模糊紧场的拓扑度

1、模糊紧场的拓扑度语数教研室 陈文亚摘要：拓扑度理论式研究非线性问题的有力工具，利用它可以得到许多不动点定理。本文的目的是要把拓扑度理论推广到模糊数学领域，针对一类模糊映射建立模糊拓扑度。 首先，本文提出模糊紧场和模糊紧映射的概念，讨论一个模糊映射成为模糊紧映射的条件，并举出模糊紧映射的实例。其次，给定单值函数，用水平集方法把模糊紧场转化为集值紧场，用集值紧场的拓扑度来定义模糊拓扑度，证明模糊拓扑度与单值函数的取法无关，还讨论模糊拓扑度的正规性、可加性等性质。 最后，本文给出模糊紧映射的不动点指数定义，并讨论它的性质，利用模糊拓扑度的定义，证明了模糊不动点定理，并且举例计算了一个模糊紧映射的拓扑

2、度。关键词：模糊集，模糊紧场，拓扑度11模糊集合定义11设是线性赋范空间，是的映射，则称为上的模糊集，上的模糊集全体记为.定义12设是线性赋范空间，由到的映射称为模糊映射。如果是模糊映射，则是模糊集，简记为，表示的隶属度。定义13设是线性赋范空间，模糊映射称为凸的，如果对任意的，模糊集是凸的，即对任意的及，有.设，集称为的截集。模糊映射称为闭的，如果作为上的二元函数是上半连续的。12模糊紧场和模糊紧映射的相关定义121模糊紧场和紧映射的定义定义14设是线性赋范空间，模糊映射称为模糊紧的，如果存在单值函数，使得是集值紧的，称为关于单值函数的对应映射，在不混淆的情况下，简记为定义15设是线性赋范空

3、间，模糊映射称为模糊紧场，如果存在单值函数，使得是集值紧场，称为关于单值函数的对应映射，在不混淆的情况下，简记为13模糊紧映射131模糊紧映射的充要条件设是线性赋范空间， 为模糊映射。下面我们来讨论当满足什么条件时，能推导出是模糊紧映射。命题11设是线性赋范空间，模糊映射是闭的，若存在下半连续的单值函数，使得是非空的，则是闭图象，其中是关于函数的对应映射。证明 设其中是关于函数的对应映射，并且当，有于是对任意的整数，有又因为作为的二元函数是上半连续的，且是下半连续的，所以有此即表明因此是闭图象。命题12设是线性赋范空间，模糊映射是凸的，若存在单值函数，使得是非空的，则是凸的。 证明 任取，则有

4、。因为是凸的，所以有从而有，此即表明是凸的。定义15设是线性赋范空间，用来表示在中的闭包。假如，而且是的紧子集，那么记作。如果是定义在上的函数，我们把定义为的支集。我们说在中具有紧支集，即。命题13设是线性赋范空间，作为的二元函数，具有紧支集时，若存在单值函数，使得是非空的，则是相对紧的，其中是关于函数的对应映射。证明 设是二元函数的紧支集，即是中的紧集，且，其中是在上的投影（即），是中的相对紧集。这是因为，任取，则存在，使得，即，故，从而，由的任意性，知，所以是相对紧的。 由以上讨论，我们知道，当是闭的、凸的，且作为二元函数具有紧支集，若对任意给定的单值下半连续函数,使得非空，故的对应映射是

5、上半连续的，从而是模糊紧映射。132模糊紧映射的例子设是定义在上的二元函数，则是连续的，当把限制在上，还是连续函数。令则在上连续，并且事实上，任取，当时，在区域上的最大值为，即此即表明连续，显然。接下来，我们利用上述函数来构造模糊紧映射，取，则，其中其中。具有以下性质： 1 是上的连续函数；2 是凸的；3 具有紧支集； 4 是非空的。 事实上，性质1，性质3显然，我们只需证明性质2和性质4。要证明模糊映射是凸的，只需证明任意的，有 （1）当时，则，（1）式显然成立。当，有，且的值介于两者之间，从而（1）式成立。当两者中一个大于，一个小于时，中必有一个为零，所以（1）式成立。综上所述，是凸的。

6、接下来，我们证明性质4，任取，作为二元函数在处取得最大值1，所以，此即表明非空。 由上述讨论知，映射是模糊紧的。14 模糊紧场的拓扑度141模糊紧场的拓扑度定义 讨论完模糊紧映射的充要条件，接下来我们定义线性赋范空间中模糊紧场的拓扑度，讨论模糊拓扑度的性质。定义16设线性赋范空间，是中的非空开集，模糊紧场属于，则存在单值函数，使得是中给出的集值紧场的拓扑度定义知，的拓扑度存在，记为。我们把模糊紧场的拓扑度，记作，定义为定理11定义16中的拓扑度的值与的对应映射的选择无关。证明 设是两个单值函数，使得都是中的集值紧场，则集值紧场在中是同伦的。事实上，令显然是集值紧场，且。设不然，则存在，使得，其

7、中。因为都属于，于是有,即。又因为是凸集，故矛盾，结论成立。所以由集值紧场的同伦不变性得，此即表明模糊紧场的拓扑度与对应映射的选择无关，定义合理。142模糊紧场的拓扑度的性质 性质11（正规性）设是线性赋范空间，是中的非空开集，如果是模糊恒等映射，则。 证明 任取单值函数，则是普通得恒等映射,由集值紧场的拓扑度定义，得，又由模糊紧场拓扑度的定义，得，联立等式即得。性质12（同伦不变性）设是线性赋范空间，是中的非空开集，模糊紧场在中同伦，则 。 证明 因为同伦，故存在中得模糊紧场，使得，其中。从而存在单值函数使得 是集值紧场，且，记，则都是中的集值紧场，且使得在中同伦。 由集值紧场的同伦不变性得

8、又由模糊紧场拓扑度定义知把所有等式联立即得性质13（区域可加性）设是线性赋范空间，是中的非空开集，是中互不相交得开集族， 是中的模糊紧场，则 ，其中等式右边仅有有限项不为零。 证明 因为是模糊紧场，故存在单值函数，使得的对应映射是集值紧场，关于的限制的对应映射为，且属于，由集值紧场得区域可加性，得，其中等式右边仅有有限项不为零。又由模糊紧场得拓扑度定义知把所有等式联立即得。推论11（切除性）设是线性赋范空间，是中的非空开集，开集是中的模糊紧场，则性质14（平移不变性）设是线性赋范空间，是中的非空开集，是中的模糊紧场，如果把看作是模糊点，可以定义模糊映射，其中，则是中的模糊紧场，且，其中是中的零

9、元。 证明 由模糊集的加法运算，得 （2）任意给定单值函数，设分别是模糊映射关于函数的对应映射。 当是空集时，即对任意的，都有，由（2）式，得，此即表明是空集。同理可证，当是空集时，也是空集。当是非空时，任取，有此即表明，非空，且，由的任意性，得。同理可证，当是非空时，非空，且。综上所述，或者同为空集，或者同时非空；并且当非空时，有 因此映射是中得模糊紧场。由集值紧场得平移不变性得又由模糊紧场的拓扑度定义有，。把所有等式联立即得。性质15（可解性）设是线性赋范空间，是中的非空开集，是中的模糊紧场，若，则存在单值函数及，使得。证明 因是模糊紧场，则存在，使得是的对应映射，且属于，由模糊紧场的拓扑

10、度定义得由集值紧场得可解性，知存在使得所以。第二章 模糊映射得不动点指数21 模糊不动点指数的定义定义21设是线性赋范空间，若存在连续算子，使得当时，恒有，则称是的一个收缩核，算子称为是一个保核收缩。引理21 实空间中任何非空凸闭集都是的收缩核，并且，存在保核收缩，使，其中表示点到集的距离。定义22设是实空间，是中的闭凸集，是中的开集，表示中的模糊集，是模糊紧映射，且属于，是一个保核收缩。定义在上关于的不动点指数为， （3）其中为模糊恒等映射，表示模糊映射与保核收缩的复合映射，（3）式右端为模糊拓扑度。定理21 定义22中的模糊映射不动点指数定义合理。证明 要证明模糊映射不动点指数定义合理性，

11、也就是要证明（3）式右端有意义，且其值与保核收缩的选取无关。因为是模糊紧映射，故存在单值函数，使得关于函数的对应映射是集值紧的。对于单值函数，记的对应映射为，则有 即有，易知是集值紧的，故也是集值紧的，从而是模糊紧的。接下来证明属于。事实上，任意给定单值函数，使得关于函数的对应映射为集值紧的，由于，所以关于函数在上的限制的对应映射为集值紧的，并且在上，事实上，有，又，故，从而，由的任意性，得。同理可证，从而结论得证。接下来，我们项证明一个有用得命题。命题21的不动点均属于，且为的不动点，其中，分别是，关于函数和它的限制的对应映射。证明 设并且。因为所以从而，且。由于属于，由假设，知在上没有不动

12、点，故，命题得证。接下来我们继续证明上述定理。由连续，知是中的开集。易知在上没有不动点。事实上，设存在，使得，由上述命题2.1，知。由于，故是开集的内点，与矛盾。因此属于，由的任意性，得属于，综上所述，知（3）式右端的模糊拓扑度有意义。 我们接着证明（3）式右端的值不随保核收缩的选取而改变。设是另一个保核收缩，要证 （4）令，则，且，由命题2.1，知属于，属于，由模糊拓扑度的切除性，得令其中是对应于函数的紧映射。 则是模糊紧的，且属于。事实上，令于是，则 （5）事实上，当或时，（5）式显然成立；当时，任取于是有，由定义，知存在，使得此即表明。由的任意性，得任取，于是存在，使得从而即由的任意性，

13、得。下证且属于。任取单值函数，使得关于函数的对应映射是集值紧的。设存在，使得，于是。由于，都属于，故，从而存在，使得即故，从而，由假定，知在上没有不动点，故，这与矛盾，结论得证。 综上所述，可得是中的模糊同伦映射。由模糊同伦不变性，得从而按（3）式定义得不动点指数是由唯一确定，不随保核收缩的选取改变。22 模糊映射不动点指数的性质现在，我们讨论模糊紧映射的不动点指数的性质。性质21（正规性）设是实空间，是中的闭凸集，是中的开集是模糊紧映射，且，其中是以为承点，1为高度的模糊点，则证明 因为对任意给定的，都有，所以。任取单值函数，则关于的对应映射是集值紧的，且属于，从而也属于，由模糊拓扑度的正规

14、性，得性质22（区域可加性）设是实空间，是中的闭凸集，是中的开集，是中互不相交的两开子集，是模糊紧映射，且属于，则证明 任取单值函数，使得关于的对应映射是集值紧的。设，且，由命题2.1，知，且（其中是关于的限制的对应集值紧映射）。因为属于，故，从而由此可知由的任意性，知属于，由模糊拓扑度的区域可加性，得即性质23（同伦不变性）设是实空间，是中的闭凸集，是中的开集，是模糊紧映射，且属于，则证明 考察模糊映射，因为是模糊紧的，故存在单值函数，使得关于的对应映射是集值紧的。对于，记的对应映射为，则有从而是模糊紧的。下证属于，任意给定单值函数，则关于的对应映射是集值紧的。对于的限制，记的对应映射为，则

15、有其中表示在上的限制，从而是集值紧的。设存在，使得由于，故且从而，由假定，知矛盾，结论成立。从而是模糊紧的，且属于，由模糊拓扑度的同伦不变性，得性质24（可解性）设是实空间，是中的闭凸集，是中的开集，是模糊紧映射，且，则存在单值函数及，使得证明 由于，由模糊拓扑度得可解性，存在单值函数及使得是集值紧，且由于即，由命题2.1，知，且，即取，即得结论。性质25（保持性）设是实空间，是中的闭凸集，是中的开集，是中的非空闭凸集，是模糊紧映射，则其中证明 设是保核收缩，则是保核收缩。令，则是开集。由命题2.1，知属于，由模糊拓扑度的切除性，可得同理可知属于，故下证，在中模糊同伦。令其中是关于的紧映射。易

16、知是模糊紧的。 现在证明属于，设是任一使得的对应映射是集值紧的单值函数。若存在，使得，即由假定，知且，故从而所以。由假定，知矛盾，结论成立。由模糊拓扑度的同伦不变性，得从而第三章 应 用第一章、第二章分别讨论了模糊紧场的拓扑度和模糊紧映射的不动点指数。现在，我们运用模糊拓扑度定义，证明一个模糊不动点定理，并且计算第二章给出的模糊紧映射的模糊拓扑度。定义31 设是实空间，是模糊映射，若对任意的，总有，则称是的不动点。设是完备的线性赋范空间，表示中的非空闭凸集，表示中这样的模糊子集族，对每一，由下式定义的集合，其中定理31设是模糊映射，存在，使得对任意的，有，且是相对紧的，其中，是度量，即对任意的非空有界闭集，定义其中是由的范数导出的距离，则在中有不动点。证明 令，则。现证明是集值紧的，因是相对紧的，故只需证明是上半连续。，设是包含的开邻域，因令有即，此即表明在点上半连续，由的任意性，得是上半连续的。令其中则与模糊同伦，从而有由模糊拓扑度的可解性，得对于，存在，使得故，此即表明是的不动点。注 当时，结论成立。现在我们计算例1中模糊紧映射的拓扑度。由上述讨论，知是模糊紧映射，接下来证明属于。任取单值函数，使得的对应映射是集值紧的，因为，所以，从而属于。由模糊拓扑度的定义，知的模糊拓扑度存在。由于的拓扑度与单值函数的选择无关，我们取，则模糊映射关于的对应映射，由定义，知