规范答题强化练四

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。规范答题强化练(四)立 体 几 何(45分钟48分)1.(12分)如图,多面体ABCDEF中,四边形ABCD为平行四边形,其中BAD=,AD=,AB=1,等边ADE所在平面与平面ABCD垂直,FC平面ABCD,且FC=. (1)点P在棱AE上,且=2,Q为EBC的重心,求证:PQ平面EDC.(2)求平面DEF与平面EAB所成锐二面角的余弦值.【解析】(1)如图,在棱BE上取点M,使得BM=2ME;连接BQ并延长,交CE于点N.则在ABE中,又AP=2PE,所以PMAB,(

2、2分)又四边形ABCD为平行四边形,所以ABCD,所以PMCD. 在BCE中,Q为重心,所以BQ=2QN,又BM=2ME,(3分)所以MQEC.又因为PMMQ=M,CDEC=C,所以平面MPQ平面DEC.又PQ平面MPQ,所以PQ平面EDC.(4分)(2)在ABD中,BAD=,AD=,AB=1,由余弦定理可得.BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosBAD=12+()2-2×1×cos=1.所以BD=1.(6分)取AD的中点O,连接EO,OB.在EAD中,EA=ED=AD=,所以EOAD,且EO=AD=.又因为平面EAD平面ABCD,平面EAD平面ABCD=AD

3、,所以EO平面ABCD.又在ABD中,AB=BD=1,AD=,所以OBAD,且OB=.如图,以O为坐标原点,分别以OA,OB,OE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.(8分)则A,D,B,E,C,F.则=,=,=,=.设平面ABE的法向量为m=(x1,y1,z1),则由可得整理得令z1=1,则x1=,y1=3.所以m=(,3,1)为平面ABE的一个法向量.设平面DEF的法向量为n=(x2,y2,z2),则由可得整理得令z2=-1,则x2=,y2=6.所以n=(,6,-1)为平面DEF的一个法向量. (10分)所以cos<m,n>=,设平面DEF与平面EAB所成锐二面角为,则c

4、os =cos<m,n>=. (12分)2.(12分)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB平面BCC1B1,BCC1=,AB=BC=2,BB1=4,点D在棱CC1上,且CD=CC1(0<<1).建立如图所示的空间直角坐标系.(1)当=时,求异面直线AB1与A1D的夹角的余弦值.(2)若二面角A-B1D-A1的平面角为,求的值.【解析】(1)易知A(0,0,2),B1(0,4,0),A1(0,4,2).因为BC=CD=2,BCC1=,所以C(,-1,0),当=时,D(,1,0).所以=(0,4,-2),=(,-3,-2).(3分)所以cos<,>=.(5分)故

5、异面直线AB1与A1D的夹角的余弦值为. (6分)(2)由CD=CC1可知,D(,4-1,0) ,所以=(-,5-4,0),由(1)知,=(0,4,-2).设平面AB1D的法向量为m=(x,y,z),则即令y=1,解得x=,z=2,所以平面AB1D的一个法向量为m=.(7分) 设平面A1B1D的法向量为n=(x,y,z),则即令y=1,解得x=,z=0,所以平面A1B1D的一个法向量为n=. (8分)因为二面角A-B1D-A1的平面角为,所以|cos<m,n>|=,即(5-4)2=9,解得=或=2(舍),故的值为.(12分)3.(12分)如图,在梯形ABCD中,ABCD,BCD=,

6、四边形ACFE为矩形,且CF平面ABCD,AD=CD=BC=CF=1.(1)求证:EF平面BCF.(2)点M在线段EF(含端点)上运动,当点M在什么位置时,平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大,并求此时二面角的余弦值.【解析】(1)在梯形ABCD中,因为ABCD,AD=CD=BC=1,又因为BCD=,所以AB=2,(2分)所以AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 60°=3.所以AB2=AC2+BC2.所以BCAC.因为CF平面ABCD,AC平面ABCD,所以ACCF,(4分)而CFBC=C,所以AC平面BCF,因为EFAC,所以EF平面BCF. (6分

7、)(2)由(1)可建立分别以直线CA,CB,CF为x轴,y轴,z轴的空间直角坐标系如图所示,(8分)AD=CD=BC=CF=1,令FM=(0),则C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),M(,0,1),所以=(-,1,0),=(,-1,1), 设n1=(x,y,z)为平面MAB的一个法向量,由得取x=1,则n1=(1,-), 因为n2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量,(9分)所以cos =,(10分) 因为0,所以当=0时,cos 有最小值,所以点M与点F重合时,平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大,此时二面角的余弦值为.(12分)4.(12分)在如图所示的几何体中,平面

8、ADNM平面ABCD,四边形ABCD是菱形,四边形ADNM是矩形,DAB=,AB=2,AM=1,E是AB的中点.(1)求证:DE平面ABM.(2)在线段AM上是否存在点P,使二面角P-EC-D的大小为?若存在,求出AP的长;若不存在,请说明理由.【解析】(1)连接BD,因为四边形ABCD是菱形,DAB=,E是AB的中点,所以DEAB,(2分) 因为四边形ADNM是矩形,平面ADNM平面ABCD且交线为AD,所以MA平面ABCD,又DE平面ABCD,所以DEAM,又AMAB=A,所以DE平面ABM.(4分) (2)由DEAB,ABCD,可得DECD,因为四边形ADNM是矩形,平面ADNM平面ABCD且交线为AD,NDAD,所以ND平面ABCD,以D为原点,DE为x轴建立如图所示的空间直角坐标系,(6分)则D(0,0,0),E(,0,0),C(0,2,0),N(0,0,1),设P(,-1,m)(0m1),则=(-,2,0),=(0,-1,m),因为ND平面ABCD,平面ECD的一个法向量为=(0,0,1),(7分)设平面PEC的法