西安交大西工大 考研备考期末复习概率论与数理统计 区间估计

1、 定理定理 1 (样本均值的分布样本均值的分布)设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体),(2 N的样本，则有的样本，则有),(2nNX ) 1 , 0( NnX 上节内容复习上节内容复习 定理定理 2 (样本方差的分布样本方差的分布) 1() 1() 1 (222nSn 设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体),(2 N的样本的样本,2SX和分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有.)(相互独立和22SX 定理定理 3 设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体),(2 N的样本的样本,2SX和分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有

2、则有) 1(ntnSX 定理定理 4 (两总体样本均值差的分布两总体样本均值差的分布) )2(112) 1() 1()(21212122221121nntnnnnSnSnYX ，设),(),(2221 NYNXYX和分别是这两个样本的分别是这两个样本的且且X与与Y独立独立,X1,X2,1nX是取自是取自X的样本的样本,取自取自Y的样本的样本,分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差,均值均值,2221SS 和则有则有Y1,Y2,2nY是是样本样本 定理定理 5 (两总体样本方差比的分布两总体样本方差比的分布) ) 1, 1(2122222121nnFSS ，设),(),(22221

3、1NYNXYX和分别是这两个样本的分别是这两个样本的且且X与与Y独立独立,X1, X2,1nX是取自是取自X的样本的样本,取自取自Y的样本的样本,分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差,均值，均值，2221SS 和则有则有Y1,Y2,2nY是是样本样本矩估计法的具体步骤矩估计法的具体步骤:klXnAAnililll, 2 , 1;1,).2(1 令令.,21的的方方程程组组个个未未知知参参数数这这是是一一个个包包含含kk ,).3(21k 解出其中解出其中klXEkll, 2 , 1),()().1(21 求求出出.,表示表示用用k21.,量量这个估计量称为矩估计这个估计量称为矩

4、估计估计量估计量的的分别作为分别作为用方程组的解用方程组的解kk ,).4(2121求求最最大似然估计量的步骤大似然估计量的步骤:; );();,()();();,()( )(121121 niinniinxfxxxLLxpxxxLL或或写出似然函数写出似然函数一一).;,(max);,(2121 nnxxxLxxxL （二）求解（二）求解., 0d)(lnd,d)(lnd )2( 的最大似然估计值的最大似然估计值解方程即得未知参数解方程即得未知参数并令并令求导求导对对 LL., 2 , 1, 0lnkiLi .), 2 , 1( ,iikik 的最大似然估计值的最大似然估计值数数即可得各未知

5、参即可得各未知参个方程组成的方程组个方程组成的方程组解出由解出由 ; );(ln)(ln);(ln)(ln )1(11 niiniixfLxpL或或取对数取对数一、问题的提出 从前一节可以看到从前一节可以看到, 对于同一个参数对于同一个参数, 用不用不同的估计方法求出的估计量可能不相同同的估计方法求出的估计量可能不相同,那么那那么那一个估计量好？好坏的标准是什么一个估计量好？好坏的标准是什么?下面介绍几个常用标准下面介绍几个常用标准.第2.3节 估计量的评价标准 二、无偏性的一个样本，的一个样本，为总体为总体若若XXXXn,21 ,的的分分布布中中的的待待估估参参数数是是包包含含在在总总体体

6、X )(的的取取值值范范围围是是 . ,)(的无偏估计量是则称有且对于任意存在的数学期望若估计量定义,)()(,. EEXXXn2126无偏估计的实际意义无偏估计的实际意义: 无系统误差无系统误差.无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求 .如果有的一列估计如果有的一列估计 ,满足关系式满足关系式 则称则称 是是 的渐近无偏估计（量）。的渐近无偏估计（量）。 一个估计量如果不是无偏估计量，就称一个估计量如果不是无偏估计量，就称 这个估计量是有偏的，且称这个估计量是有偏的，且称 为估计量为估计量 的偏差。的偏差。 ).,(, 21nnnXXX ),.,2 ,

7、1( n )(limnnEn )(E .1 , ,)1()(121的的无无偏偏估估计计阶阶总总体体矩矩是是阶阶样样本本矩矩总总体体服服从从什什么么分分布布论论的的一一个个样样本本，试试证证明明不不是是又又设设存存在在阶阶矩矩的的设设总总体体knikiknkkkXnAkXXXXkXEkX 证证同分布，同分布，与与因为因为XXXXn,21)()(kkiXEXE 故有故有., 2 , 1,nik nikikXEnAE1)(1)(即即.k 例例1. 的无偏估计的无偏估计阶总体矩阶总体矩是是阶样本矩阶样本矩故故kkkAk 特别地特别地:.)(1估估计计量量的的无无偏偏的的数数学学期期望望总总是是总总体体

8、 XEXX 不论总体不论总体 X 服从什么分布服从什么分布,只要它的数学期望存在只要它的数学期望存在,).()(1 , , , 0 , 122222即不是无偏估计即不是无偏估计有偏的有偏的是是的估计量的估计量则则均为未知均为未知若若都存在的总体都存在的总体方差方差对于均值对于均值 niiXXn 证证 niiXXn12221 ,22XA 22)( AE因为因为,22 22)()()( XEXDXE 又因为又因为,22 n)()( 222XAEE 所以所以)()(22XEAE 例例2,122 nn. 2是有偏的是有偏的所以所以 . , 1 2偏的偏的所得到的估计量就是无所得到的估计量就是无乘乘若以

9、若以 nn(这种方法称为这种方法称为无偏化无偏化).)(11222 EnnnnE221nnSn, )(1112 niiXXn, 2的无偏估计是即2*nS.2的估计量作故通常取2*nS因为$D($)0($)2例3证明题：设 是参数的无偏估计且有 是否为2的无偏估计？并证明你的结论。($)2QE($)D($)EEE($($)($)22EEEE($)($)($)($)2222222222E($)220($)2答案： 不是2的无偏估计 由已知 而即 ， 问 不是2的无偏估计 三、有效性 由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度程度, 所以无偏估计以方差小者为

10、好所以无偏估计以方差小者为好.( ,)()(21212211有效有效较较则称则称若有若有的无偏估计量的无偏估计量都是都是与与设设定义定义 ),(),3 . 62121DDXXXXXXnn说明说明.),()()(,MVUEDD缩写为量的最小方差无偏估计是则称都有的任意无偏估计量使得对于的一个无偏估计量如果存在000 最小方差无偏估计是一种最优估计.定义定义四、相合性四、相合性 有时候我们不仅要求估计量有较小的方差，还希有时候我们不仅要求估计量有较小的方差，还希望当样本容量望当样本容量n充分大时，估计量能在某种意义下收充分大时，估计量能在某种意义下收敛于被估计参数，这就是所谓相合性敛于被估计参数，

11、这就是所谓相合性（或一致性）概念。（或一致性）概念。 定义定义6.66.6 设设 是未知参数是未知参数 估计序列，如果估计序列，如果 依概率收敛于依概率收敛于 ，即对任，即对任 ，有，有 nnnXXX,.,21 n01|lim nnP定理定理6.2 设设 是是 的一个估计量，若的一个估计量，若n0|lim nnP或或则则 称是称是 的相合估计（量）（或一致估量）。的相合估计（量）（或一致估量）。n nnElim 0limnnD且且则则 是是 的相合估计（或一致估计）。的相合估计（或一致估计）。n 例例5 5 若总体若总体 的的 和和 存在存在,则样则样本均值本均值 是总体均值的相合估计是总体均

12、值的相合估计.X)(XE)(XDX解解：)()(XEXE 0)(lim)(lim nXDXDnn一般地一般地,样本的样本的 阶原点矩阶原点矩 是总体是总体 的的 阶原点矩阶原点矩 的相合估计的相合估计.由此可见由此可见,矩矩估计往往是相合估计估计往往是相合估计.k nikikXnA11Xk)(kXE五、小结估计量的评选的三个标准估计量的评选的三个标准 无偏估计无偏估计最小方差无偏估计最小方差无偏估计相合估计相合估计 相合性是对估计量的一个基本要求相合性是对估计量的一个基本要求, 不具备不具备相合性的估计量是不予以考虑的相合性的估计量是不予以考虑的. 由最大似然估计法得到的估计量由最大似然估计法

13、得到的估计量, 在一定条在一定条件下也具有相合性件下也具有相合性. 估计量的相合性只有当样本估计量的相合性只有当样本容量相当大时容量相当大时,才能显示出优越性才能显示出优越性, 这在实际中这在实际中往往难以做到往往难以做到,因此因此,在工程中往往使用无偏性和在工程中往往使用无偏性和有效性这两个标准有效性这两个标准.一、区间估计基本概念一、区间估计基本概念1. 置信区间的定义置信区间的定义110212122211121 ) ,(),(,)(,);(PXXXXXXXXXxFXnnn满足满足和和确定的两个统计量确定的两个统计量若由样本若由样本对于给定值对于给定值数数含有一个未知参含有一个未知参的分布

14、函数的分布函数设总体设总体.1 ,1 ,1 ,2121为置信度为置信度的置信下限和置信上限的置信下限和置信上限的双侧置信区间的双侧置信区间分别称为置信度为分别称为置信度为和和间间的置信区的置信区的置信度为的置信度为是是则称随机区间则称随机区间 第第2.42.4节节 参数的区间估计参数的区间估计关于定义的说明关于定义的说明. , , , , 21是是随随机机的的而而区区间间没没有有随随机机性性但但它它是是一一个个常常数数虽虽然然未未知知被被估估计计的的参参数数 : 1的本质是的本质是因此定义中以下表达式因此定义中以下表达式 21P. , , ,2121 11的的概概率率落落入入随随机机区区间间以

15、以而而不不能能说说参参数数的的真真值值的的概概率率包包含含着着参参数数以以随随机机区区间间例如例如 , 1000 0.01, 次次反复抽样反复抽样若若 .10 1000 个个真真值值的的约约为为个个区区间间中中不不包包含含则则得得到到的的 求置信区间的一般步骤求置信区间的一般步骤( (共共3步步) ). )( ,);,(:, )1(2121 包包括括数数且且不不依依赖赖于于任任何何未未知知参参的的分分布布已已知知并并且且其其中中仅仅包包含含待待估估参参数数的的函函数数寻寻求求一一个个样样本本ZXXXZZXXXnn .1);,(,)2(21 bXXXZaPban使使决决定定出出两两个个常常数数对

16、对于于给给定定的的置置信信度度 ,1 . , ,),(, ),( , );,( )(11的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为就是就是那么那么都是统计量都是统计量其中其中不等式不等式得到等价的得到等价的若能从若能从 13212122211221nnnXXXXXXbXXXZa., ,12221修正样本方差分别是样本均值和的样本总体为并设设给定置信度为*,),(,nnSXNXXX 二、正态总体均值与方差的区间估计二、正态总体均值与方差的区间估计),(2 N ,)1(2为已知为已知 1 的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为 .unX 2/ 的置信区间的置信区间均值均值 1.I

17、单个总体单个总体的情况的情况 包糖机某日开工包了包糖机某日开工包了1212包糖包糖, ,称得重量称得重量( (单单位位: :克克) )分别为分别为506,500,495,488,504,486,505,506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485. 513,521,520,512,485. 假设重量服从正态分布假设重量服从正态分布, ,解解,12,10 n ,92.502 x计算得计算得,10. 0)1(时时当当 0502 ./uu查表得0.05). 0.10 ( 1 10, 和和分别取分别取置信区间置信区间的的试求糖包的平均重量试求糖包的平均

18、重量且标准差为且标准差为,95. 021 ,645. 1例例1 2/unx645. 1121092.502 ,67.507 2/unx645. 1121092.502 ,17.498 90% 的置信区间为的置信区间为的置信度为的置信度为即即 .,.6750717498,05. 0)2(时时当当 ,975. 021 02502./uu 95% 的置信区间为的置信区间为的置信度为的置信度为同理可得同理可得 .,.5850826497.,1 ;,1 ,置信区间也较小置信区间也较小较小时较小时当置信度当置信度置信区间也较大置信区间也较大较大时较大时当置信度当置信度从此例可以看出从此例可以看出 ,96.

19、 1查表得查表得 需要指出的是，给定样本，给定置信水需要指出的是，给定样本，给定置信水平，平，置信区间也置信区间也不是唯一不是唯一的的. .对同一个参数，我们可以构造许多置信区间对同一个参数，我们可以构造许多置信区间. .N(0, 1)nXU 取枢轴量取枢轴量由标准正态分布表，对任意由标准正态分布表，对任意a、b，我们可我们可以求得以求得P( aUb) .,2已知 例如，设例如，设X1,Xn是取自是取自 的样本，的样本， ),(2 N求参数求参数 的置信水平为的置信水平为 的的 1置信区间置信区间.N(0, 1)nXU 例如，由例如，由P(-1.96U1.96)=0.95)(ufu96. 19

20、6. 195. 0我们得到我们得到 均值均值 的置信水平为的置信水平为 1的的置信区间为置信区间为96. 1,96. 1nXnX 由由 P(-1.75U2.33)=0.95这个区间比前面一个要长一些这个区间比前面一个要长一些. .置信区间为置信区间为33. 2,75. 1nXnX 我们得到我们得到 均值均值 的置信水平为的置信水平为 1的的)(ufu33. 275. 1我们总是希望置信区间尽可能短我们总是希望置信区间尽可能短. .类似地，我们可得到若干个不同的置信区间类似地，我们可得到若干个不同的置信区间. . 任意两个数任意两个数a和和b，只要它们的纵标包含，只要它们的纵标包含f(u)下下9

21、5%的面积，就确定一个的面积，就确定一个95%的置信的置信区间区间. .0buuu)(ufaaabb950.950.950.在概率密度为单峰且对称的情形，当在概率密度为单峰且对称的情形，当a =-b时时求得的置信区间的长度为最短求得的置信区间的长度为最短. .0buuu)(ufaaabb950.950.950.a =-b ,)2(2为未知为未知 , , 2直接使用此区间不能中含有未知参数由于区间 /unX , 222,*替换可用的无偏估计是但因为nnnSSS 1 的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为 .)(/*12ntnSXn推导过程如下推导过程如下:/2/2 (1)(1)1,nnSSPX

22、tnXtnnn即即 1 的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为于是得于是得 /2(1) .nSXtnn (1), /nXt nSn 又又根根据据定定理理知知/ 2/ 2(1)(1)1, /nXPtntnSn 故故解解 有一大批糖果有一大批糖果,现从中随机地取现从中随机地取16袋袋, 称得重称得重量量(克克)如下如下: 496509502506496493505514512497510504503499508506设袋装糖果的重量服从正态分布设袋装糖果的重量服从正态分布, 试求总体均值试求总体均值,151 0.05, n : )1( 分布表可知分布表可知查查 nt )15(025. 0t,.,

23、.*2022675503 nsx计算得 . 0.95 的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为 ,1315. 2例例2 5%9 的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为得得 1315. 2162022. 675.503.,.15074500即即就是说估计袋装糖果重量的均值在就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与克与507.1克之间克之间, 这个估计的可信程度为这个估计的可信程度为95%. ).( 61. 621315. 2162022. 6 克克其误差不大于其误差不大于 , 的近似值的近似值为为若依此区间内任一值作若依此区间内任一值作 这个误差的可信度为这个误差的可信度为95%. . 9

24、5% , ),(2的置信区间的置信区间的的试求糖包重量试求糖包重量 N解解 ,12, n未知未知此时此时 ,92.502 0.05, x 12.35,ns : )1( 分布表可知分布表可知查查 nt )11(025. 0t/212.35 (1)2.2017.85,12nstnn 于于是是 5%9 的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为得得 .,.7751007495,201. 2例例3( (续例续例1)1)如果只假设糖包的重量服从正态分布如果只假设糖包的重量服从正态分布推导过程如下推导过程如下: , S 22n的无偏估计是因为*222(1)(1),nnSn 根据定理知根据定理知 1 2的置信

25、区间的置信区间的置信度为的置信度为方差方差 2222/21/2(1)(1),. (1)(1)nnnSnSnn . ,未知的情况未知的情况只介绍只介绍根据实际需要根据实际需要 2的置信区间的置信区间方差方差 II. 1 2的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为于是得方差于是得方差 2221/2/22(1) (1)(1)1, nnSPnn 故故22222/21/2(1)(1) 1, (1)(1)nnnSnSPnn 即即2222/21/2(1)(1),. (1)(1)nnnSnSnn 1 的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为标准差标准差 22/21/211,.(1)(1)nnnSnSn

26、n 进一步可得进一步可得:注意注意: 在密度函数不对称时在密度函数不对称时, , 2分布分布分布和分布和如如F 习惯上仍取对称的分位点来习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间确定置信区间(如图如图). (续例续例2) 求例求例2 2中总体标准差中总体标准差 的置信度为的置信度为0.950.95的置信区间的置信区间. .解解,151 0.975,21 0.025,2 n : )1( 2分布表可知分布表可知查查 n )15(2025. 0 ,.*20226 ns 计算得 )15(2975. 0 代入公式得标准差的置信区间代入公式得标准差的置信区间.,.609584 ,488.27,262. 6例例4

27、2、两个总体、两个总体 的情况的情况),(),(222211 NN两两总总体体相相互互独独立立的的修修正正样样本本方方差差分分别别是是第第一一、二二个个总总体体总总体体的的样样本本均均值值分分别别是是第第一一、二二个个的的样样本本个个总总体体为为第第二二的的样样本本第第一一个个总总体体为为并并设设给给定定置置信信度度为为.,),(,),(,12*22*1222212112121SSYXNYYYNXXXnn 讨论两个总体讨论两个总体均值差均值差和和方差比方差比的估计问题的估计问题. ,)1(2221均为已知均为已知和和 1 21的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为 .nnuYX 22

28、21212/ 21的置信区间的置信区间两个总体均值差两个总体均值差 I. ,)2(2221均为未知均为未知和和 ),50(21则有则有即可即可实用上实用上都很大都很大和和只要只要 nn 1 21的近似置信区间的近似置信区间的一个置信度为的一个置信度为 2212/212.SSXYunn , ,)3(222221为未知为未知但但 1 21的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为 .11)2(21212/ nnSnntYXw 2222112212(1)(1) ,.2wwwnSnSSSSnn其其中中 . , 21为未知的情况为未知的情况仅讨论总体均值仅讨论总体均值 1 2221的置信区间的置信

29、区间的一个置信度为的一个置信度为 2211222/21221/21211,. (1,1)(1,1)SSSFnnSFnn 2221的置信区间的置信区间两个总体方差比两个总体方差比 II.解解,181 n,132 n例例5 研究由机器研究由机器A和机器和机器B生产的钢管内径生产的钢管内径, 随随机抽取机器机抽取机器A生产的管子生产的管子18只只, 测得样本方差为测得样本方差为均未知均未知, 求方差比求方差比 .900 的置的置的置信度为的置信度为区间区间.设两样本相互独设两样本相互独);(. *221340mms ).(. *222290mms 抽取机器抽取机器B生产的管子生产的管子13只只,测测

30、得样本方差为得样本方差为立立,且设由机器且设由机器A和机器和机器B生产的钢管内径分别服生产的钢管内径分别服从正态分布从正态分布),(),(222211 NN)2 , 1(,2 iii 2221 信信,10. 0 221 0.34(),smm 222 0.29(),smm ,59. 2)12,17()1, 1(05. 0212/ FnnF )12,17()12,17(95. 02/1FF ,38. 21)17,12(105. 0 F .900 2221的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为于是得于是得 38. 229. 034. 0,59. 2129. 034. 0 .79. 2,45

31、. 0 三、单侧置信区间三、单侧置信区间 上述置信区间中置信限都是双侧的，但上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限一个方向的界限. 例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了寿命过长没什么问题，过短就有问题了. 这时，可将置信上限取这时，可将置信上限取为为+，而只着眼于置信下，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间叫单侧置信区间.于是引入单侧置信区间和置信限的定义：于是引入单侧置信区间和置信限的定义： 11

32、P),(2111nXXX 满足满足设设 是是 一个待估参数，给定一个待估参数，给定, 0 若由样本若由样本X1,X2,Xn确定的统计量确定的统计量则称区间则称区间 是是 的置信水平为的置信水平为 的的单侧置信区间单侧置信区间. ),1 11 称为单侧置信下限称为单侧置信下限.),(2122nXXX 又若统计量又若统计量 满足满足 12P2 则称区间则称区间 是是 的置信水平为的置信水平为 的的单侧置信区间单侧置信区间. ,(2 1 称为单侧置信上限称为单侧置信上限.设灯泡寿命服从正态分布设灯泡寿命服从正态分布. 求灯泡寿命均求灯泡寿命均值值 的置信水平为的置信水平为0.95的单侧置信下限的单侧置信下限. 例例6 从一批灯泡中随机抽取从一批灯泡中随机抽取5只作寿命试只作寿命试验，测得寿命验，测得寿命X（单位：小时）如下：（单位：小时）如下：1050，1100，1120，1250，1280 ) 1(ntnSX 由于方差由于方差 未知，取枢轴量未知，取枢轴量2 解：解： 的点估计取为样本均值的点估计取为样本均值 X 对给定的置信水平对给