数学建模——生产计划问题

1、数学建模作业 生 产 计 划 问 题 班级班级 数学与应用数学一班数学与应用数学一班 姓名姓名 高尚高尚 学号学号13071040106 1 生产计划问题 摘 要 本文通过对每个季度各种产品产量、需求量和存储量之间关系的分析，建立了基于Lingo的生产决策模型，解决了生产计划问题，并提出合理的生产方案得到了总赔偿和存储费用的最优解。 针对该问题， 采用线性规划的方法， 首先确定ijx为第j季度产品i的产量，ijd 为第j季度产品i的需求量，ijs为第j季度末产品i的库存量，用 0-1 规划来限制上述变量， 然后确定这些变量所具有的约束条件， 最后列出目标函数与约束条件

2、，利用Lingo软件（见附录）求解出总的赔偿和库存费用的最小值为 5900.70 元。 模型思路清晰，考虑周全，可以针对同类问题进行建模，具有一定的应用性和推广性。 关键词： Lingo、0-1 规划、生产决策、线性规划 2 一、问题重述 对某厂 I、II、III 三种产品下一年各季度的合同预订数如表 1 所示。 表 1 产 品 季 度 1 2 3 4 I 1500 1000 2000 1200 II 1500 1500 1200 1500 III 1000 2000 1500 2500 该三种产品 1 季度初无库存，要求在 4 季度末各库存 150 件。已知该厂每季度生产工时为 15000.

3、8 小时，生产 I、II、III 产品每件分别需要 2.1、4.3、2.7小时。 因更换工艺装备， 产品 I 在 2 季度无法生产。 规定当产品不能按期交货时，产品 I、II 每件每迟交一个季度赔偿 20.5 元，产品 III 赔 10.8 元；又生产出来产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费用为 5.1 元。问该厂应如何安排生产，使总的赔偿加库存的费用为最小。 二、问题分析 该问题的目标是使一年内总的赔偿加库存费用最小，需要重新建立生产计划，每种产品在每个季度的产量、贮存量、需求量都对最终决策起到了限制,因此需要对变量进行 0-1 规划，建立目标函数与约束条件，在此基础上实现总的赔偿加库存

4、的费用最小的目的。 三、模型假设 1.产量、贮存量、需求量不受外界因素影响； 2.产品的生产时间互不影响； 3.变量间没有相互影响。 四、变量说明 变量 含义 z 总赔偿和库存费用 4 , 3 , 2 , 1, 3 , 2 , 1,jixij 第j季度产品i的产量 ,34, 2 , 1, 3 , 2 , 1,jidij 第j季度产品i的需求量 4 , 3 , 2 , 1, 3 , 2 , 1,jisij 第j季度末产品i的库存量 3 五、模型的建立与求解 根据题中所给条件分析可得： 决策目标:总的赔偿费用为每个季度各产品费用的总和，总的库存费用为每个季度各产品的总库存量与费用之积，总的赔偿加库

5、存的费用最小为目标，即： 3131313211 . 58 .105 .205 .20minjijijjjjsdddz 约束条件一：每个季度总工时是有限的，第j季度生产所有产品所耗总工时不能超过每季度生产工时，即： 8 .150007 . 33 . 41 . 2321jjjxxx 约束条件二：产品 I 在第二季度无法生产，产量为 0，即： 012x 约束条件三：每种产品在第四季度给库存 150 件，四个季度的总产量与第四季度库存量总和为该种产品一年的总需求量，即： 1504141jjijijdx 约束条件四：第i季度的库存量就是本季度生产量与上个季度库存量之和在除去需求量，即： 11jjikij

6、ijikkkxdsd 约束条件五： 每个季度每种产品的产品量不可能为负数， 并且也只能为整数，即： 4 , 3 , 2 , 1, 3 , 2 , 1, 0jixij且为整数， 线性规划的目标函数与约束条件方程为： 33312311112312441111min (20.520.510.8)5.12.14.33.715000.80.15001,2,3,1,2,3,4jjjijjijjjjijijjjjjikijijikkkijzdddsxxxxstxdxdsdxij且为整数， 4 利用Lingo得出总的赔偿加库存的费用最小为 5900.70 元。 六、模型结果的分析与检验 6.1 结果分析 根据

7、模型的计算式子，利用软件求解得出了总的赔偿和库存费用，在不考虑其它风险的情况下，限定的工时内，通过对每种产品安排不同的工时，求得了最少的赔偿以及库存费用，但是利润不一定是最高的。 6.2 结果检验 当改变不同产品的总工时时，赔偿和库存费用便会增高。 七、模型的推广与改进方向 7.1 模型的推广 本模型适用于以 0-1 规划为基础的线性规划的问题， 考虑不同变量间的相互影响，为工厂或企业提供生产计划的最优解。 7.2 模型的改进 当约束条件增加时，模型求得的结果会更精确、 八、模型的优缺点 8.1 优点 模型思路清晰，求解相对简单，可以针对同类问题进行建模，具有比较大的应用性和实际性。 8.2

8、缺点 当变量之间有相互影响时，该模型就不适用。 九、参考文献 1 姜启源. 数学模型（第四版）M. 北京：高等教育出版社，1999.:85-100. 2 韩中庚. 数学建模方法及其应用（第二版）M. 北京：高等教育出版社，2009. 3 陈国华. 数学模型与数学建模方法M.天津：南开大学出版社，2012.:53-62. 5 十、附录 附录一：Lingo 代码 model: sets: season/1.4/:; product/1.3/:r,a;!a是生产用时,r赔偿; link(season,product):x,p,s;!p销量,s是余量; endsets min=sum(season(i

9、): sum(product(j): if(s(i,j) #ge# 0, 5.1*s(i,j), -r(j)*s(i,j); for(season(i):sum(product(j):a(j)*x(i,j)=15000.8); x21=0; for(product(j):s(4,j)=150); for(link(i,j):s(i,j)=if(i #eq# 1,x(i,j)-p(i,j),x(i,j)-p(i,j)+s(i-1,j); for(link(i,j):free(s);gin(x); data: p= 1500 1500 1000 1000 1500 2000 2000 1200 1

10、500 1200 1500 2500; r=20.5 20.5 10.8; a=2.1 4.3 2.7; enddata end 附录二：运行结果 Local optimal solution found. Objective value: 5900.700 Objective bound: 5900.700 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 203 Variable Value X21 0.000000 R( 1) 20.50000 R( 2) 20.50000 R( 3)

11、10.80000 A( 1) 2.100000 A( 2) 4.300000 6 A( 3) 2.700000 X( 1, 1) 1606.000 X( 1, 2) 1500.000 X( 1, 3) 1000.000 X( 2, 1) 894.0000 X( 2, 2) 1615.000 X( 2, 3) 2001.000 X( 3, 1) 2000.000 X( 3, 2) 1570.000 X( 3, 3) 1499.000 X( 4, 1) 1350.000 X( 4, 2) 1165.000 X( 4, 3) 2650.000 P( 1, 1) 1500.000 P( 1, 2) 1

12、500.000 P( 1, 3) 1000.000 P( 2, 1) 1000.000 P( 2, 2) 1500.000 P( 2, 3) 2000.000 P( 3, 1) 2000.000 P( 3, 2) 1200.000 P( 3, 3) 1500.000 P( 4, 1) 1200.000 P( 4, 2) 1500.000 P( 4, 3) 2500.000 S( 1, 1) 106.0000 S( 1, 2) 0.000000 S( 1, 3) 0.000000 S( 2, 1) 0.000000 S( 2, 2) 115.0000 S( 2, 3) 1.000000 S( 3, 1) 0.000000 S( 3, 2) 485.0000 S( 3, 3) 0.000000 S( 4, 1) 150.0000 S( 4, 2) 150.0000 S( 4, 3) 150.0000 Row Slack or Surplus 1 5900.700 2 2478.200 3 776.2000 4 2.500000 5