集合补课习题

1、集合补课习题集合元素的“三性”及其应用集合的特征是学好集合的基础，是解集合题的关键，它主要指集合元素的确定性、互异性和无序性，这些性质为我们提供了解题的依据，特别是元素的互异性，稍有不慎，就易出错下面就集合元素的这三个性质及应用加以说明一、注意正确理解其意义1确定性：即对任意给定的对象，相对于某个集合来说，要么属于这个集合，要么不属于这个集合，二者必居其一，关键是理解“确定”的含义2互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的（或说是互异的），即同一个集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入任一个集合时，只能作为这个集合的一个元素3无序性：由于集合中元素是确定且是互异的，元素

2、完全相同的集合是相等的集合，因此，集合中的元素与顺序无关二、注意正确利用“三性”解题例1下列命题正确的有哪几个？很小的实数可以构成集合；集合1，5与集合5，1是不同的集合；集合（1，5）与集合（5，1）是同一个集合；由1，0.5 这些数组成的集合有5个元素分析：这类题目主要考查对集合概念的理解，解决这类问题的关键是以集合中元素的确定性、互异性、无序性为标准作出判断解：“很小”是一个模糊概念，没有明确的标准，故我们很难确定某一个对象是否在其中，不符合集合元素的确定性，因此，“很小的实数”不能构成集合，故错1，5是由两个数1，5组成的集合，根据集合元素的无序性，它与5，1是同一个集合，故错（1，5

3、）是由一个点（1，5）组成的单元素集合，由于（1，5）与（5，1）表示两个不同的点，所以（1，5）和（5，1）是不同的两个集合，故错，0.5，因此，由1，0.5 这些数组成的集合为1，0.5，共有3个元素因此，也错例2已知集合，2，其中，求的值分析：本题最常见的错误是认为这两个集合的对应项相同，列出相应的关系式，然后求出的值，这显然违背了集合的无序性解：，及集合元素的无序性，有以下两种情形：消去，解得1，此时，与集合中元素的互异性矛盾，1消去，解得，或1（舍去），故的值为评注：本题中，利用集合元素的无序性和两集合相等时的元素特征，得出两个方程组，打开了解题的大门，求出值后，又利用了集合元素的互

4、异性进行检验，保证了所求的结果的准确性例3设（2）1，R，求中所有元素之和错解：由（2）1得（1）（1）（1）当时，1 x21，此时中的元素之和为2（2）当时，1 x22分析上述解法错在（1）上，当时，方程有二重根1，集合1，故元素之和为1，犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”因此，在列举法表示集合时，要特别注意元素的“互异性” 例4已知集合 2，3,+4+2， B0,7, +4-2,2-，且AB=3,7,求值分析： AB=3,7 +4+2=7 即 =1，或=5至此不少学生认为大功告成，事实上，这只求出了集合A，集合B中的元素是什么,它是否满足元素的互异性,有待于进一步检查当=5时,2=

5、7， 在B中重复出现,这与元素的互异性相矛盾，故应舍去=5当=1时, B=0,7,3,1 且AB=3,7 =1评注：集合元素的确定性，互异性，无序性在解题中有重要的指导作用，忽视这一点差之毫厘则失之千里集合学习中的错误种种数学是一门严谨的学科，在集合学习中，由于对概念理解不清或考虑问题不全面等，稍不留心就会不知不觉地产生错误，本文归纳集合学习中的种种错误，认期帮助同学们避免此类错误的再次发生一、混淆集合中元素的形成例1集合，则错解：解方程组得剖析：产生错误的原因在于没有弄清楚集合中元素的形式，混淆点集与数集集合中的元素都是有序数对，即平面直角坐标系中的点，而不是数，因而是点集，而不是数集二、忽

6、视空集的特殊性例2已知，若，则的值为错解：由得由得或或3或剖析：由于忽视空集的特殊性空集是任何集合的子集，产生丢解的错误，以上只讨论了的情形，还应讨论的情形，当时，的值为三、忽视集合中的元素的互异性这一特征例3已知集合，且，求的值错解：，必有或剖析：由于忽视集合中元素应互异这一特征，产生增解的错误求出的值后，还必须检验是否满足集合中元素应互异这一特征事实上，（1）当时，不满足中元素应互异这一特征，故应舍去（2）当时，满足且集合中元素互异的值为1四、没有弄清全集的含义例4设全集，求的值错解：且或剖析：没有正确理解全集的含义，产生增解的错误全集中应含有讨论集合中的一切元素，所以还须检验（1）当时，

7、此时满足（2）当时，应舍去，五、没有弄清事物的本质例5若，试问是否相等错解：剖析：只看到两集合的形式区别，没有弄清事物的本质，事实上是偶数集，也是偶数集，两集合应相等，尽管形式不同换句话说，两集合中所含元素完全相同，六、误用数学符号例6用，填空错解：错误的原因在于没有弄清符号“”与“”之间的区别“”表示元素与集合之间的关系，“”表示集合与集合之间的关系，表示集合，亦是集合，集合中的数学思想方法例析数学思想和数学方法是数学的灵魂，是知识转化为能力的桥梁，信息社会越来越多的要求人们自觉地运用数学思想提出问题和用数学方法解决问题近几年的高考数学试题，越来越注重对数学思想和数学方法的考查，这已成为高考

8、热点问题为帮助同学们更好地理解和掌握最常用的基本数学思想和数学方法，特结合同学们已经学过的集合中有关的数学思想方法要点归纳如下，以扩大读者的视野一、等价转化思想在解集合问题时，当一种集合的表达式不好入手时，可将其先转化为另一种形式比如：将= B或将= A转化为，将转化为，将转化为等例1 已知M =(x，y)| y = xa，N =(x，y)| xy= 2，求使得=成立的实数a的取值范围。解：=等价于方程组无解。把y = xa代入方程xy= 2中，消去y，得关于x的一元二次方程2x2axa2= 0。问题又转化为一元二次方程无实根，即= (2a)42(a2)0，由此解得a2或a2。故所求实数a的取

9、值范围是a | a2或a2。评析：在理解集合符号的基础上，准确地将集合语言转化为初中已学过的数学问题，然后用所学的知识和方法把问题解决这种转化可以把抽象知识用简洁、准确的数学语言表达出来，提高解题效率二、分类讨论思想解答集合问题时常常遇到这样的情况：解题过程中，解到某一步时，不能再以统一的方法、统一的形式继续进行，因为这时被研究的数学对象已包含了多种可能的情形，必须选定一个标准，根据这个标准划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一加以解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论的思想方法例2 设集合A = x | x4x = 0，xR，B = x | x2(a1)xa1= 0，aR，

10、xR ，若，求实数a的取值范围。分析：BA可分为B =，BA，B = A三种情况讨论。解：A = 0，4，BA分以下三种情况：当B = A时，B= 0，4，由此知：0和4是方程x2(a1)xa1= 0的两个根，由根与系数之间的关系，得：a = 1。当BA时，又可分为：B =时，= 4(a1)4(a1)0，解得a1；B时，B = 0或B = 4，并且= 4(a1)4(a1) = 0，解得a=1，此时B = 0满足题意。综合、知，所求实数a的值为a1或a = 1。评析：解分类讨论问题的实质是将整体化为部分来解决。对于含参数的计划问题，常需要对参数分类讨论。在分类时要注意“不重不漏”。由于空集是任何

11、非空集合的真子集，空集必是非空集合的真子集，因此，B =时也满足BA所以BA中就应考虑B =与B两种情况，就是说，正是空集引法的分类讨论三、开放思想开放型问题是相对于中学课本中有明确条件和结论的封闭型问题而言的这类问题的知识覆盖面大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度集合中的开放型问题问题大多是结论不定性开放型问题例3 设集合A = (x，y)|yx1= 0 ，集合B =(x，y)| 4x2x2y5 = 0 ，集合C =(x，y)| y = kxb ，是否存在k，bN，使得？若存在，请求出k，b的值；若不存在，请说明理由解：因为，即，所以且将y

12、= kxb代入yx1= 0，得kx(2kb1)xb1= 0，因为，所以= (2kb1)4k( b1)0，即4k4kb10，若此不等式有解，应有16b160，即b1又将y = kxb代入4x2x2y5 = 0，得：4x(22k)x(52b) = 0，因为，所以= (22k)4k(52b)0，即k2k8b190，若此不等式有解，应有44(8b19)0，解得b由不等式、及bN，得b = 2将b = 2代入由0和0组成的不等式组，得，再注意到kN，求得k = 1故存在自然数k = 1，b = 2使得评析：在数学命题中，常以适合某种性质的结论“存在(肯定型)”、“不存在(否定型)”、“是否存在(讨论型)

13、”等形式出现“存在”就是有适合某种条件或符合某种性质的对象，对于这类问题无论用什么方法只要找出一个，就说明存在“不存在”就是无论用什么方法都找不出一个适合某种已知条件或性质的对象，这类问题一般需要推理论证“是否存在”结论有两种：一种是可能或存在；另一种是不存在，则需要说明理由 高考中解集合问题的几种方法集合是历来高考查的重要内容之一，是整个高中内容的基础，由于集合知识的抽象性，给处理集合问题带来一定的困难，为此结合历年高考集合题，例析解集合问题的几种常用方法，供参考。一、 数轴法由实数与数轴上的点对应关系，可以用数轴上的点或区间表示数集，从而直观形象地分析问题和解决问题。例1 (2005年天津

14、理工高考) 设集合A=x|4x1|9，xR，B=x|0 ，xR 则AB = ( )A(3，2 B(3，20，C(，3) (， + D(，3) ，+解：集合A=x|4x1|9，xR=x|x或x2，xR，集合B=x|0 ，xR =x|x 3或x 0，把集合A32.520和集合B所表示的范围在数轴上表示出来，可得AB =(，3) ，+例2 (2005年重庆理工高考)集合A= xR|xx6 0，B= xR|x2| 2，则AB =_。解：A= xR|xx6 0=x|2 x 3, B= xR|x2| 2=x|0 x 4.把集合A和集合B所表示的范围在2430数轴上表示出来，可得AB =x|0 x 3 例3

15、(2005年湖南理工高考)集合A=x|，B =x|xb| a，若“a = 1”是“AB =”的充分条件，则b 的取值范围可以是( ). A2b 0 B0 b2。 C3 b1 D1b 2 解：集合A=x|=x|1x 1，当 “a =1“ 时B =x|xb| 1= x|1 + b x 1 + b1111+b1+b1+b1+b11以上两个图都AB =，因为“a = 1”是“AB =”的充分条件，由图可得1b 2，故选D。二、 性质法在解集合问题时，用常用性质求解，往往快捷迅速，如CACB = C( AB)，CACB=C( AB)，A=, A=A，A，集合A中有n个元素其子集个数为2，真子集个数为21

16、等。例4(2000年春季高考) 设全集U=a，b，c，d，e，集合A=a，c，d，B=b，d，e，那么CACB =（ ）。A Bd Ca，c Db，c解：CACB= C( AB)= CU=，故选A.例5(1994年全国高考)设全集U=0，1，2，3，4，集合A=0，1，2，3，集合B=2，3，4，则CACB = ( )A0 B0，1 C0，1，4 D0，1，2，3，4解：因为AB=2，3，CACB= C( AB)= 0，1，4故选C.例6(2005年天津文史高考) 集合A=x|0x3且xN的真子集个数为( )A16 B8 C7 D4解：集合A=0，1，2共3个元素，其真子集个数为21。故选C.三、 列举法对于一些有明显特征的集合，可以将集合中的元素一一列举出来，然后