶跃响应（先求响应，后离散化）一样=例2-12已知连续数字控制器为 用阶跃响应不变法设计数

11、字控制器D(z)。解：)11 ()(sKpsD1 )()1 (11()1 ()11()1 (1)11 ()1 (1)()1 ()(11211112111zzTKpzTzzZzKpssZzKpssKpZzssDZzzD几种离散方法的比较 （1）采样频率高时：除冲激不变法以外，其余离散化后与原系统性能很接近（2）除前向差分外，其余方法离散前后稳定性不变（3）双线变换性能在低频下能得到较好的性能指标。（4）若系统的增益为主要指标，采用零极点匹配法法较好。 按模拟设计法得到数字控制器，改进动态品质的方法：（1）适当提高连续系统设计的稳定裕度要求（2）选取较高的采样频率（3）选用性能较好的离散化方法。2

12、.3 数字控制器的离散化设计离散化设计是从被控对象的实际出发，根据采样理论和离散化方法及系统的性能指标，直接设计数字控制器。离散化设计方法是以Z变换为理论和工具进行数字控制器的设计的，所以也称Z域设计法。优点：高精确度Matlab的离散化函数 函数c2d(): Convert from continuous- to discrete-time models 语法：sysd = c2d(sys, Ts)sysd = c2d(sys, Ts, method)sysd = c2d(sys, Ts, opts)sysd, G = c2d(sys, Ts, method)sysd, G = c2d(sy

13、s, Ts, opts) methodzoh Zero-order hold (default). impulse Impulse invariant discretization.tustin Bilinear (Tustin) method.matched Zero-pole matching method.例1（p.18, 例2-1）z=-1; p=0 -2; k=1Ds=zpk(z,p,k);Dz=c2d(Ds,1,tustin) 2.3.1 离散化设计的方法和步骤一个计算机控制的闭环系统如图2-13所示，其闭环传函为：( )( )( )( )( )1( )( )cY zD z HG

14、zG zR zD z HG z(25) 设系统的误差Z传函为 ,由于得到：由式（2-5）和（2-6）可推导除数字调节器的Z传函或( )eG z( )( )( ) ( )( )1( )ccE zR zG z R zR zG z( )1( )1( )( )1( )( )ecE zG zG zR zD z HG z (26)( )1( )( )( )( )( )( )ceeeG zG zD zG z HG zG z HG z(27)( )( )( )1( )ccG zD zHG zG z(28)离散化设计步骤 计算机控制系统的离散化设计步骤如下：（1）求广义的被控对象的Z传递函数；（2）根据控制系统性能要求构造闭环Z传递函数和误差传递函数；（3）由HG(z) , 或 求得数字控制器D(z)；（4）根据D(z)写出相应的差分方程表达式，求出相应的系数值，编写相应的控制程序。（5）检验系统的特性，若没有达到设计要求，需要重新设计D(z)，直到系统的输出达到要求的指标。10( )( )( ) ( )(1) G sHG zHs G szsZZZZ(