数列上下极限的不同定义方式及相关性质

1、精选优质文档-倾情为你奉上目 录数列上下极限的不同定义方式及相关性质摘要.01一、数列的上极限、下极限的定义.011. 用“数列的聚点”来定义.012. 用“数列的确界”来定义.023. 数列上、下极限定义的等价性.02二、数列的上、下极限的性质及定理. 04参考文献. 14英文摘要.15数列上下极限的不同定义方式及相关性质摘 要：数列的上、下极限的概念是极限概念的延伸，由于它们在正项级数敛散性的判别法中的重要作用，又成为数学分析中重要的理论部分.本文主要讨论了数列的上下极限的两种定义方式及其等价证明和一些相关定理.关键词：数列、上极限、下极限、聚点、函数一、数列的上极限、下极限的定义关于数列

2、的上极限、下极限的定义常见的有如下两种形式：1. 用“数列的聚点”来定义定义 1 若在数a的任一邻域内都含有数列的无限多项，则称为数列的一个聚点.例1 数列有聚点与； 数列有和五个聚点； 数列只有一个聚点； 常数列只有一个聚点.定义 2 有界数列的最大聚点与最小聚点分别称为数列的上极限和下极限，记作;.例2 2. 用“数列的确界”来定义定义3 任给数列，定义 ; （1）分别称为数列的上极限和下极限.若定义1中的可允许是非正常点或，则：任一点列至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.不难证明：正上（下）界点列的最大（小）聚点为.于是，无上（下）界点列有非正常上（下）极限.例3 3. 数列上、下

3、极限定义的等价性下面我们来证明一下数列上、下极限定义的等价性，即；.证明：如果，由于关于单调递减，所以，.于是，可取（自然数）,又可取 所以，得到数列的子列.这就证明了为数列的聚点，且为最大聚点.由此可得;如果，则或实数.设数列的任一聚点，则必有的子列，. ,所以，数列的最大聚点满足.另一方面， 易见，中最多含有数列中的有限多项.因此，当时，有，从而，当时，有由此可得.令，推出.综合上述，有.类似的可证明或应用上式于可证得.如果，由于关于单调递减，所以，对.于是，可取自然数使得,又可取自然数 使得所以，得到数列的子列.这就证明了为数列的聚点，且为最小聚点.由此可得;如果，则或实数.设数列的任一

4、聚点，则必有的子列，.任意的n是自然数所以，数列的最小聚点满足.另一方面，对任意的y易见，（-中最多含有数列中的有限多项.因此，存在N是自然数当时，有，从而，当时，有，由此可得.令y，推出.综合上述，有.下面进一步给出和数列上，下极限定义有关的性质及定理.二、数列的上、下极限的性质及定理设有数列与数列，则数列的上、下极限有以下性质性质 1 ； （2） 性质 2 例4 用上下极限理论证明：若是有界发散数列，则存在的两个子列收敛于两个不同的极限.证明：因为数列发散的充要条件是，于是存在的两个子列，使，即存在的两个子列收敛于不同的极限.性质 3 （保不等式性质）设有界数列，满足：存在,当时有，则 ;

5、 ;特别，若为常数，又存在，当时有，则性质 4 设，则 （3） （4）例5 证明：若收敛，则对任意，有证明：分三种情况讨论1、 若，则中有无穷多项大于零，作新序列 则，且，对应用（4）有因收敛，所以 ，故上式表明 但 所以 2、 若，在限制条件下，因此充分大时有，这时等式明显成立.3、 若，可取充分大的正常数,使得，如此应用1、的结果， 再根据（3），此即 从而 ，证毕.性质 5 在不发生情况下，有如下不等式成立：1、2、3、事实上，这里的等号可以不发生，如对；，这时例6 证明：若收敛，则对任意，有证：我们已有注意收敛，因此，所以上式即为 即成立.例7 证明：（1） （2） 证： 先证： （1

6、） 设，则依上极限定义，数列中至多只有项大于，而有穷项小于，即对，至多有项小于，而有穷项大于，所以依下极限定义，有 ，即. 设 ，用反证法，设，依下极限定义，,当时，有不妨设 ，则当时， 又有 ，依下极限定义，则当时，当 时，由此推出矛盾，故，即，又令，则.于是，由于 ，所以 （2） 以及分别代替题（1）中的与，有，由 得 ，即 ，当；时，题（1）（2）中仅不等号成立.性质 6 ; ; 性质 7 若 ，则 ; （7）例7 证：若且，则数列收敛. 证明：若，则子列，于是有，这与相矛盾，这样应当有，然后用上下极限等价定义来证明.性质8 当 ，且，则下式右端有意义（不是型）时，有 ; . 证明：以第

7、二式为例给出证明首先设 ，其中为有限数或.令 则 ; .由得，即，也就是，代回到就得到.其次设 （为有限数）只要用代替（其中），就可得证.最后 ，这时即，且（否则出现型），显然.下面定理指出，对一切数列的上、下极限必存在（包括）.定理 1（1）有界数列至少有一个聚点,存在最大聚点与最小聚点,且这两个聚点都为实数,它们分别为上极限与下极限;（2）如果数列无上界,则,此时为数列的最大聚点;如果数列有上界 若中含有数列的有限项,则,此时; 若中含有数列的无限项,则数列以实数为最大聚点,它就是;（3） 如果数列无下界,则,此时为数列的最小聚点;如果数列有下界 若中含有数列的有限项,则,此时; 若中含有

8、数列的无限项,则数列以实数为最小聚点,它就是.证明: (1) 因数列有界,令将两等分,则必有一等分含数列的无限多项,记此区间为,则,且 ；再将两等分, 则必有一等分含数列的无限多项,记此区间为,则,且；如此下去得到一个递降闭区间套:；，且每个闭区间都含有数列的无限多项.由闭区间套定理知，对的任何开领域， ，则，当时，从而中含有数列的无限多项，所以为数列的聚点.至于最大聚点的存在性，只需在上述证明过程中，当每次将区间等分为两个区间时，若右边一个含数列的无限多项，将它取为；若右边一个含数列的有限项，则取左边的子区间为.于是，所选都含有数列的无限多项，同时在的右边都至多含有数列的有限项，其中 再根据

9、闭区间套定理知，.下证为数列的最大聚点.（反证） 若不然，设另有数列的聚点令则有 内都含有数列的无限多项，但当充分大时，完全落在的右边，这与上述的右边都至多含有数列的有限项矛盾.类似可证最小聚点的存在性，或用代替.（2） 如果数列无上界,则必有子列,因此, 为数列的最大聚点,从而.如果数列有上界 若中含有数列的有限项,则根据极限为的定义可知, ； 若中含有数列的无限项,由(1)的结果, 数列有最大聚点,显然它也是数列的最大聚点,即为； (3) 类似(2)可证明,或用代替.定理 2 .证明： 设，则对的任一邻域，当时， ，从而为数列的一个聚点.， 则存在的开邻域，的开邻域， . 由于，故，当时，

10、所以，从而中至多含有数列的有限项（如）因此，不为数列的聚点.综上可知，为数列的唯一聚点，所以.或者，因，故的任何子列也必有.因此，数列有唯一的聚点，从而. 设，则数列只有一个聚点，因此，对的任一开邻域，在外只含有数列的有限多项（否则数列在外还有异于的聚点，这与数列只有一个聚点相矛盾）.于是，当时，有，这就证明了.定理 3 设为有界数列，则下列结论等价：(1) 为数列的上极限；(2) 当时,有;且存在子列, ；(3) 数列中大于的项至多有限个; 数列中大于的项有无限多个.证明：:因为数列的聚点,故在内含有数列的无限多项，则有.又因为数列的最大聚点，故在的右边至多只含有数列的有限多项（否则必有数列

11、的聚点，这与为数列的最大聚点相矛盾）.设此有限项的最大指标为，则当时，有.: 令，由（2）知，当时，有 .故数列中大于的项至多有限个.，令，由（2）知，存在数列的子列， ，故数列中大于的项有无限多个.:设为的任一开邻域，则由于，根据（3），中大于有无限多项.因此 中含有数列的无限项，从而中含有数列的无限项，这就证明了为数列的一个聚点.另一方面，记.由（3）知，数列中大于的项至多有限个.故不为数列的一个聚点，这就证明了为数列的最大聚点，即为数列的上极限.定理 4 设为有界数列，则下列结论等价：(1) 为数列的下极限；(2) 当时,有;且存在子列, ；(3) ， 数列中小于的项至多有限个;， 数列

12、中小于的项有无限多个.证明：类似定理3证明,或用代替.从一些性质和定理的证明可以看出有些步骤用到数列上，下极限定义方面的证明过程.此外，关于不同对象的上、下极限的定义，本质上都起源于数列的上、下极限定义，比如，集合列的上，下限极等，在此就不做介绍了.参考文献:1 华东师范大学数学系编.数学分析（上册）.北京:高等教育出版社，2001 2 复旦大学数学系陈传璋等编.数学分析（下册）.北京:高等教育出版，1979 3 李成章,黄玉民编. 数学分析（上册）.科学出版社，1998 4 程其蘘.实变函数与泛函分析基础M .2版.北京：高等教育出版社，2003 5 朱成熹.近世实分析基础M.天津:南开大学

13、出版社，19936 匡继昌.实分析与泛函分析M.北京:高等教育出版社，20027 薛昌兴.实变函数与泛函分析:上M.北京:高等教育出版社，19978 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.北京:高等教育出版社，19939 吴良森,毛羽辉著.数学分析学习指导书（上册）.北京:高等教育出版社，200410 胡适耕,张显文著.数学分析原理与方法.北京:科学出版社，200811 陈纪修,於崇华著.数学分析第二版（下册）.北京:高等教育出版社.2004The sequence about limit with gathers the row on lower limit collectionHao Li-

14、jiao 2007 grades of mathematics,science college mathematics and the applied mathematics professions 1 classAbstract：Sequence on, under the limit concept is limit concept extending,because they collect in the divergence distinction law in the seriesof positive terms the vital role, also becomes the theory which in themathematical analysis has no alternative but to say to be