泛函分析期末复习提要

1、泛函分析期末复习提要一、距离空间与拓扑空间(一)教学内容1. 距离空间的基本概念：定义与例子、收敛性、距离空间的连续映射与等距。2. 距离空间中的点集：开集与闭集、稠密子集，可分距离空间。3. 完备距离空间：Cauchy列，完备性、闭球套定理、纲，纲定理、距离空间完备化。4. 压缩映射原理：不动点，压缩映射原理、压缩原理的一些应用。5拓扑空间的基本概：拓扑空间的定义、拓扑基、拓扑空间中的连续映射，同胚、分离公理。6紧性和距离空间的紧性：紧性的概念、紧空间的连续映射。7距离空间的紧性：列紧集，全有界集、Arzela定理。重点 掌握距离空间的基本概念、 距离空间中的点集、 完备距离空间、 压缩映射

2、原理、拓扑空间的基本概念、紧性和距离空间的紧性。难点 完备距离空间、 压缩映射原理。(二)教学基本要求1.理解距离空间、距离空间中的点集等基本概念。2.了解完备距离空间的概念，掌握压缩映射原理的证明。3.理解拓扑空间的基本概念及其运算性质。二、赋范线性空间(一)教学内容1. 赋范空间的基本概念：赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的例。2. 空间L(p³1)：Holder不等式与Minkowski不等式、空间pLp(E)(p³1)、空间L¥(E)。3. 赋范空间进一步的性质：赋范空间的子空间、赋范空间的完备化、赋范空间的商空间、赋范空间的乘积、赋范线性

3、空间的基本概念、等价范数。4. 有穷维赋范空间。重点 赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的例、Holder不等式与Minkowski不等式、空间L(E)(p³1)、空间L(E)、赋范空间的子空间、赋范空间的完备化、赋范空间的商空间、赋范空间的乘积、赋范线性空间的基本概念、等价范数。难点 Holder不等式与Minkowski不等式、赋范空间的完备化、空间p¥Lp(E)(p³1)、空间L¥(E)。(二)教学基本要求1.理解赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的子空间、赋范线性空间的基本概念、等价范数。2.熟练掌握Holder不等式

4、与Minkowski不等式。三、有界线性算子(一)教学内容1. 有界线性算子与有界线性泛函：定义与例、有界线性算子空间。2. Banach-Steinhaus定理及其某些应用。3. 开映射定理与闭图像定理：逆算子、线性算子的谱、开映射定理、闭图像定理。4Hahn-Banach定理及其推论：Hahn-Banach定理、共轭空间与共轭算子。5某些赋范空间上有界线性泛函的一般形式：空间Ca,b上的有界线性泛函、空间La,b(1<p<¥)上的有界线性泛函、空间c上的有界线性泛函。6自反性与弱收敛：自反性、弱收敛。7紧算子：定义、紧算子的基本性质。重点 有界线性算子空间、逆算子、线

5、性算子的谱、开映射定理、闭图像定理、空间Ca,b上的有界线性泛函、空间La,b(1<p<¥)上的有界线性泛函、空间c上的有界线性泛函、定义、紧算子的基本性质。难点 Hahn-Banach定理、共轭空间与共轭算子。(二)教学基本要求1.了解定义与例、有界线性算子空间。2.理解Banach-Steinhaus定理、逆算子、线性算子的谱、开映射定理、闭图像定理。3.理解空间Ca,b上的有界线性泛函、空间La,b(1<p<¥)上的有界线性泛函、空间c上的有界线性泛函。4.了解自反性、弱收敛。四、Hilbert空间(一)教学内容1. 内积空间的基本性质。2.

6、正交性，正交系：正交性、正交系、可分空间的同构。3. Riesz表示定理，Hilbert空间的共轭空间：Riesz表示定理、空间的共轭空间。4. Hilbert空间中的自共轭紧算子。重点 内积空间的基本性质、正交性、正交系、可分空间的同构、Riesz表示定理、空间的共轭空间、Hilbert空间中的自共轭紧算子。 PPP难点 Riesz表示定理、空间的共轭空间。(二)教学基本要求1. 了解内积空间的基本性质、正交性、正交系。2. 理解可分空间的同构、Riesz表示定理、空间的共轭空间。3. 理解Hilbert空间中的自共轭紧算子。五、拓扑线性空间(一)教学内容1. 拓扑线性空间的基本性质：定义、

7、分离性、平衡集，有界集、距离化、有界线性算子。2. 半范数、局部凸空间：半范数、局部凸空间。3. 弱拓扑：分离定理、拓扑线性空间上的弱拓扑、共轭空间上的弱拓扑、凸集的端点。重点 拓扑线性空间的基本性质、半范数、局部凸空间、分离定理、拓扑线性空间上的弱拓扑、共轭空间上的弱拓扑、凸集的端点。难点 分离定理、拓扑线性空间上的弱拓扑、共轭空间上的弱拓扑、凸集的端点。(二)教学基本要求1.了解定义、分离性、平衡集，有界集、距离化、有界线性算子。2.理解半范数、局部凸空间。3.理解分离定理、拓扑线性空间上的弱拓扑、共轭空间上的弱拓扑、凸集的端点。六 Banach代数(一)教学内容1. Banach定义与例。2. 正则点与谱：定义、谱的性质。3. 极大理想与商代数：极大理想、商代数。4交换Banach代数的基本定理：连续线性可乘