平面向量基本定理及共线向里之应用(精)

1、平面向量的概念及其线性运算1.向量的有关概念名称定义备注平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比拟大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0向量 运算定义法那么(或几何意义)运算律加法求两个向量 和的运算二角形法那么(1)交换律：a+ b= b+ a.平行四边形法那么丿匕;a "(2)结合律：(a+ b) + c= a+ (b+ c)减法求a与b的相反向量一b的和的运算叫做a与b的差三角形法那么a b = a+ ( b)数乘求实数入与 向量a的积 的运算(

2、1)1*丨洞；留神0时，也的方向与a的方向 相同;当疋0时，沦的方向与a的方 向相反；当入=0时，总=0X旧)=入社(A+ (j)a X+ ;2(a+ b) X+ X向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数入使得b= 2a.4、平面向量根本定理如果ei， e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量a，有且只有一对数数入i,入 2,满足 a = X iei +入 2 e2。【典型例题】【例1】 设两个非零向量a与b不共线. (1)假设AB= a+ b, BC = 2a+ 8b, CD= 3(a b) 求证：A, B, D 三点共线;试确定实数k,使ka+ b和a+ kb

3、共线.【训练1】 向量a, b不共线，且c= 2+ b, d = a+ (2 X 1)b，假设c与d同向，那么实数 入的值 5AM = AB + 3AC，那么 ABM 与厶 ABC 的面为【例2】假设点M是厶ABC所在平面内的一点，且满足积1234比为() a.5b.5c.5d.5C 不重合，假设 AO = x AB+ (1 x)AC,【例3】在厶ABC中，点O在线段BC的延长线上，且与点那么实数 x 的取值范围是().A . ( %, 0) B . (0,+x) C. ( 1,0) D . (0,1) 【例4】假设点O是厶ABC所在平面内的一点，且满足|OB OC|= |0B+ OC 2OA

4、|，那么 ABC的形状为. 【例5】在厶ABC中，E, F分别为AC, AB的中点，BE与CF相交于G点，设AB = a, AC= b,【课堂稳固】1.如图，设P、QABC内的两点，且AP试用a，b表示AG.2AB-AC， AQ = -AB + -AC，那么 ABP的面积与ABQ5534的面积之比为1 4a4 - 5B1 一 51 3D.3.如图，在 ABC中， AB 2 , BC 3,BC于H , M为AH的中点，假设ABC 60 , AHAM AB BC，贝U3、向量a, b, cc=入a +卩b 入,卩 R,那么一 =3、ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H，OHmOA OB

5、 OC，那么实数m的值是多少?4、在厶ABC中，过中线AD的中点E任作一条直线分别交 求4x y的最小值。AB, AC 于 M , N 两点，假设 AM = xAB,AN = yAC,5、如图，OA 2,QBi 1,OC； 4,OA与OB的夹角为1200, OA与OC的夹角为30°,用OA,OB表示OC .6、在平面上，AB1AB2 , OB1 |OB2 1, AP AB' AB2 假设 OP2 ' 22,那么OA的取值范围是D.7, 227 .直角梯形 ABCD中，AD / BC , ADC 90° ,AD 2,BC 1, P是腰DC上的动点，那么PA 3

6、PB的最小值为8. O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP OA 那么P的轨迹一定通过 ABC的,AB AC 、( )|AB| |AC|D .垂心A .外心B .内心C.重心9如右图，平面内的两条相交直线 OPi和0P2将该平面分割成四个局部I，川，W (不包含边 界设0P= mOPi + nOP2，且点P落在第川局部，那么实数 m, n满足A. m>0，n>0B. m>0， n<0C. m<0，n>0 D. m<0，n<0OG8 .如图，O是厶ABC外任一点，假设-(OA OB OC)3，求证：G是厶ABC重心ANn

7、AB n，假设AL + BM + CN= 0.求证:l = m= n.DEEC10、在平行四边形ABCD中,1E和F分别是边CD和BC的点.且B|九，假设aaBFCbl cm9.：如图，点L、M、N分别为 ABC的边BC、CA、AB上的点，且B|= l，_|A = m，11、如下列图，0M / AB，点P在由射线0M、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内不含边界 运动，且OP xOA yOB，那么x的取值范围是；当x -时，y的取值范围是212、如图，两块斜边长相等的直角二角板拼在一起.假设AD xAB yAC ，那么x y=.13 .点P在厶ABC所在的平面内，假设 2PA + 3PB +

8、 4PC = 3AB，那么 PAB与厶PBC的面积的比值为.114. 如图，在 ABC中，/ A= 60° / A的平分线交BC于D，假设AB= 4,且AD = 4AC + XAB 入R，那么AD的长为15. 在 ABC 中，a，b，c分别是角 A，B，C所对的边，且 3aBC + 4bCA + 5cAB = 0,那么 a : b : c16、如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，假设AE = mAB，AFnAC，其中m, n (0,1)设EF的中点为M, BC的中点为N.假设A, M , N三点共线，求证：m= n；假设m+ n=1,求| MN |的最小值.【课后思考】A1.如图，正六边形 ABCDEF中，P是厶CDE内(包括边界)的动点.