求解股票期权定价问题的差分方法

1、收稿日期:2003-04-29基金项目:国家自然科学基金资助项目(50174021作者简介:李元(1964-,女,辽宁沈阳人,东北大学博士研究生,沈阳化工学院副教授;谢植(1957-,男,江苏南京人,东北大学教授,博士生导师第25卷第1期2004年1月东北大学学报(自然科学版Journal of Northeastern University (Natural Science Vol .25,No .1Jan .2004文章编号:1005-3026(200401-0020-04基于故障重构的PCA 模型主元数的确定李元1,谢植1,王纲2(1.东北大学信息科学与工程学院,辽宁沈阳110004;2

2、.沈阳化工学院信息工程学院,辽宁沈阳110142摘要:基于故障重构理论研究了PCA 模型主元数的确定方法,应用累积方差贡献率以及复相关系数对主元模型性能进行分析在基于PCA 理论进行故障诊断中,故障变量可根据故障的方向向量进行重构,未重构方差(VRE 可分别投影于主元子空间(PCS 和残差子空间(RS 确定最优重构是使两空间的VRE 之和达到最小,与此相对应的主元数即为最优主元数(PCs 应用累积方差贡献率以及复相关系数对主元模型性能进行评价,结果表明确定的PCA 模型PCs 保证了PCS 中的信息存量对于工业PVC 聚合反应过程的故障诊断说明了上述方法的合理性与有效性关键词:故障重构;PCA

3、 (主元分析;未重构方差(VRE ;主元数(PCs ;主元子空间(PCS ;残差子空间(RS 中图分类号:T P 206+.3文献标识码:APCA (principal component analysis 是一种常用的数据分析方法,在石油、化工、电子等各生产领域的数据处理、故障诊断中广泛应用15PCA 建模和诊断的关键是采样数据和历史数据的压缩和信息的抽取,生成若干个新的正交变量Wold 提出一种随机计算模型PRESS (预测误差平方和的方法6Joreskog 等探讨了一种确定最小主元数的标准7Cattell 提出了基于协方差矩阵特征值的分散测试方法8Harmon 等提出一种基于得分向量自相

4、关性测试的方法9Malinowski 归纳了若干确定PCA 模型主元的方法10本文应用一种新的基于故障重构方差方法进行PCA 模型主元数的确定,并应用累积方差贡献率以及复相关系数对所确定的主元数进行性能分析与评价1故障重构1.1PCA 模型PCA 是一种数据矩阵的分析方法设X 为m n 维数据矩阵,PCA 建模的过程即X 向潜隐模型空间和残差空间投影的过程,则原矩阵可分解成PCS 和RS 两部分X =t 1p T 1+t 2p T 2+t j p T j+t r p T r+E (1其中,t j 为m 1的得分向量,p j 为n 1的负荷向量,r 为主元数式(1也可写成X =TP T+E ;(

5、2X 在PCS 投影X =XPP T;(3X 在RS 投影珟X =X (I -PP T (4PCA 模型部分即为主元子空间部分R r 和残差子空间部分R p -r 之和主元子空间主要反映正常数据变化的测度,残差子空间主要反映非正常数据噪声变化的情况1.2故障重构设X n表示正常数据,X 表示采样故障数据,则X =X n+i (5其中,表示故障的幅度,i 表示故障发生的方向向量数据重构的目的是沿故障的方向用故障数据构造正常数据即X i =X -i i (6如果重构的X i 有最小的模型误差,与PCA 模型最具一致性,则重构值为11,12X i =I -珟i 珟T i珟Ti珟i(X (7式(7表示

6、了故障数据沿故障方向向量重构所得到的重构值1.3未重构方差考虑重构数据误差为X n-X i=(i-i,(8则重构误差方差为11,12u ivarT i(X n-X i=vari=珘TiR珘i (珘Ti珘i2(9其中R=E(XX T是数据矩阵的协方差矩阵;u i 是用X i估计X n的重构误差的方差则u i=珟Ti珟Ri(珟Ti珟i2=珟Oi2珟R珟i2(10u i表示未重构方差2基于故障重构的PCA模型主元数的确定2.1基于最优重构的PCA主元数11,12如何使未重构方差尽可能小是确定最小主元数的条件应用下列式子可以相对于p个变量,选出r个主元u i=珘u i+u i(11其中,u i=E(i

7、-i2,(12珘u i=E(珓i-珟i2(13重构误差的总方差是故障数据重构误差的值在RS空间和PCS空间投影之和相对于最小的主元数r,重构误差方差取得最小值PCS空间的u i随r的增加而增加,即u i(r+1u i(r;(14 RS空间的u i随r的增加而减少,即珘u i(r+1珘u i(r(15从式(16可以取得相对于u i最小的PCA模型的主元rminru i(16 2.2主元数的性能分析(1累积方差贡献率衡量主元所包含的信息存量的性能,通常采用累积方差贡献率(CPV若式(2中主元阵的主元向量方差分别为1,2,n,则取前r个主元的累积方差为1+2+rCPV=ri=1inj=1j100%(

8、17CPV的大小直接反映了所确定主元模型的精度CP V通常在85%以上表明主元模型的精度可满足PCA的分析要求(2复相关系数将表示样本变量与主元的相关程度定义为复相关系数(x i,T:(x i,T=rj=1j p2i,j(1/2,(18则主元包含每一变量的信息程度可用(x i,T衡量,同时此参数的变化情况反映了主元信息的变化程度因此用复相关系数可评价主元模型的近似程度、信息量、以及基于PCA理论进行性能监视及故障诊断的准确程度3化工过程PVC聚合反应应用3.1基于故障重构的PCA主元数的确定应用工业PVC聚合反应釜生产过程的10个变量的数据,确定最优故障重构的PCA模型主元数采样数据分别为压力

9、、流量、液位、温度等10个参数指标,持续采样点数为3000 点图1基于故障重构的主元数的确定Fig.1Determining PCs based on fault reconstruction1在残差子空间;2在主元子空间;3在残差子空间和主元子空间的迭加若检测出第5个变量出现故障,故障方向矩阵:T5=0,0,0,0,1,0,0,0,0,0由图1可以看出在主元数为3时,未重构方差和最小基于故障数据最优重构的PCA模型所确定的主元数为33.2主元数的性能分析依式(16,主元数为3,r=3,则CPV如表1所示表1中,当CP V为88.28%时,主元数为3,表明3个主元足以满足PCA中的信息量,因此

10、图1中所确定的主元数是有效的12第1期李元等:基于故障重构的PCA模型主元数的确定表1累积方差贡献率CPVTable 1C umulative percent variance CPV主元数i ri =1ir i =1inj =1j(%10.0001根据式(18计算各变量与主元数分别为110的模型复相关系数,如图2 所示图2变量与主元阵的相关系数Fig .2 Correlation coefficients between variable and PC图3变量与主元阵相关系数的平均值Fig .3Average of correlation coefficients betweenvariab

11、le and PC图4变量与前4个主元阵的相关系数Fig .4Correlation coefficients betweenfirst 4variables and PC分别取主元数为110,则每一变量与主元阵的相关系数随主元数的增大而增加10个变量相关系数的平均值如图3所示若主元数8时,复相关系数均值为1,表明主元阵包含了数据的所有信息,但数据的简化程度最低,精度最高在主元数3以后,复相关系数均值超过了0.9,说明90%的数据信息已经被主元阵所拥有,因此,主元数3是最优的图4为取主元数等于14的复相关系数,与表1中的前3个主元的累积方差贡献率比较,说明复相关系数大于0.9,累积方差贡献率大

12、于85%的最小主元数应为3,这一结果充分验证了基于故障重构方差确定的主元数的最优性4结语基于故障重构确定PCA 模型主元数的方法克服了以前只考虑单纯某一特定指标增加或减少来确定主元数的弊端这种方法充分考虑数据变量在主元子空间和残差子空间的投影不断提高PCs 的信息精度13,使其在减少数据维数的同时,保证信息存量的充分有效性,将是进一步研究的课题参考文献:1Nomikos P ,M acGregor J F .Monitoring b atch process using multi -way principle component a nalysis J .A ICH E ,1994,40(8

13、:1361-1369.2Kourt i T ,Lee J ,MacGregor J F .An alysis ,monitoring and fault diagnosis of batch process using mult i -bloc k and multi -way PLS J .J of Process Cont rol ,1995,5(4:277-283.3李元,王纲基于动态时间错位的多元批次轨迹同步化J 上海海运学院学报,2001,22(3:217-221(Li Y ,Wang G .Synchronizat ion of multivariate trajectories

14、based on dyn amic time warping J .Jou rnal of Shanghai M ari ti me U niversi ty ,2001,22(3:217-221.4Gao X ,Wang G ,Li Y ,et al .Multivariat e st atistical process monitoring based on sync hronization of trajectories using D T W A .4th I FA C Workshop on O n -l ine Faul t Detect ion andS uperv isioni

15、ntheChem icalProcessIndustries(CH EM A S -4C .Jejudo island :Th e IFAC Technology Commit tee on Chemical Process Control ,2001.383-387.5赵立杰,王纲,李元非线性主元分析故障检测和诊断方法及应用J 信息与控制,2001,30(4:359-364(Zh ao L J ,Wang G ,Li Y .Study of a nonlinear fault detect ion and diagnosis method J .In for mation and Contr

16、ol ,2001,30(4:359-364.6Wold S .Cross validatory estimation of the number of component in factor and prin cip al component analysis J .Technometrics ,1978,20(3:397-406.7Da hl K S ,Piovoso M J ,Kosanovich K A .T ranslat ing third -ord er d ata analysis me thods to c hemical ba tch processes J .Chemom

17、Intell L ab S yst ,1999,46(2:161-180.8Kosanovich K A ,Dahl K S ,Piovoso M J .Im proved process und erstanding using multiway principal component an alysis J .Ind E ng Chem Res ,1996,35(2:138-146.9Harmon J L ,Duboc P H ,Bonvin D .Factor analytical mod eling of biochemical da ta J .Comput Chem ,1995,1

18、9(7:1287-1293.10M alinowski E R .Factor anal ysis in chemist ry M .New York :Wiley -Inter -Scie nce ,1991.328-334.11Dunia R ,Qin S J .A unified geometric approach to process and sensor fault ide nt ifica tion J .Comput Chem ,1998,22(78:927-943.12Dunia R ,Qin S J ,E dgar T F ,et al .Identificat ion o

19、f fault sensor using principal component a nalysis J .A ICH E ,1996,42(10:2797-2812.13Bra uner N ,Shacham M .Considering precision of da ta in reduction of dimensionali ty and PCA J .Comput Chem ,2000,24(10:2603-2614.22东北大学学报(自然科学版第25卷Determination of Principal Components in PCA Model on Basis of Fa

20、ult ReconstructionLI Y uan 1,XIE Zhi 1,WANG Gang2(1.School of Information Science and Engineering ,Northeastern University ,Shenyang 110004;2.School of Information Engineering ,Shenyang Institute of Chemical Technology ,Shenyang 110142,China .Correspondent :LI Yuan ,associate professor ,E -mail :Li

21、-yuan mail .tsinghua .edu .cn Ab s tra ct :Based on the theory of fault reconstruction ,the determination of the principal components in PCA (principal component analysis model is studied ,thus analyzing the performance of PCA model .In the fault diagnosis based on PCA theory ,the faulty variables c

22、an be reconstructed in the direction of vectorized faults data ,with the variance of reconstruction error (VRE projected separately onto principal component sub -space (PCS and residual sub -space (RS .An optimal reconstruction is convincing only if the sum of all VREs in both PCS and RS come to min

23、imum ,among which the corresponding principal components are referred to as optimum principal components .An evaluation is carried out for the performance of PCA model by virtue of cumulative percent variance (CPV and multi -correlation coefficients .The results show that the principal components de

24、termined as above in PCA model can ensure enough information in PCS .The reasonableness and effectiveness of the determination method is proved through a fault diagnosis for industrial PVC polymerization process .Ke y w ord s :fault reconstruction ;principal component analysis (PCA ;variance of reconstruction error (V RE ;principal components (PCs ;principal