蝴蝶效应之-- 临界状态

1、谈到混沌理论 chaos，总是离不开蝴蝶效应 butterfly effect。可惜一般人对蝴蝶效应都有误解，以為当一隻蝴蝶在香港舞动翅膀，可能导致美国在数週后下起大雷雨。事实上，蝴蝶舞动翅膀并不是导致大雷雨的主因，它只是一个导火线。蝴蝶效应真实版本是要说明当蝴蝶舞动翅膀所產生的气流，会迅速改变未来的细节 (如空气分子的位置或速度，从而变得跟蝴蝶没有拍打翅膀时的情况不同，因此混沌并非解释大雷雨形成(剧变的答案。哪麼是什麼原因导致大雷雨这类的剧变发生？在上一篇有关小世界理论的文章中我所介绍的维吉尼亚大学的物理学家Mark Buchanan，在他另一著作Ubiguity : Why Catastr

2、ophes Happen？中揭示了延续混沌的新理论 - 临界状态 critical state。所谓的临界状态就是指一个系统处于平衡与非平衡之间的状态，就好像一个足球放在尖形屋顶的顶端，足球随时会滚向左边，但也有相同机率滚向右边，但在事前就是无法预测它会滚向哪一边。临界状态实质上是属于非平衡物理学non-equilibrium physics，或说是新兴复杂理论complexity的第一个產物。在非平衡的状态下，由事物所形成的交互作用系统经常存有一种自然的数学模式 - 幂次定律power law。幂次定律是两个变数之间的数学关系，不是正比，亦非反比，而是一种指数次方的关系，例如：f = v -

3、2从以上公式可看到f与v两个变数之间存有-2次方的幂次定律，而任何出现幂次定律的系统，都会存有临界状态。在稍后的篇幅将会看到这种幂次定律的数学模式经常会出现在我们的日常生活当中，无论是流动沙堆、股票市场、森林大火、地震模式、人口分佈以及是歷史本身，都会找到幂次定律的踪影。堆沙游戏1987年，三位物理学家Per Bak、Chao Tang 及Kurt Weisenfeld想知道如果有人每次把一粒沙撒在桌面上，最后形成出来的沙堆将会有何特性。他们利用电脑模拟来做研究，发现当沙堆累积到足够高的时候，沙堆的斜坡面将会处于临界状态，即使是一小粒的沙粒落在这个斜坡面上时，都会造成一次大规模的沙崩，而使沙堆

4、的高度再次变小。不过，当不断再添加更多沙粒时，沙堆又再次变高，而斜坡面亦再次趋向临界状态，形成一种沙堆变大变小的交替模式。而沙堆自动趋向临界状态的特性被称為自组临界状态。但最惊人之处却是这三位物理学家在堆沙游戏中竟然发现幂次定律，就是每当在沙崩中被牵动的沙粒数目增為2倍时，出现这类沙崩的次数将会降為1 / 2.14，数学表达即是：f = N 1.1f 為出现沙崩的次数N 為沙崩中被牵动的沙粒数目这种沙堆的幂次定律告诉我们，任何规模的沙崩都有可能发生，只是小规模比大规模的发生较多，而且任何规模的沙崩都是由同一个原因引发 - 一粒小沙。因此并不是有什麼特别因素导致大规模沙崩，无论是大规模还是小规模

5、都是寻常的事。大规模沙崩只是小规模沙崩的放大版本罢了，因此幂次定律正暗示著一种自我相似性self-similarity，也就是数学裡的碎形fractal。在堆沙游戏中我们再次看到幂次定律与临界状态的亲密关系。堆沙游戏最讽刺的地方是真实的沙堆并不符合幂次定律，因為那三位物理学家在设定电脑程式时，高估了沙粒的黏性，因此出来的结果并不适用于沙粒，反而适用于黏性较高的米粒。蕃薯实验1993年三位来自南丹麦大学的物理学家以真实的实验来重复堆沙游戏，但今次用的不是沙粒，而是蕃薯。他们把冰冻了的蕃薯用力丢向墙壁，冻蕃薯应声碎裂成很多的碎块，有大有小。他们细心检视这些碎块，按重量把碎块分成数堆。最后他们也发现

6、当中的幂次定律，就是每当碎块重量增為2倍时，出现这类碎块的数目将会降為1 / 6，数学表达即是：f = w 2.58f 為碎块的数目w 為碎块的重量你可能会怀疑这些出现幂次定律的情况是否一种巧合，那就让我们看更多日常生活中的例子吧。地震当地震所释放的能量增為2倍时，出现这类规模的地震数目将会降為1 / 4，数学表达即是：f = E 2f 為地震的数目E 為地震所释放的能量森林大火当火灾面积增為2倍时，出现这类规模的火灾数目将会降為1 / 2.48，数学表达即是：f = A 1.31f 為火灾的数目A 為火灾面积城市人口当城市人口增為2倍时，出现这类规模的城市数目将会降為1 / 4，数学表达即是

7、：f = M 2f 為城市的数目M 為城市人口股市当股市变动幅度增為2倍时，出现这类幅度的股市变动次数将会降為1 / 16，数学表达即是：f = h 4f 為股市变动的次数h 為股市变动幅度个人财富当个人财富增為2倍时，拥有这些财富的人数将会降為1 / 4，数学表达即是：f = c 2f 為人数c 為个人财富物种灭绝当物种灭绝的规模增為2倍时，出现这类规模的灭绝次数将会降為1 / 4，数学表达即是：f = P 2f 為灭绝的次数P 為物种灭绝的规模战争当战争中的死亡人数比率增為2倍时，出现这类规模的战争数目将会降為1 / 2.62，数学表达即是：f = d 2f 為战争的数目d 為战争中的死亡

8、人数比率从以上资料分析，幂次定律随处可见，无论是自然界还是人类社会都确实存有简单的数学模式。幂次定律背后正反映临界状态的存在，而任何达到临界状态的系统，其细节并不重要，重要的是所有临界状态的系统都会有相同的运作方式，也就是幂次定律本身。处于临界状态的系统，只要系统裡某成员在正确的时机落在正确的位置上，就足以导致一次大规模的剧变，而这种剧变是不可预测的。在事前，你只能透过幂次定律知道发生某规模的剧变的机率，但总不能预知下次发生剧变的时间、地点及规模。因此，无论是地震、森林大火、股市价格、人口分佈、物种灭绝及战争本身等都是无法准确预测的。战争就是人类歷史中剧变的事例，而战争裡却存有幂次定律，亦即是

9、人类歷史这系统也存有临界状态。其实要导致一场战争的爆发，绝非一朝一夕的事，而是经过无数原因的长时间累积的结果。这些因素可以是政治的变革、国与国的矛盾、市民的压抑、民族的纷争等等，当这些因素在日积月累的压力下而又没有适当的减压措施，就会把社会或国家逐渐推向临界状态，只要这时候出现小小的导火线的话，战争将随时爆发，更可能一发不可收拾。事实上，第一次世界大战的爆发，就是因一名轿车司机转错了弯而驶入一条死巷，当时轿车上的乘客正时奥匈帝国的政治人物斐迪南大公，处身于死巷裡的斐迪南大公却成為塞尔维亚恐怖组织的猎杀目标，这次暗杀行动却引致欧洲政治结构的瓦解，也就是第一次世界大战的导火线。当然，我们不能把第一次世界大战的起因全都赖在这名轿车司机身上，首先欧洲政治体制本身因其他复杂的因素 (歷史学家到目前為止仍没有共识 而一早处于临界状态的边缘，而转错弯只是一个引爆点，真正引发战争的幕后黑手却是临界状态的不平衡结构。至于社会在何时会达至临界状态，这是没有客观的标准，因此战争的爆发是无法预测的。不少的歷史学家开始发现物理学家这种的临界思考很多时候都有助于他们分析歷史，因此出现了一门新兴的学派称為歷史物理学historical physics，就是把非平衡物理学的思考模式套用在歷史研究上。而这种歷史物理学更可应用在股市的分析、生态的平衡、人口的分佈以及地震的成因等。现在