数列求和错位相减法-裂项相消法后附答案

1、精选优质文档-倾情为你奉上一、解答题1已知等差数列an的前n项和为Sn，且a2=3，S6=36（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足bn=2nan，nN*，求数列bn的前n项和Tn【详解】（）a2=3 ，a1+d=3 S6=36 ，6a1+15d=36 则a1=1，d=2an=2n-1.（）由（）可知，bn=2n2n-1Tn=1×2+3×22+5×23+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n, 2Tn=1×22+3×23+5×24+(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1-Tn=2+

2、2×22+2×23+2×24.+2×2n-（2n-1)×2n+1=2+2×4（1-2n-1）1-2-（2n-1）2n+1 =-6+2n+2-(2n-1)2n+1=-6+2n+1(3-2n)Tn=6+(2n-3)2n+12已知数列an的前n项和为Sn，且a1=2，an+1=Sn+2，nN*(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=nan，求数列an的前n项和Tn【答案】（1）an=2n（2）2+(n-1)×2n+1【详解】(1)an+1=Sn+2，nN*，Sn=an+1-2，即Sn+1=2an+1-2，Sn+2=2an+2-2

3、，两式相减，得an+2=2an+2-2an+1，即an+2=2an+1，又a1=2，a2=S1+2=2+2=4，即数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以an=2n；(2)设bn=nan，则bn=n×2n，Tn=1×2+2×22+3×23+(n-1)×2n-1+n×2n，2Tn=1×22+2×23+3×24+(n-1)×2n+n×2n+1，两式相减，得：Tn=-1×2-1×22-1×23-1×2n-1-1×2n+n×2n+1=

4、n×2n+1-(2+22+23+2n-1+2n)=n×2n+1-2×(1-2n)1-2=2+(n-1)×2n+1【点睛】本题考查数列的递推关系，通项公式，前n项和，错位相减法，利用错位相减法是解决本题的关键，属于中档题3已知等差数列an的前n项和为Sn，满足Sn=an+122(nN*).数列bn的前n项和为Tn，满足Tn=2bn(nN*).（1）求数列an和bn的通项公式；（2）求数列anbn2的前n项和Sn'.【答案】（1）an=2n1,bn=12n1；（2）Sn'=32n+32n.【解析】【分析】（1）根据题意，求得a1,a2，然后求

5、得公差，即可求出数列an的通项，再利用bn=T1,n=1TnTn1,n2 求得bn的通项公式；（2）先求出anbn2的通项，然后利用数列求和中错位相减求和Sn'.【详解】解：（1）由Sn=an+122，得S1=a1+122=a1，解得a1=1.由S2=a1+a2=1+a2=a2+122，解得a2=3或a2=-1.若a2=-1，则d=-2，所以a3=-3.所以S3=-3a3+122=1，故a2=-1不合题意，舍去.所以等差数列an的公差d=a2-a1=2，故an=2n-1.数列bn对任意正整数n，满足Tn=2-bn.当n=1时，b1=T1=2-b1，解得b1=1；当n>1时，bn=

6、Tn-Tn-1=(2-bn)-(2-bn-1)=bn-1-bn，所以bn=12bn-1(n2).所以bn是以首项b1=1，公比q=12的等比数列，故数列bn的通项公式为bn=12n-1.（2）由（1）知anbn2=2n-12n，所以Sn'=12+322+523+.+2n-32n-1+2n-12n，所以12Sn'=122+323+.+2n-32n+2n-12n+1，-，得12Sn'=12+222+223+.+22n-2n-12n+1=12+12+122+.+12n-1-2n-12n+1=12+121-12n-11-12-2n-12n+1=12+1-12n-1-2n-12n

7、+1，所以Sn'=3-2n+32n.4已知数列an的首项a1=1，且满足an+1=an2an+1(nN+).(1)求证：数列1an为等差数列，并求数列an的通项公式；(2)记bn=2nan，求数列bn的前项和为Tn【答案】（1）证明见解析，an=12n-1（2）Tn=(2n-3)2n+1+6【解析】【分析】(1)由an+1=an2an+1，得1an+1=2+1an，由此可判断1an为等差数列，可求1an，进而得到an;(2)求出bn，利用错位相减法可求Tn【详解】(1)由an+1=an2an+1，得1an+1=2+1an，又1a1=1，1an为等差数列，首项为1，公差为2，1an=1+

8、(n-1)×2=2n-1，an=12n-1(2)bn=2nan=(2n-1)2n，Tn=1×2+3×22+5×23+(2n-1)2n，2Tn=1×22+3×23+5×24+(2n-1)2n+1，-得，-Tn=1×2+2×22+2×23+2×2n-(2n-1)2n+1=2+23+24+2n+1-(2n-1)2n+1=2+23(1-2n-1)1-2-(2n-1)2n+1=(3-2n)2n+1-6，Tn=(2n-3)2n+1+6【点睛】5已知等差数列an的前n项的和为Sn，a3=5，S10=

9、100.（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=2n(an+5)，记数列bn的前n项和Tn，求使得Tn<m恒成立时m的最小正整数.【分析】（1）先设设等差数列an的公差为d，由a3=5，S10=100列出方程组求出首项和公差即可；（2）由(1)先求出bn，再由裂项相消法求数列的前n项和即可.【详解】解：（1）设等差数列an的公差为d，因为a3=5，S10=100，所以a1+2d=510a1+45d=100 解得a1=1d=2所以数列an的通项公式为an=2n-1.（2）由（1）可知bn=2n(an+5)=2n(2n+4) =1n(n+2)=12(1n-1n+2)Tn=b1+b2+bn=

10、 12(1-13)+(12-14)+(13-15)+ (1n-1-1n+1)+(1n-1n+2)=1232-2n+3(n+1)(n+2),Tn<34，m34，m的最小正整数为16已知an是首项为1的等比数列，各项均为正数，且a2+a3=12.（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=1(n+2)log3an+1，求数列bn的前n项和Sn.【分析】（1）由a2+a3=12得q方程求解即可；（2）bn=1n(n+2)变形为bn =12(1n-1n+2)裂项求和即可.【详解】（1）设an的公比为q，由a2+a3=12得 q+q2=12，解得q=3，或q=-4， 因an各项都为正数，所以q>

11、;0，所以q=3，所以an=3n-1， (2)bn= 1(n+2)log3an+1=1n(n+2) =12(1n-1n+2) Sn=12(1-13+12-14+1n-1-1n+1+1n-1n+2) =34-2n+32(n+1)(n+2)7已知数列an为等差数列，a7a2=10，且a1，a6，a21依次成等比数列.（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=1anan+1，数列bn的前n项和为Sn，若Sn=225，求n的值.【分析】（1）设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得bn=1anan+1=1(2n+3)(2n+

12、5)=12（12n+3-12n+5），运用裂项相消求和可得Sn，解方程可得n【详解】（1）设数列an的公差为d，因为a7-a2=10，所以5d=10，解得d=2.因为a1，a6，a21依次成等比数列，所以a62=a1a21，即(a1+5×2)2=a1(a1+20×2)，解得a1=5.所以an=2n+3.（2）由（1）知bn=1anan+1=1(2n+3)(2n+5)，所以bn=12(12n+3-12n+5)，所以Sn=12(15-17)+(17-19)+.+(12n+3-12n+5) =n5(2n+5)，由n5(2n+5)=225，得n=10.8设正项数列an的前n项和Sn

13、，且2Sn是an与an+1的等比中项，其中nN*.（）求数列an的通项公式；（）设bn=(1)n+12an+1anan+1，记数列bn的前n项和为Tn，求证：T2n<1.【分析】（）由2Sn是an与an+1的等比中项列方程整理，可得出：数列an是首项为1，公差为1的等差数列，问题得解。（）整理bn=1n+12n+1nn+1=1n+11n+1n+1，代入T2n的表示式子即可求解。【详解】解：（）2Sn是an与an+1的等比中项，2Sn=anan+1=an2+an，等n=1时，2a1=a12+a1，a1=1.当n2时，2an= 2Sn2Sn1= an2+anan12an1，整理得an+an1

14、anan11=0.又an>0，anan1=1n2，即数列an是首项为1，公差为1的等差数列.an=a1+n1d=1+n1=n.（）bn=1n+12n+1nn+1=1n+11n+1n+1，T2n=b1+b2+b3+b2n= 1+1212+13+13+14 +12n1+12n(12n+ 12n+1)=112n+1<1.【点睛】本题主要考查了Sn法的应用及等差数列概念，通项公式，还考查了数列裂项求和，属于基础题。9已知等差数列an是递增数列，且a1a5=9，a2+a4=10(1)求数列an的通项公式；(2)若bn=1anan+1(nN*)，求数列bn的前n项和Sn【答案】（1）an=2n

15、-1；（2）n2n+1【解析】【分析】1根据等差数列an中，a1a5=9，a2+a4=10，列出关于首项a1、公差d的方程组，解方程组可得a1与d的值，从而可得数列an的通项公式；（2）由（1）可得bn=12n+12n1=1212n112n+1，利用裂项相消法求和即可得结果.【详解】1设首项为a1，公差为d的等差数列an是递增数列，且a1a5=9，a2+a4=10则：a1a1+4d=9a1+d+a1+3d=10，解得：a1=1或9，a5=9或1，由于数列为递增数列，则：a1=1，a5=9故：d=2，则：an=1+2n1=2n12由于an=2n1，则：bn=1anan+1=12n+12n1=12

16、12n112n+1所以：Sn=b1+b2+bn=12113+1315+12n112n+1=12112n+1=n2n+1【点睛】本题主要考查的知识要点为等差数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题型裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)1nn+k=1k1n1n+k；（2） 1n+k+n =1kn+kn； （3）12n12n+1=1212n112n+1；（4）1nn+1n+2=12 1nn+11n+1n+2；需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.1

17、0等差数列an的公差为正数，a1=1，其前n项和为Sn；数列bn为等比数列，b1=2，且b2S2=12,b2+S3=10(I)求数列an与bn的通项公式；(II)设cn=bn+1Sn，求数列cn的前n项和Tn【答案】() an=n，bn=2n；() Tn=2n+12n+1.【解析】【分析】（）等差数列an的公差d为正数，数列bn为等比数列，设公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；（）求得cnbn+1Sn=2n+2n(n+1)=2n+2（1n1n+1），数列的分组求和和裂项相消求和，化简整理即可得到所求和【详解】解：()设等差数列an的

18、公差为d，等比数列bn的公比为q，则2q2+d=122q+3+3d=10d>0解得d=1q=2an=n，bn=2n.()由()知Sn=nn+12.cn=bn+1Sn=2n+2nn+1=2n+21n-1n+1，Tn=2+22+23+2n+21-12+12-13+1n-1n+1.=21-2n1-2+21-1n+1=2n+1-2n+1【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题11已知数列an满足a1=1，an+1=3an，数列bn满足b1=1，且an+bn是公差为2的等差数列（）求an和bn的通项公式；（）求bn的前n项和Sn【答案】（）an=3n1，bn=2n3n1（）Sn=n(n+1)3n12【解析】【分析】（）利用等差数列以及等比数列的通项公式，转化求an和bn的通项公式；（）利用分组求和法求bn的前n项和Sn即可【详解】解：（）由a1=1，an+1=3an，an是首项为1，公比为3的等比数列.所以an=3n-