谢寿才概率统计习题及其解答

1、习题四 1设随机变量的分布律为-10120.10.20.3求，.答案：，；2.设随机变量的分布律为-101且已知,求，.【解】因,又,由联立解得3.设随机变量的概率密度为 求，.【解】 故 4.设随机变量的概率密度为求(1)；（2）；（3）.【解】(1) 由得.(2) (3) 故 5. 过单位圆上一点作任意弦，与直径的夹角服从区间上的均匀分布，求弦的长度的数学期望.解：弦的长为随机变量，由任意的密度函数为6设服从柯西分布，其密度函数为问是否存在？解：因为所以不存在。7.一汽车需要通过三个设置红绿灯路口的一段路，每个路口出现什么信号灯是相互独立的，且红绿两种信号显示时间相同，以表示该汽车首次遇到

2、红灯前已经通过路口的个数，求.答案：8设随机变量服从区间上的均匀分布，求的数学期望与方差.解：。9.一工厂生产某种设备的寿命（以年计）服从指数分布，其概率密度为为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：100元和 -200元 故 (元).10.设随机变量相互独立，且求下列随机变量的数学期望.（1）；（2）.【解】(1) ；(2) 11.设随机变量的概率密度为试确定常数，并求.【解】因故k=2.12.设是两个相互独立的随机变量，其概率密度分

3、别为 求.【解】先求X与Y的均值 由X与Y的独立性，得 13.袋中装有12个灯泡，其中9个好灯泡，3个坏了的灯泡.电工在更换某个灯泡时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出好灯泡之前已取出的灯泡数为随机变量，求和.【解】其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知 于是，得到X的概率分布表如下：X0123P0.7500.2040.0410.005由此可得 14.设随机变量的概率密度为对独立地重复观察4次，用表示观察值大于的次数，求的数学期望.【解】令 则.因为及,所以,从而15.设随机变量的数学期望存在，对于任意，求函数的最小值，并说明其意义.解： ，当时，有唯一驻点，又，所以在时，取极

4、小值，也是最小值：这说明随机变量对其数学期望的偏离程度，比它对其他任意数偏离程度都小，最小值为其方差。16.设随机变量服从区间上的均匀分布，随机变量= =试求. 【解】因,而X+Y及（X+Y）2的概率分布相应为, .从而 所以17.对随机变量和，已知，求.【解】 18.设二维随机变量在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求及相关系数.【解】如图，SD=，故（X，Y）的概率密度为从而同理而 所以.从而 19.设随机变量的概率密度为.(1) 求及；（2） 求,并问与是否不相关？（3） 问与是否相互独立，为什么？ 【解】(1) (2) 所以X与|X|互不相关.(3) 为判断|X|与X的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域 -<x<+中的子区间（0,+）上给出任意点x0，则有所以故由得出X与|X|不相互独立.20.已知随机变量和分别服从正态分布和，且与的相关系数,.（1） 求；（2） 求与的相关系数,并判断与是否相互独立.【解】(1) 而所以 (2) 因 所以 由，得X与Z不相关.又因，所以X与Z也相互独立.21.将一枚硬币重复掷次，以和分别表示正面向上和反面向上的次数.试