2013年高考数学全国卷1答案与解析

1、WORD格式2021年理科数学全国卷答案与解析一、选择题共12 小题。每题5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的一项。1.集合Ax | x22x0 , Bx |5x5，那么()A.A B=B.A B=RC.B" AD.A" B考点：集合的运算解析： A=(-,0) (2,+), A B=R.答案： B2.假设复数z满足(3 4i) z| 4 3i |，那么z的虚部为()A. 44C. 44B.D.55考点：复数的运算解析： 由题知=，故 z 的虚部为.答案： D3.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取局部学生进

2、展调查，事先已了解到该地区小学.初中 .高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A. 简单随机抽样B. 按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样考点：抽样的方法解析： 因该地区小学 . 初中 . 高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样 .答案： C4.双曲线：的离心率为，那么的渐近线方程为C. y1A.B.xD.2考点：双曲线的性质专业资料整理WORD格式1专业资料整理WORD格式解析：由题知，即=，=，=，的渐近线方程为.答案： C5.运行如下程序框图，如果输入的，那么输出s 属于A. 3

3、,4B.5,2C.4,3D.2,5考点：程序框图解析： 有题意知，当时，当时，输出 s 属于 -3,4.答案： A6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，那么球的体积为()A.500 cm3B.866 cm3C. 1372 cm3D.2048cm33333考点 ：球的体积的求法解析： 设球的半径为R，那么由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2 ，那么，解得 R=5，球的体积为500cm3.3答案： A7.设等差数列an的前n项和为Sn, Sm 12, S

4、m 0, Sm 13，那么 m()A. 3B. 4C.5D.6考点：等差数列专业资料整理WORD格式2专业资料整理WORD格式解析： 有题意知=0，=-= 2，=-=3，公差=-=1， 3=，=5.答案： C8.某几何体的三视图如下列图，那么该几何体的体积为A168B88C1616D816考点：三视图解析： 由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2 高为 4，上边放一个长为4 宽为 2 高为2 长方体，故其体积为=.答案： A9.设m为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为 ，假设 13a7b ，那么 m()A. 5B.6C.7D.8考点 ：二项式的展开式解

5、析： 由题知=，=， 13=7，即=，解得 =6.答案： B10.椭圆E :x2y21(ab 0) 的右焦点为 F (3,0) ，过点 F 的直线交椭圆于A, B 两点。假设 ABa22b的中点坐标为(1, 1) ，那么 E 的方程为( )x2y2B.x2y2x2y2D.x2y2A.11C.11814536362727189专业资料整理WORD格式3专业资料整理WORD格式考点 ：椭圆的概念与性质解析： 设，那么=2，= 2，得，=，又=，=，又9=，解得=9，=18，椭圆方程为.答案： D11.函数f ( x)，假设| ，那么的取值X围是ABC2,1D2,0考点：解不等式组，对数函数解析：|

6、=，由|得，且，由可得，那么 -2 ，排除，当 =1 时，易证对恒成立，故=1 不适合，排除 C.答案： D12.设An Bn Cn的三边长分别为an , bn , cn，An Bn Cn的面积为 Sn，n 1,2,3,，假设b1 c1,b1c1 2a1，aa , bcnan ,cbnan，那么 ( )n 1n n 12n 12A. Sn为递减数列B. Sn为递增数列C.S2n1为递增数列， S2n为递减数列D.S2n1为递减数列， S2n为递增数列考点： Sn 的求法解析：略答案： B专业资料整理WORD格式4专业资料整理WORD格式二填空题：本大题共四小题，每题5分。13.两个单位向量a，

7、 b的夹角为60°， cta(1t) b，假设 b·c=0，那么t=_.考点：向量的数量积解析：=0，解得= .答案：=14.假设数列 的前 n 项和为 Sn，那么数列 的通项公式是=_.考点 ：等比数列解析： 当=1时， =，解得=1，当2时， = ()=，即=， 是首项为 1，公比为2 的等比数列，=.答案：=15.设当x时，函数 f (x)sin x2cos x 取得最大值，那么cos_考点 ：求三角函数的最值解析： =令=，那么=，当=，即=时，取最大值，此时=，=.答案：=16.假设函数=的图像关于直线x2 对称，那么的最大值是 _.考点：图像的性质专业资料整理W

8、ORD格式5专业资料整理WORD格式解析： 由图像关于直线= 2 对称，那么0=，0=，解得=8，=15，=，=当(,) ( 2,) 时，0，当 (, 2)(,+ ) 时， 0，在，单调递增，在， 2单调递减，在2，单调递增，在， +单调递减，故当=和=时取极大值，=16.答案： 16三 .解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.本小题总分值 12分如图，在ABC中， ABC 90°， AB= 3 ， BC=1， P为 ABC内一点， BPC90°1(1)假设 PB=2，求 PA； (2)假设 APB150°，求 tan PBA考点：余弦定理，正弦定

9、理解析：由得，PBC=， PBA=30o，在 PBA中，由余弦定理得=， PA=；，设 PBA=，由得， PB=，在 PBA中，由正弦定理得，专业资料整理WORD格式6专业资料整理WORD格式化简得，=，=.18.本小题总分值12 分如图，三棱柱ABC-A1 B1C1中， CA=CB， AB=A A1， BA A1=60 °.证明AB A1C;假设平面ABC平面 AA1B1B， AB=CB=2，求直线A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值。考点 ：线与线垂直证明，线与面所成角的求法解析： 取 AB中点 E，连结 CE， AB=，=，是正三角形， AB， CA=CB， CE AB

10、，=E， AB面，AB；由知EC AB， AB，又面 ABC面，面 ABC面=AB， EC面， EC， EA，EC，两两相互垂直，以E 为坐标原点，的方向为轴正方向， | 为单位长度，建立如下列图空间直角坐标系，有题设知 A(1,0,0),(0,0),C(0,0,),B( 1,0,0), 那么= 1,0 ，,=( 1,0,),=(0, ,), 9分设 =是平面的法向量，那么，即，可取=， 1，-1 ，专业资料整理WORD格式7专业资料整理WORD格式=，直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为.19.本小题总分值12 分一批产品需要进展质量检验，检验方案是： 先从这批产品中任取4

11、件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为n。如果 n=3，再从这批产品中任取4 件作检验，假设都为优质品，那么这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1 件作检验，假设为优质品，那么这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立（ 1求这批产品通过检验的概率；（ 2每件产品检验费用为 100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 X单位：元 ，求 X 的分布列及数学期望。考点 ：求事件发生的概率、期望解析： 设第一次取出的4 件产品中恰有3 件优质品为

12、事件A，第一次取出的4 件产品中全为优质品为事件 B, 第二次取出的4 件产品都是优质品为事件C，第二次取出的1 件产品是优质品为事件D，这批产品通过检验为事件E，根据题意有E=(AB) (CD), 且 AB与 CD互斥， P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=+=. X 的可能取值为400,500,800 ，并且P(X=400)=1-=， P(X=500)=， P(X=800)=， X 的分布列为X405800000PEX=400×+500×+800×=506.2520.(本小题总分值12 分 )圆:, 圆:, 动圆与外切

13、并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线C.专业资料整理WORD格式8专业资料整理WORD格式求 C 的方程； 是与圆, 圆都相切的一条直线，与曲线 C交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长时， 求 |AB|.考点 ：椭圆的概念，直线与椭圆位置关系解析： 由得圆的圆心为-1 ，0, 半径 =1，圆的圆心为(1,0),半径=3.设动圆的圆心为，半径为 R.圆与圆外切且与圆内切， |PM|+|PN|=4，由椭圆的定义可知，曲线C是以 M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为的椭圆 ( 左顶点除外 ) ，其方程为.对于曲线 C上任意一点， ，由于 |PM|-|PN|= 2， R 2,当且仅当圆 P的圆心为

14、2， 0时， R=2.当圆 P的半径最长时，其方程为，当 的倾斜角为时，那么与轴重合，可得 |AB|=.当 的倾斜角不为时，由 R知 不平行轴，设 与 轴的交点为 Q，那么=，可求得 Q -4 ，0，设：，由于圆 M相切得，解得.当=时，将代入并整理得，解得=， |AB|=.当=时，由图形的对称性可知|AB|=，综上， |AB|=或 |AB|=.21.本小题总分值共12 分函数，假设曲线和曲线都过点 P(0， 2)，且在点P 处有一样的切线求，的值；假设 2 时，求的取值X围。考点：求函数的导数、解不等式专业资料整理WORD格式9专业资料整理WORD格式解析：由得，而=，=，=4，=2，=2，

15、=2； 4 分由知，设函数=，=，有题设可得0，即，令=0 得，=，=2， 1假设，那么 20，当时， 0，当时，0，即在单调递减，在单调递增，故在=取最小值，而= 0，当 2 时， 0，即恒成立，(2)假设，那么=，当 2 时， 0，在 ( 2,+ ) 单调递增，而=0，当 2 时， 0，即恒成立，(3)假设，那么=0，当 2 时，不可能恒成立，综上所述，的取值X围为 1,.22本小题总分值10 分选修 4 1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B，点 C 在圆上， ABC的角平分线BE 交圆于点E， DB 垂直 BE交圆于 D。证明：DB=DC；设圆的半径为1，BC=，延长 C

16、E交 AB 于点 F，求 BCF外接圆的半径。考点：弦切定理，三角形的性质，三角形与外接圆的关系等解析：连结 DE，交 BC与点 G.由弦切角定理得，ABF= BCE， ABE=CBE， CBE= BCE，BE=CE，又 DB BE， DE是直径， DCE=，由勾股定理可得DB=DC.专业资料整理WORD格式10专业资料整理WORD格式由知， CDE= BDE，BD=DC，故 DG是BC的中垂线，BG=.设 DE中点为 O，连结 BO，那么 BOG=， ABE= BCE=CBE=， CFBF，Rt BCF的外接圆半径等于.23.本小题10 分选修4 4：坐标系与参数方程曲线C1的参数方程为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为把C1的参数方程化为极坐标方程；求C1与 C2交点的极坐标 0,0 2 。考点：参数方程与极坐标方程的转化，直角坐标与极坐标的转化解析： 将消去参数，化为普通方程