西安交大西工大 考研备考期末复习 数理统计第二部分 参数估计(带答案)

1、第2部分 参数估计基础练习一 填空1设总体 ，样本容量为9，样本均值则未知参数的置信水平为0.95的置信区间是 。（）答案：4.804，5.196 2设某校学生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽查10名女生，测得数据经计算如下：。则该校女生平均身高E（X）的95%的置信区间是 。（）答案：3设X1、X2、X3为从总体X中抽取的容量为3的样本，总体均值为q，总体方差为s2。 记, , 分别为未知参数q 的估计，则_为q 的无偏估计，且此三个估计中_最有效。答案：全是，4设某种清漆干燥时间（单位：小时），取的样本，得样本均值和方差分别为，则的置信度为95%的单侧置信区间上限为： 。答案：6.

2、3565设和都是参数q的无偏估计量，若要使成为q的无偏估计（a>0），则a= 。答案：6设某种电子管的使用寿命服从正态分布，从中随机抽取15个进行检验，平均使用寿命为195小时，标准差S为300小时，则整批电子管使用寿命的方差s2的95%的置信区间为 。注 ： 答案： 48240.744 , 223840.827设灯炮厂从某天生产的某种灯炮中抽10个进行寿命试验，得到数据如下：1050 , 1100 , 1080 , 1120 , 1200 , 1250 , 1040 , 1130 , 1300 , 1200则样本均值和样本方差分别为 。答案：1147和7578.98设为的无偏估计，且，

3、则（ ）为的矩估计 为的有效估计为的极大似然估计 为的一致估计答案：D9设为的无偏估计，且，则必为的（ ）无偏估计 有偏估计一致估计 有效估计答案：B10设是取自总体的样本，则的无偏估计量为 .() ； () ； () ； () 答案：二 计算题1设总体的概率密度为,其中为未知参数，又设是的一组样本观察值，求参数的极大似然估计值。解：似然函数当时，取对数，得 ，所以单调增加。由于必须满足，因此当取中的最小值时，取最大值，故的极大似然估计值为。2设总体的概率密度为,其中为未知参数，又为来自的容量为的样本，求参数的（1）矩估计，（2）极大似然估计值。解：（1），设，令，解得的矩法估计量为（2）似然

4、函数取对数，得 ，故的极大似然估计值为3设总体具有概率密度，其中为未知参数，是来自总体的样本。（1）求的最大似然估计量； （2）求的矩估计量；（3）问求得的估计量是否是无偏估计量 。解：（1）似然函数， ，得的最大似然估计量（2） =,的矩估计量（3）, 是的无偏估计量。4已知总体的概率密度为，其中未知参数，设为样本，求（1）的矩估计，（2）的极大似然估计。解：（1）由于，故（2）似然函数为 5设某大学中教授的年龄，其中均未知，现在随机了解到5位教授的年龄如下： 39  54  61  72  59，试求均值的置信

5、度0.95的置信区间。解：6设总体的概率分布列为：0123p22p(1-p)p21-2p其中 () 是未知参数。利用总体的如下样本值：1， 3， 0， 2， 3， 3， 1， 3求 (1) p的矩估计值； (2) p的极大似然估计值 .解：(1) ， 令 ，得的矩估计为 .（2）似然函数为 令 ， . 由 ，故舍去所以的极大似然估计值为 7设，a已知，未知，（X1，Xn）为样本，（x1,xn）为样本观察值，求的极大似然估计，判断它是否的无偏估计，并计算出它的方差。.解: (1) 令 得 (2) (3) 8已知某种灯泡寿命服从N(u，s2)，在某星期中所生产的该种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命

6、为(单位：小时)：1067 , 919 , 1196 , 785 , 1126 , 936 , 918 , 1156 , 920 , 948，设总体参数都为未知，试用极大似然法估计这星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率。(注：解：总体均值u的极大似然估计值 已知总体方差的极大似然估计为 ： 则 9 设 为服从正态分布 N(a , s2 ) 的总体中选取的一个子样，试确定常数A使 成为s2的无偏估计。解：要使成立 而= 2s2则 10从两批导线中分别抽取n1 = 4根和n2 =5根，测得其电阻分别为： 0.143 , 0.142 , 0.143 , 0.137及0.140 , 0.142

7、 , 0.136 , 0.138 , 0.140。设测试数据分别服N(m1 , s2)及N(m2, s2)，并且它们相互独立，又m1，m2及s2均未知，试求m1m2的95%置信区间.(注 ： )解：m1m2的95%的置信区间为 ： = (0.00196 , 0.00596) (0.002 , 0.006)三 证明题1证明样本二阶中心矩不是总体方差的无偏估计。 证：由于 ，其中2设总体X的期望E(X)，方差D(X)均存在是X的一个样本，试证明统计量(1) ，( 2 ) 都是E(X)的无偏估计量，并说明哪个较为有效？证：因为x1 , x2是X的样本，故独立且同分布 .j1 , j2 均为E(X)的

8、无偏估计。 而即：较有效。3设为泊松分布P(l)的一个样本，证明：对于任一是l的无偏估计，其中 为样本平均值。证明：而 E(S2) = l，E() = l即 为 l 的 无 偏 估 计 。4设 xn，相互独立服从同一分布，Ex = a，Dx = s2。证明的数学期望与方差分别是a和s2，并说明作为Ex的估计量的 无偏性及一致性的理由。解： 由于，故是x的无偏估计量。由契比晓夫不等式 ，故则是x的一致估计量。 自测题一、 填空题1某厂生产一种型号的滚珠，其直径，今从这批滚珠中随机地抽取了16个，测得直径（单位：mm）的样本平均值为4.35，则滚珠直径的置信度为0.95的置信区间是 。（）答案：4

9、.203,4.497. 2某产品的件重近似服从正态分布，随机抽取 16件算出样本均值 (克)，样本方差(克2)，则总体均值m的95%的置信区间是 。()答案：504.45 , 511.053一台自动车床加工的零件长度X服从正态分布N（,2），从该车床加工的零件中随机抽取4个，测得样本方差，试求：总体方差2的置信度为95%的置信区间是 。（附：）答案： 4对快艇的最大速度进行了6次试验，得到的样本如下(单位：M/S)：27 , 38 , 30 , 37 , 35 , 31，则样本均值与样本方差分别是 。答案：33，18.8 5 在总体X N(m1, s2)抽取容量n1=10的样本，算得，而在总体

10、YN(m2,s2)抽取容量n2=20的样本，算得，已知X ，Y相互独立，求两总体均值差m1m2的99%的置信区间 。(注 ： 答案：2.75 , 5.25二、 计算题1设服从参数为的泊松分布，求参数的矩估计量和极大似然估计量。解： (k=0,1,2) 因为，所以 故参数的矩估计量为：。 似然函数为： 可解得： 故参数的最大似然估计量为 2设总体服从上的均匀分布，其中，是取自总体的样本，求参数的矩估计量和最大似然估计量。解：（1），令可得的矩估计量为（2）似然函数，当时，显然似然函数是关于的单调递减的函数，故当取最小值时，可以取到最大值。由于，即的最小值为，故参数的最大似然估计量为3总体X的概率密度函数为，X1,X2,.Xn为X的样本，求参数s的矩估计。解：由题意由4设总体的概率密度为是取自总体的简单随机样本。求：（1）的矩估计量；（2）的方差。解：（1）。令，则得的矩估计量为。（2）由于则。5设和都是参数q的无偏