阶段性测试题十一(计数原理与随机变量(理))

1、阶段性测试题十一(计数原理与随机变量(理)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)1函数f：1,2,31,2,3，满足f(f(x)f(x)，则这样的函数个数共有()A1个B2个C8个D10个答案D解析当f(x)1，f(x)2，f(x)3，f(x)x时有4个根据元素地位的对等性，当f(1)1，f(2)1时，则必有f(3)3，假若f(3)2，则f(f(3)f(2)13，类似这样的情况共有CCC6种故共有10种，选D.22名男生和

2、2名女生随机地排成一行，则两名男生排在一起的概率是 ()A. B. C. D.答案B解析解法1：4人排一行共A24种排法，其中两男生相邻的排法有A·A12种，P.解法2：如下图四人站一行，共四个位置两男生相邻的站位只能是(1,2)，(2,3)，(3,4)两男生不相邻的站位只能是(1,3)，(2,4)，(1,4)故所求概率为P.12343二项式(1sinx)n的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为7，且二项式系数最大的一项的值为，则在，上x的值为()A. B.C或 D.或答案D解析由CC7得n6，二项式系数最大的项为T4项，即C(sinx)3，sinx.x，x或.4用四种不同的颜色给正

3、方体ABCDA1B1C1D1的六个面涂色，要求相邻两个面涂不同颜色且四种颜色全用完，则所有不同涂色方法有()A24种 B96种 C72种 D48种答案C解析据题意知，要将4种颜色涂在正方体的6个面上，必有两个面要涂相同的颜色，并且由于相邻的面不能重色，故只能是正方体的3对相对的面中有两对要同色，故从3个相对的面中取2对相对的面，作为2个元素，同其它的2个面作为4个元素，再将4种颜色分别涂在这4个元素上即可，故共有CA72种不同的涂法5若是离散型随机变量，P(x1)，P(x2)且x1<x2，又已知E()，D()，则x1x2的值为()A. B.C3 D.答案C解析由期望和方差的计算公式得即由

4、得x242x1，代入得，62，又x1<x2，x1x23.6已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c3，2，1,0,1,2,3，在这些抛物线中，记随机变量“|ab|的取值”，则的数学期望E()为()A. B. C. D.答案A解析对称轴在y轴左侧，<0，ab>0，即a与b同号，满足条件的抛物线有2CCC126条的取值为0、1、2，P(0)，P(1)，P(2).E()×0×1×2.7随机变量的分布列如下：101Pabc其中a、b、c成等差数列，若E()，则D()的值是()A. B. C. D.答案D解析由已知条件知，解得D

5、()2×2×2×.8口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列an：an，如果Sn为数列an的前n项和，那么S73的概率为()AC2·5 BC2·5CC2·5 DC2·5答案B解析有放回地每次摸取一个球，摸到红球的概率为，摸到白球的概率为，这是一个独立重复试验S73，说明共摸7次，摸到白球比摸到红球多3次，即摸到白球5次，摸到红球2次，所以S73的概率为C25.9从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张则所取3张中至少有2张价格相同的概率为()A. B. C. D.答案

6、C解析3张中没有价格相同的取法有CCC30，则3张中至少有2张相同的概率为.10福娃是2008年北京第二十九届奥运会的吉祥物，每组福娃都由“贝贝”“晶晶”“欢欢”“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成，甲、乙两人随机地从一组五个福娃中选取一个留作纪念按甲先选乙再选的顺序不放回的选择，则在他俩选择的福娃中“贝贝”和“晶晶”一只也没有被选中的概率是()A. B. C. D.答案C解析依题意知，甲、乙两人谁先选，选哪一只都是等可能的，甲先选乙后选的总方法有5×420种，而都没有选到“贝贝”和“晶晶”的方法有3×26种，所以所求概率为.11从圆的10等分点中任取3个点，组成一个三角形，可

7、构成直角三角形的概率是()A. B. C. D.答案C解析10个分点共构成C个三角形，10个点可构成5条直径，每条直径为斜边的直角三角形有8个，直角三角形共有5×840个，所求概率为，故选C.12设随机变量N(1，2)，已知P(2)0.92，则P(0)的值为()A0.08 B0.84 C0.58 D0.92答案D解析P(0)1P(<0)1P(>2)P(2)0.92.点评可据随机变量的均值为1知，P(0)P(2)0.92.第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱相互平行的概

8、率为_答案解析任选两棱共有C66种不同选法选出的两棱平行共有3×C18(种)不同选法，概率为.14设an(n2,3,4，)是(3)n的展开式中x的一次项的系数，则的值是_答案解析通项Tr1C3nr(1)rx，令1得r2，anC3n2，9×18×.15设随机变量B，则D(21)_.答案解析B，D()2××，D(21)4D().161号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是_答案分析从2号箱中取出红球的概率大小与从一号箱中取出的球有关，故应按

9、从一号箱中取出红球和白球讨论，故这是一个条件概率问题解析记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球则P(B)，P()1P(B)，P(A|B)，P(A|)，从而P(A)P(AB)P(A)P(A|B)P(B)P(A|)P()××.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)(08·辽宁)某批发市场对某种商品的周销售量(单位：吨)进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：周销售量234频数205030(1)根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；(2)已知每吨该商品

10、的销售利润为2千元，表示该种商品两周销售利润的和(单位：千元)若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求的分布列和数学期望解析(2)的可能值为8、10、12、14、16，且P(8)0.220.04，P(10)2×0.2×0.50.2，P(12)0.522×0.2×0.30.37，P(14)2×0.5×0.30.3，P(16)0.320.09.的分布列为810121416P0.040.20.370.30.09E()8×0.0410×0.212×0.3714×0.316×0.0912

11、.4(千元)18(本小题满分12分)某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后第2位)：(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率解析(1)5次预报中恰有2次准确的概率为P5(2)C×0.82×(10.8)5210×0.82×0.230.05.(2)5次预报中至少有2次准确的概率为1P5(0)P5(1)1C×0.80×(10.8)50C×0.81×(10.8)510.99.(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3

12、次预报准确的概率为08×C×0.8×(10.8)414×0.82×0.230.02.19(本小题满分12分)把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，试就方程组，解答下列问题：(1)在出现点数有2的情况下，求方程组只有一个解的概率；(2)求方程组只有正数解的概率解析(1)方程组无解a2b，同时，该方程组不会出现无数组解的情况，又出现点数有2的情况共有11种，而当a2，b1；a4，b2时方程组无解，出现点数有2的情况下，方程组只有一个解的概率P11.(2)要使方程组只有正数解，只需直线axby3即1与直线

13、2xy2交点在第一象限，如图所示因此或，即，或.当a1,2时，b2,3,4,5,6.当b1时，a4,5,6；因此，方程组只有正数解的概率P2.20(本小题满分12分)(08·福建)某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试成绩合格的概率均为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响(1)求他不需要补考就可获得证书的概率；(2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望E()解析解：设

14、“科目A第一次考试合格”为事件A1，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B1，“科目B补考合格”为事件B2.(1)不需要补考就获得证书的事件为A1·B1，注意到A1与B1相互独立，则P(A1·B1)P(A1)×P(B1)×.答：该考生不需要补考就获得证书的概率为.(2)由已知得，2,3,4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得P(2)P(A1·B1)P(1·2)××，P(3)P(A1·1·B2)P(A1·1·2)P(1·A2·B1

15、)××××××.P(4)P(1·A2·1·B2)P(1·A2·1·2)××××××，故E()2×3×4×.答：该考生参加考试次数的数学期望为.21(本小题满分12分)设甲、乙两名射手在一次射击中分别射中的环数为两个相互独立的随机变量，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0

16、.3,0.2.(1)求，的分布列；(2)求，的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术解析(1)依题意得0.53aa0.11解得a0.1.乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，乙射中7环的概率为1(0.30.30.2)0.2.的分布列为：10987P0.50.30.10.1的分布列为：10987P0.30.30.20.2(2)由(1)可得：E()10×0.59×0.38×0.17×0.19.2(环)，E()10×0.39×0.38×0.27×0.28.7(环)，D()(109.2)2×

17、0.5(99.2)2×0.3(89.2)2×0.1(79.2)2×0.10.96，D()(108.7)2×0.3(98.7)2×0.3(88.7)2×0.2(78.7)2×0.21.21.由于E()>E()，说明甲平均射中的环数比乙高；又因为D()<D()说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定所以，甲比乙的射击技术好22(本小题满分14分)某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求：(1)随机变量的分布列；(2)随机变量的期望分析本题中每位乘客在每层楼下的可能性是相等的，于是确定为“等可能性事件概率模型”，考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，可确定为“n次独立重复试验概率模型”解析解法1：(1)的所有可能值为0、1、2、3、4、5.由等可能性事件的概率公式得P(0)，P(1).P(2)，P(3).P(4)，P(5).从而的分布列为012345P(2)由(1)得的期望为E()0×1×2×3