第一章计数原理

1、第一章计数原理.排列与组合教学目标.正确运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理，熟练掌握排列与组合的方法；.了解数学中的趣味性与技巧性，从排列组合中认识不重不漏的原则，并用于今后的生活中.激发学生对学习数学的兴趣课的类型新课教学重点分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用，教学难点分步与分类时不重不漏；教学方法讲授法，问答法，读书指导法，讨论法，演示法，练习法等；板书设计见附录教学过程复习：老师：首先，我们一起回忆一下，上一节课学过的分类加法计数原理与分步乘法计数原理，哪位同学愿意试着说说看？同学：加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法那么

2、完成这件事共有不同种的方法分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有×种不同的方法老师：非常好，请坐导入：下面我们试着解决这样几个问题问题从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动，有多少中不同的选法？（板演） 我们可以这样分析这个问题：从甲、乙、丙名同学中每次选出名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排法解决这一问题可以分两个步骤：第步，确定参加上午活动的同学，从名同学中任选人，有种方法；第种，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的

3、同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的人中去选，于是有种方法根据分步乘法计数的原理，在名同学中选出名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法有×种，如图所示上午下午相应的排法乙甲乙甲丙甲丙甲乙甲乙丙乙丙甲丙甲丙乙丙乙（板演）把上面问题中被选取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从个不同的元素，中任取个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是，共有×种。问题从，这个数字中，每次取出个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？（板演）显然，从个数字中，每次取出个，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数可以

4、分三个步骤来解决这个问题：第步，确定百位上的数字，在，这个数字中任取个，有种方法；第步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的个数字中去取，有种方法第步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的个数字中去取，有种方法。根据分步乘法计数原理，从，这个不同的数字中，每次去出三个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有××种不同的排法，因而共可得到个不同的三位数，由此可写出所有的三位数：，（板演）同样，问题可以归结为：从个不同的元素，中任取个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？所有不同排列是，共有&

5、#215;×种（板演）思考上述问题，的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？讲解新课：定义：一般的，从个不同的元素中取出（）个元素，按照一定的顺序排成一列，从个不同元素中取出个元素的一个排列（板演）老师：看了定义和两个问题，我们来归纳一下排列的特征根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同例如在问题中，与的元素不完全相同，它们是不同的排列；和虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列定义：从个不同元素中取出（）个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示（板演）上面的问题1，是求从3个不同元

6、素中取出2个元素的排列数记为已经算得×；（板演）上面的问题，是求从个不同元素中取出个元素的排列数，记为已经算的××（板演）老师：下面我们思考一下，从个元素中取出个元素的排列数是多少？，（）又是多少？根据问题，的经验，求排列数可以这样考虑：假定有排好顺序的两个空位，从个元素，中任取个去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可议由这样一种填法得到因此，所有不同填法的种数就是排列数第位第位种（）种现在我们计算有多少种填法完成填空这件事可分为两个步骤：第步，填第个位置的元素，可以从这个元素中任选个，有种方法；第步，填第个位置的元素，可以从

7、剩下的（）个元素中任选个，有（）种方法根据分步乘法计数原理，个空位的填法种数为×（）同理，求排列数可以按依次填个空位来考虑，有×（）×（）一般地，求排列数可以按依次填个来考虑：假定有排好顺序的个空位，从个元素，中任取个去填空，一个空位填个元素，每一种填法就对应一个排列因此，所有不同填法的种数就是排列数第1位 第2位 第3位 第m位 n种 （n1）种（）种（）种填空可分为个步骤：第步，第位可以从个元素中任选一格填上，共有种选法；第种，第位只能从余下的（）个元素中任选一个填上，共有（）中选法；第步，第位只能从余下的（）个元素中任选一个填上，共有（）种选法；第步，当前面

8、的个空位都填上后，第位只能从余下的（）个元素中任选一个填上，共有种选法根据分步乘法计数原理，全部填满个空位共有（）（）（）种填法这样，我们就得到公式定义：（）（）（）这里，并且这个公式叫做排列数公式根据排列数公式我们就能方便地计算出从个不同元素中取出（）个元素的所有排列数老师：我们来做几个练习来巩固一下这个公式，谁能说出，的值？同学：×，××老师：非常好，请坐定义：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列这时公式中，即有（）（）·····！另外，我们规定！事实上，（）（）（） （板演）例某年全国足球甲级

9、（组）联赛共有个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？（板演）解：任意两队间进行次主场比赛与次客场比赛，对应于从个元素中任取个元素的一个排列因此，比赛的总场次是×老师：同学们，这节课我们学习了排列，排列数，全排列的概念，以及排列数的求法，留一道练习和一道作业题，有兴趣的同学可以在做完作业后思考一下这道练习。课后作业：练习题：用到这个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？（板演）同学们请认真完成作业，下课附录：板书设计.排列与组合定义：一般的，从个不同的元素中取出（）个元素，按照一定的顺序排成一列，从个不同元素中取出个元素的一个排列注：两个排列相同，当且

10、仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同定义：从个不同元素中取出（）个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示××××（）×（）×（）加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法那么完成这件事共有不同种的方法分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有×种不同的方法问题从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动，有多少中不同的选法？，共有×种。问题从，这个数字中，每次取出个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？，共有××种.排列与组合定义：一般的，从个不同的元素中取出（）个元素，按照一定的顺序排成一列，从个不同元素中取出个元素的一个排列注：两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同定义：从个不同元素中取出（）个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示定义：（）（）（）这里，并且这个公式叫做排列数公式定义：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列这时公式中，即有（）（）··&#