《微分方程数值解法》复习、练习题

1、第一章 复习题1、建立差分格式的三个主要步骤（三个离散化）。2、差分格式的相容性、收敛性概念。3、Poisson 方程的5点菱形差分格式，矩形、非矩形区域情形边界条件的处理（离散化）。4、对长方形区域作正方形网格剖分，求解Poisson方程边值问题的五点菱形差分格式，按什么顺序对节点编号，可使差分方程带宽更窄？（按短方向排）5、差分方程有哪些共同特性，求解选用哪类方法？（大型稀疏，带状，主对角占优等，一般采用迭代法）多重网格等略。6、极值原理。7、5点菱形差分格式求解Poisson 方程第一边值问题的收敛性。第一章 练习题1、设有边值问题取h=0.1的正方形网格。（1） 用5点菱形格式在内点建

2、立差分格式；（2） 用截断误差为的方法离散化第三边界条件（有两种方式）；（3） 写出整理后的差分方程的矩阵形式 2、定义方形算子如下：试讨论5点方形差分方程逼近微分方程的截断误差是几阶？3、设有，取h=1/3，列出5点方形差分格式所得的差分方程。第二章 复习题1、差分格式稳定性与收敛性的定义。2、有关求特征值的几个结论。3、判断稳定性的矩阵法和Fourier分析法（Von-Neumann条件）的应用。4、显隐格式在一般情况下的优缺点。5、熟悉古典显、隐格式，六点对称隐格式（C-N格式）。6、叙述Lax等价定理。7、高维抛物型方程的ADI格式的优点。8、了解非线性方程差分格式的建立，讨论稳定性的

3、冻结系数法。第二章 练习题1、设有求解抛物型方程组的初值问题的差分格式试写出用Fourier分析法讨论稳定性时的增长矩阵。2、对上题考虑另一个差分格式 试讨论该格式的稳定性。3、对抛物型方程，考虑著名的Du Fort-Frankel（1953）格式(1)推导该格式是否满足稳定性的Von-Neumann条件？(2)该格式与Richardson格式有什么关系？4、 讨论求解的古典显格式的稳定性。5、 写出逼近的古典显格式。6、 讨论逼近的显格式的稳定性。7、 对初值问题：用截断误差为的方法将右边界条件离散化。第三章 复习题1、设有一阶拟线性双曲型方程（1） 写出相应的特征线方程及特征线上的微分关系

4、；（2） 熟悉特征线差分计算过程。2、一阶双曲型方程组的定义、正规形式、特征线及其上的微分关系。3、对，熟悉以下差分格式：（1） L-F格式； （2）偏心差分格式；（3）C-I-R格式；（4） Leap-Frog格式 ； (5) L-W格式。4、差分格式偏向与特征线走向的关系，CFL条件的几何意义。第三章 练习题1、设有，取步长h=0.2，试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）计算u(x,t)在点处的近似值。2、设有，a，c为常数，考虑差分格式 试讨论（1）该格式的稳定性；（2）该格式的截断误差。第四章 复习题1、空间完备性的概念。2、Banach空间、Hilbert空间的概念。3、定义、内

5、积、范数。4、广义导数的定义、唯一性，与古典导数的关系。5、一阶Sobolev空间的定义、内积、完备性；二阶Sobolev空间的定义、内积、完备性。6、变分法基本引理、结论。7、由边值问题适当选取函数空间（集合），建立双线性泛函与线性泛函，提出两种变分问题。8、古典解与广义解及其关系。9、叙述Hilbert空间中变分方程解的存在唯一性定理。10、变分问题的近似解描述以及Ritz-Galerkin方程的形式。11、传统（古典）Ritz-Galerkin方法的主要缺点。12、三角形网格剖分的优点和基本要求。13、什么是单元形状函数？试探函数？试探函数空间？14、试探函数的两个基本要求？属于哪个函数

6、集合？、等。（1）满足强制边界条件（如果有的话）；（2）有适当的广义导数；（3）是分段（片）m次多项式。15、节点基函数有什么特性？会带来什么好处：属于哪个函数空间？、等。16、提高有限元近似解精度的两个基本原则。17、按什么原则对节点编号，可使有限元方程组带宽最小？提示：相邻节点编号差的最大者达到最小。带宽：最大的邻点编号差×2+1.18、有限元方程组的求解用什么方法较好。19、（重点）常、偏微分边值问题，m=1,2,3时，分别提出单元形状函数和基函数的插值条件，形成有限元方程组的思路，有限元解的基函数表示。第四章 练习题1、对微分方程边值问题提出两种变分问题。2、由Green第一公式推导Green第二公式并对双调和方程边值问题建立两个相应的变分问题。3、针对二维Poisson方程，采用线性元求解，对下图的区域网格剖分，如何编号，有限元方程组带宽最小？带宽是多少？有限元方程组是多少阶？4、设有边值问题 试建立相应的虚功问题和极小位能问题。5、用线性有限元法求解边值问题在处的值。（要求导出其相应的变分方程、变分问题，明确写出双线性泛函和线性泛函的具体形式，以及允许函数空间和试探函数空间。在用有限元方法求解时，仅取两个单元即可。）第五章 复习题解抛物型方程的有限元方法的思路。第六章 复习题1、总纲阵存储方法及特点。2、有限元节点优化方法。3、有限元程序设计的预处理。4