考研学生级数部分

1、理工类说明：(1)只对数学一要求的在左上角加“”.(2)记号08120表示-08年数学一第20题.(3)例题中“Ai、Bi、Ci”分别表示“基本题、综合题、应用题”无穷级数 (数学一)考试要求1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。2.掌握几何级数与p-级数的收敛与发散的条件。3.掌握正项级数的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。4.掌握交错级数的莱布尼兹判别法。5.了解任意项级数绝对收敛和条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7.理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数收敛半径、收敛区间及收敛域

2、的求法。8.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项积分和逐项微分），会求一些幂级数在其收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。10.掌握ex, sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)m的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在,上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数，余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。（只对数一要求）-内容分为三大部分数项级数；幂级数；傅立叶级数。考题常出类型A.基本题B.综合题本章特点概念性强，分

3、析、推理多，运算量不算大。内容提要一、数项级数 形如 主要问题 一是审敛问题；二是求和问题。1.数项级数敛散定义：设数项级数的部分和为若存在，则称级数收敛, =S；若不存在，则称发散。注：用定义审敛的优点是审敛的同时可得收敛和，一般用于几何级数或两差项的级数。收敛存在。-2.级数的性质：(1)级数与()敛散性相同；(2)设两级数和则有下列结论：两收和必收；一收一散和必散；两散和不定(但必发散)。(3) 收敛级数任意添加括号后仍收敛。但逆命题不一定成立 (即添加括号后收敛的级数原级数不一定收敛)。(4) 若级数收敛，则。 级数收敛的必要条件作用:可用来判别发散：若0,则 发散；可用来求极限为零的

4、极限: 收敛，则。(5)若级数和都收敛，则级数, ，也都收敛。注：增加减少或改变级数的有限项不影响其敛散性。 若收敛，则也收敛。例题分析A1:00102设级数收敛，则必收敛的级数为( )。(A) ; (B) ; (C) ; (D)。-A2:0610906309若级数收敛，则级数( )必收敛。(A) ；(B)；(C)；(D)。-A3：04310 设有以下命题： 若收敛，则收敛； 若收敛，则收敛； 若1, 则发散；若收敛,则和都收敛。则以上命题中正确的是( )。(A);(B);(C);(D)。3.级数的审敛法(1) 正项级数 ( )I.比值(根值)审敛法：若 (或)，则级数注:若(),则必发散。此

5、时不必取极限。-II.比较审敛法:设正项级数和,且(当时)，则 若收敛，则也收敛。(大收则小收) 若发散，则也发散。 (小散则大散)-极限形式:若,则当且时，级数与同敛散。当时，级数收敛,则也收敛;当时，级数发散，则也发散。当时，即，则级数与同敛散。-说明：常取来判别收敛；取来判别发散。是级数收敛的充分而非必要的条件。 两个正项级数，收敛，且= k存在，则级数收敛。-几个常用级数的敛散性：几何级数()：当时，发散；当时，收敛。p-级数 、：当时，收敛；当时发散。特别地，调和级数发散。 ()注：若正项级数收敛，则与均收敛。(2)交错级数 ()莱布尼兹判别法:若且，则级数收敛，且和。说明:该判别法

6、是级数收敛的充分而非必要条件。如：级数收敛，但不是递减数列。-考察常用三种方法：比值法；差值法 ；微分法 令，若。(3) 任意项级数绝对收敛:若级数收敛,则收敛,并称绝对收敛。条件收敛:若级数收敛,而发散,则称级数条件收敛。说明:1） 当发散时,未必发散。但若（或），则必发散；或用比（根）值法判断发散，则必发散。2） 若收敛，则收敛。3） 设正项级数收敛,若存在，则级数绝对收敛。4） 若绝对收敛，则和均收敛。5）若条件收敛，则和均发散。-审敛的一般程序：判别所属类型不是正项级数判别收敛收敛,则发散 比值、比较例题分析基本题：A1：判别下列级数的敛散性：(1)(2) 93301 (3) (4)A

7、2:04109设为正项级数，下列结论中正确的是( )。(A)若，则级数收敛；(B)若存在非零常数，使得，则发散；(C)若级数收敛，则； (D)若级数发散，则存在非零常数，使得。A2:13304设为正项级数，则下列说法正确的是( )。(A) 若,则收敛；(B) 若收敛,则；(C)若收敛，则存在常数使得存在；(D)若存在常数使得存在，则收敛。A2:09104设有两个数列，, 若，则( )。(A)当收敛时,收敛；(B)当发散时,发散；(C)当收敛时，收敛；(D)当发散时，发散。A3：11301设是数列，则下列命题正确的是（ ）。(A)若收敛，由收敛；(B)若收敛，则收敛；(C)若收敛，则收敛；(D)

8、 若收敛，则收敛。A3：05309设，若发散，收敛，则下列结论正确的是( )。(A)收敛，发散；(B)收敛，发散；(C)收敛; (D)收敛。A4：12304 已知级数绝对收敛，级数条件收敛，则的范围为（ ）。(A)；(B)；(C)；(D)。A5：下列级数符合哪个选项：(A)发散；(B)条件收敛；(C)绝对收敛；(D)收敛性与有关，。(1)87102(2)90102(3) 92102(4) 9410294302 若收敛，则级数。(5) 96102 设，且收敛，则级数，() 。(6) 02102设 ()，且，则级数。-A6：讨论下列级数的敛散性：(1);(2);(3)90301 ；-A7:9810

9、8设正项数列单调减少，且发散,试问是否收敛？并说明理由。-A8:设，并设级数和均收敛，试证明级数收敛。-A9: 设是收敛的正项级数，且级数收敛，试讨论级数的敛散性，说明理由。综合题：B1:94106设在点的某一邻域内具有二阶连续导数，且，证明级数绝对收敛。-B2：设定义在0, 1上的函数在(0, 1)内可导，且导函数有界，证明：(1) 级数绝对收敛； (2) 存在。B2:设，证明存在。-B3:04118设有方程，其中n为正整数，证明此方程存在唯一正实根，并证明当时，级数收敛。-B4:99109 设, (1) 求的值；(2) 试证:对任意的常数，级数收敛。三、傅里叶(Fourier)级数：1.

10、周期函数的傅里叶级数：设是在上以2l为周期的函数，级数 称为的以2l为周期的傅里叶级数。其中，；，称为的以2l为周期的傅里叶系数。(1)当为偶函数时，, ; , 称为的余弦级数。(2)当为奇函数时, , ; ， 称为的正弦级数。-2.狄利克雷收敛定理：设在区间上满足：连续或仅有有限个第一类间断点； 单调或可划分成有限个单调区间。则的以2l为周期的傅里叶级数在区间之外，此级数的和函数为以2l为周期的周期函数。-3.非周期函数的傅里叶级数：设是上的非周期函数，可将它延拓成上以2l为周期的函数。偶延拓：令，则成为余弦级数=奇延拓：令，则成为正弦级数=例题分析A1: 92101设，则以为周期的傅里叶级

11、数在处收敛于 。-A2: 99101设，其中，()，则=( )。 (A)； (B)； (C)； (D)。-A3：设，而，则=。A4: 03101 设，则_。（4分）A5: 91105将()展开成以2为周期的傅里叶级数，并求的和。（8分）A6: 95104将()展开成周期为4的余弦级数。（6分）答案：A7: 08119 将()展开成余弦级数，并求级数的和。（11分）答案：，二、幂级数 形如 当时，注：对于，只需令便可得到 。-此处题共分五类：1 求收敛半径，收敛区间，收敛域。2 求收敛域及和函数。3 求和函数，并求和（或只求和）。4 展成幂级数，或者加上求和。5 综合题：与方程，定积分等应用联系

12、起来。-1.收敛半径、收敛区间、收敛域讨论收敛半径：存在常数, 使得当时，级数收敛，当时，级数发散，此时称R为级数的收敛半径。(阿贝尔定理)求法: 对幂级数，则收敛半径。注：当时，仅在收敛；当时,在收敛。只含偶数项或只含奇数项的缺项幂级数不能用此方法。收敛区间：开区间称为级数的收敛区间。收敛域：级数的收敛点的全体称为它的收敛域。 有4种形式： , , , 。 例题分析A1：00107 求的收敛域。(6分)A1：92301 求的收敛域。（3分）A2：95101 求的收敛半径。（3分）-A3：08111已知幂级数在处收敛，在处发散，求幂级数的收敛域。（4分）-A4：97101设级数的收敛半径是3，

13、求的收敛区间。（3分）-2.和函数定义:对于函数项级数，其部分和。若存在，则称为级数的和函数，并记作，。对于幂级数，其性质如下：(1)(连续性) 和函数在收敛域内连续。若在处，级数收敛，则在上连续。(2)(可加性) 若级数，级数，则=±，。(3) (可微、可积性) 设级数，则=，；=，。说明：(1)求幂级数的和函数是考试热点，具有一定难度，常采用间接法。若可拆成前后两项的差时，一般用定义求。(2) =0的充分必要条件是，。3.函数的幂级数展开式：泰勒(Taylor)级数：设在内有任意阶导数，级数称为在处的泰勒级数，其中。麦克劳林级数：令, 级数称为在点处的麦克劳林级数。-几个常用函数

14、的幂级数展开式：=, ；=，()；=，()；=，()；， ()；。例题分析A1：10118求级数的收敛域与和函数。A1：求级数的收敛域，并求其和函数。A2：05116求级数的收敛区间与和函数。A3：12114 求的收敛域及和函数。（10分）类似题：1. 06319求幂级数的收敛域及和函数。 答案：2. 05318求在区间内的和函数S(x)。 答案：A4:96105 求级数的和。 答案：。A4:93105 求级数的和。答案：。-A5:06117将函数展开成x的幂级数。A5:94103将函数展开成x的幂级数。-类似题：1. 07320将函数展开成x1的幂级数，并指出其收敛区间。（10分）2.03104将展开成x的幂级数，并求级数的和。3.01105设，试将展开成的幂级数，并求级数的和。（8分）综合题：B1:09116设为曲线和（）所围区域的面积，记， ，求，。（9分）B1:07120设幂级数在内收敛，其和函数满足，。(I)证明： (II)求的表达式。 (10分)解题简易过程：(I) 幂级数在收敛区间内可逐项求导任意次，求出和（注意：要进行整理和化简），代入方程，并由，可求得，；(II) 由，可推得，再由初值及可推得，易归纳得，所以。B2: