轻绳连接体问题分类评析

1、轻绳连接体问题分类评析    一、绳端两连接体都静止类题 二、绳端两连接体一个静止,另一个运动类题 解答这类题时应注意,分析运动物体的受力情况和运动情况,分析静止物体的受力情况,及他们之间的联系. 图1 【例1】 如果在圆盘圆心处通过一个小孔把质量均为m的两物块用轻绳连接,如图1所示,问角速度在什么范围物块A会相对圆盘静止? 解析:物块A相对圆盘静止,可知绳子上的张力T=mg. 当最小时,A所受的静摩擦力背离圆心,即有: T-mg=mR?2?min? 解得:?min?=(1-)gR 当最大时,A所受的静摩擦力指向圆心,即有: T+mg=mR?2?max?

2、 解得:?max?=(1+)gR 所以的取值范围为(1-)gR(1+)gR. 图2 【例2】 如图2所示.一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a和b,跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上,质量为3?m的a球置于地面上,质量为m的b球从水平位置静止释放.当a球对地面压力刚好为零时,b球摆过的角度为.下列结论正确的是(). ?A.?=90?°? ?B?.=45?°? ?C?.b球摆动到最低点的过程中,重力对小球做功的功率先增大后减小 ?D?.b球摆动到最低点的过程中,重力对小球做功的功率一直增大 解析:由机械能守恒以及圆周运动的相关知识可求得:当a球对地面压力刚好为零时,b球摆

3、过的角度为90?°?.设b球的摆动半径为R,摆过角度时的速度为v,对b球由动能定理: mgR?sin?=12mv?2 此时重力的瞬时功率为:P=mgv?cos? 由得:P?2=2m?2g?3R?sin?cos?2 对于函数y=?sin?cos?2其一阶导数为: y=?cos?-3?sin?2?cos?=?cos?(1-3?sin?2) 0<<?arcsin?33 y>0 原函数单调递增. ?arcsin?33<<?2,y<0 原函数单调递减. 故当=?arcsin?33时,y取极大值.即b球摆动到最低点的过程中,重力对小球做功的功率先增大后减小.

4、二、绳端两连接体的速度大小相同,方向不同类题 该类问题的特点是:两连接体通过的位移(路程)、速率和加速度的大小保持一致.在整个运动过程中,连接体中各物体的受力特性保持不变. 图3 【例3】 如图3所示,一很长且不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮,绳两端各系质量分别为m和3?m的a、b两球,其中a球静置于地面,用手托住b球距离地面高度为h,此时轻绳刚好拉紧.从静止开始释放b球后,a球可能达到的最大高度为多少? 解析:在b落地前,a、b组成的系统机械能守恒,且两物体速度大小相等,根据机械能守恒定律可知:3mgh-mgh=12(m+3m)v?2,解得,v=Rg. b球落地时,a球上升的高度为也为h,之

5、后a球向上做竖直上抛运动,设上升的高度为h,该过程满足机械能守恒,则:12mv?2=mgh,解得:h=v?22g=h2. 图4 【例4】 如图4所示,在倾角=30?°?的光滑斜面上通过定滑轮用一根不可伸长的细绳连着质量均为m=10?kg?的两个物体A、B.开始时用手托着A,距离地面高度为h=?5?m?,?B位于斜面底端,撤去手后求: (1)A即将着地时A的动能? (2)物体B离开斜面底端的最远距离? 解析:A即将着地前,两物体速率保持一致,只有系统的重力做功,两者组成的系统满足机械能守恒,则m?Agh-m?Bgh?sin?=12m?Av?2+12m?Bv?2, 解得:v=gh(1-?

6、sin?)=5?m/s?,解得E?KA?=12m?Av?2=125?J?; A落地后,B以该速度沿斜面向上做匀减速直线运动,直至速度减小为0,该过程物体B与地球组成的系统满足机械能守恒,设沿斜面最终上升的距离为x,取地面为零势能面,则m?Bgh?sin?+12m?Bv?2=m?Bx?sin?,解得x=?7.5?m?.? 三、绳端两连接体的速度大小和方向都不相同类距 两个物体由于处在不同的约束环境下,运动状态不同,但作为连接两个物体的介质绳,能实现力和能量的传递,这也就使两个物体的运动状态彼此都会发生影响,这就使两个物体的速度存在一定的矢量关联,分解或者求解速度之间的约束关系就成为解决这类问题的

7、关键. 【例5】 如图5所示,物块M和m,用一不可伸长的轻绳通过定滑轮连接,m放在倾角=30?°?的固定光滑斜面上,M穿过竖直杆PQ沿杆无摩擦地下滑,且M=3?m.开始时将M抬高到A点,使细绳保持水平,此时OA段的绳长为L=4.0?m?,现将M由静止开始下滑,求当M下滑到B处时,此时距离A点间距为3.0?m?,求经过B时的速度? (g=10?m/s?2?) 图5 解析:M沿杆向下运动,m沿光滑斜面向上运动,组成的系统只有重力做功,满足机械能守恒,设到达B点时各自速度分别为v?m和v?M,则:E?K=-E?P,即12mv?2?m+12Mv?2?M=Mgh-mgl?sin?. 在B处M既

8、参与绕O点的圆周运动,同时又参与沿绳向外拉伸的运动,合运动表现为沿杆向下运动,由矢量分解可知:v?m=v?M?cos?,联立两式解得:v?M=3.85?m/s?. 图6  【例6】 如图6所示,汽车以速度v匀速行驶,当汽车到达图示位置时,绳子与水平方向的夹角是,此时物体M的上升速度大小为多少?(结果用v和表示) 解法一:速度分解法.物体M与右段绳子上升的速率相同,而右段绳子上升的速率与左段绳子在沿绳长方向运动的速率v?1是相等的.与车相连的端点的实际运动速度就是合速度,且与汽车速度v相同.分析左段绳子的运动可知,它其实同时参与了两个分运动,即沿绳长方向运动和绕滑轮边缘顺时针转动. 将

9、车速v分解为沿绳方向的速度v?1和垂直绳子方向的速度v?2,如图7所示.根据平行四边形定则可得v?1=v?cos?. 所以,物体M上升速度的大小为v=v?cos?. 解法二:位移微元法.如图8所示,假设端点N水平向左匀速移动微小位移s至N,此过程中左段绳子长度增大了s?1(过N向ON作垂线NP,因顶角很小,故OPON),即物体上升了s?1,显然,s?1=s?cos?. 图7_图8 由于v=s/t,(s很小、t很小),可得v?1=v?cos?. 所以,物体M上升速度的大小为v=v?cos?. 评析:有些同学认为只要将绳速v?1分解为水平向左的速度v和竖直向下的速度v?2,根据平行四边形定则易得绳

10、速v?1=v/?cos?.其实,这种解法的错误是一目了然的,难道汽车在向前运动的同时还在向地下钻吗?产生错误的主要原因是没有分清哪个是合运动、哪个是分运动,继而搞错了合运动、分运动的方向.错误的根本原因是混淆了运动的分解和力的分解. 图9 【例7】 如图9所示,一个半径为R的半球形的碗固定在桌面上,碗的内表面及碗口是光滑的,碗口水平,O点为其球心.一根轻质细线跨在碗口上,线的两端分别系有小球A和B,当它们处于平衡状态时,小球A与O点的连线与水平线的夹角为60?°?. (1)求小球A与小球B的质量比m?Am?B=? (2)辨析题:现将A球质量改为2m,B质量改为m,且开始时A球位于碗口

11、C点,由静止沿碗下滑,当A球滑到碗底时,求两球的速率为多大? 某同学解法如下:当A球滑到碗底时,A球下降的高度为R,B球上升的高度为2R,根据机械能守恒定律有: m?AgR-m?Bg2R=12m?Av?2?A+12m?Bv?2?B. 且v?A=v?B,代入数据,解上述两式即可求得两球的速率. 你认为上述分析是否正确?如果你认为正确,请完成此题;如果你认为不正确,请指出错误,并给出正确的解答. (3)在满足第(2)问中的条件下,求A球沿碗壁运动的最大位移是多少? 物理过程分析:球A在绳的拉力、碗壁弹力和自身重力的作用下沿碗壁做圆周运动,速度v?A始终沿切线方向,在任意时刻速度矢量分解和运动到特殊

12、点圆周底端时的速度矢量分解如图(甲)所示,则:v?B=v?A?sin?45?°?=22v?A; 当球A由圆周底端继续向上运动时,速度矢量分解如图(乙)所示,即球A、B之间速度在整个过程中彼此之间存在着一定的关联. 解析:(1)对A球,由平衡条件:2T?cos?30?°?=m?Ag; 对B球,由拉力与重力平衡得:T=m?Bg,联立解得:m?Am?B=31; (2)不正确.正确解答如下: A球在碗底时,v?Av?B,应将v?A沿绳和垂直于绳的方向分解,沿绳子方向的分速度即等于B球的速度v?B的大小.v?A速度矢量分解如图(甲)所示,即v?B=v?A?sin?45?°?=22v?A, 根据机械能守恒定律有:m?AgR-m?Bg2R=12m?Av?2?A+12m?Bv?2?B, m?AgR-m?Bg2R=12m?Av?2?A+12m?B(22v?A)?2, 可得:v?A=4(2-2)gR5,?v?B=2(2-2)gR5.? (3)球A经过碗底后继续上升,当速度减小为零时沿碗壁有最大位移,如图(乙)所示,此时A相对碗边缘的高度为h,则:hs=4R?2-s?22R. 由机械能守恒有:2mgh-mgs=0;联立以上两式可得:s=3R. 以绳为介质构成的连接体问题不仅在单一的重力场中出现.在电磁场中,两