量子力学,经典例题分析解答

1、1.方势阱中V(x)，x<0,x>a=v0，0<x<求一级近似粒子基态能量E(1)？0<x<a(0)*解：E(1)=H'nn=nH'nd(0)nx由n=sin(n=1)axE=sin(v0)d=2v0aaa2xvv2=0(dx2cosdx)=000a(1)2a20a20sin2xdxaE1=a*2.H1a2*解：a1E2*a30E20a2222a3a1,a2,a3<<1，用微扰法求一级二级即E(1),E(2)修正值？E3E1=0H00*0+a1*E3a2a10*a3a2+H'a3=H0E(1)=H'nn=H'

2、;11+H'22+H'33=0E1=m(2)H'mn2E(0)mEnmn)=(0)H'122E*2(0)12E2(2)+(0)H'132E(0)1E32(0)=a1*2EEEE2+a2*22同理得：E2=(2)a122EEEE+a3,E3=3a23EEEE3+a3222x,0<x<aa3.H'(x)=求基态能量n=1一级修正值？2(ax),<x<aa解：E（1）=H'nn=n=a0(0)*nx(0)H'nd,n=sin(n=1)aE（1）a222x2x2sin.xdx+asin2.(ax)dxaaaaaa2

3、4ax4=22sin2xdx+2a0aa4ax4=22sin2xdx+a0aa4a2x=2asina2aaa2asin2xax)dxax4ax2asin2xdxaa2a2sina24.线性谐振子t=0时处于归一化函数（x,0）=11110c+31（1x,0）2（x,0）（x,0）2323（x,0）所描述的状态中，n(x)为线性谐振子的第n个本征函数。求第三个激发态的能量E3；谐振子定态能量平均值；t>0时波函数？解：由归一化得c1=112317（1）En=(n+)E3=22=c2(2)=Fnnn=Encn=E0c1+E1c2+E2c3+E3c4=n2222256(3)由（r,t）=(r)

4、eiE=.4.一线性谐振子处在基态（x）=aa2x2i(t)求：22112ax2a2x2122（1）势能期望值=m=uxedx=x22421*12(2)动能的期望值=dx=(x)p(x)2m2m411或由E=+=E基态时E=2415.氢原子处在巨基态（r,）=a03er求：2a0（1）r的期望值，r=r(r,)d=4=3a0213a02re2r/a0r2sindrddr3e2r/a0dr=a02e2e2e2(2)势能=（=-3rra04e2=3a02re2r/a0rsindrddre2r/a0e2dr=a06.氢原子处在（r,）=1R21(r)Y1,0(,)R21(r)Y1,1(,)求氢原子能

5、量、角动量平22方、角动量Z分量可能值，这些可能值出现的概率？解：Zesuesu由n=2,En=2E=,由l=1,L2=l(l+1)2=222222n810133由m=0,m=1,Lzm=m=对应概率=4，其平均值z=×0×=344447.一体系未受扰时只有两个能级E01，E01受微扰H22时，微扰矩阵为H'12=H'21=a,H'11=H'22=b，用微扰求至二能修正即是E=E0+E1+E2？解：由微扰公式H'12En=H'nn,En=omn0mEnEm2得1E101=H'11=b,E02=H'22=bH&#

6、39;m1H'm1a2a222E01=,E02=E01E02E01E02mE01E0mmE02E0m能量二级修正值为：22a2a2E1=E01+b+,E2=E02+b+E01E02E01E028.自旋态（中，求1Sz）2Sx和Sy的不确定关系(Sx)2.(Sy)2=?解：1011i由（Sz）=,S=,S=10x210y2i12011*1（10)1Sz）态中：x=2Sx1=(=0,1002220101122222=21=(10)102100=4,(Sx)=xx=422224222222同理：y=0,y=(Sy)=yy=(Sx).(Sy)=44162x*12x1R21(r)Y11(,)和自旋角动量Z分量S求角动量Z分量L9.氢原子状态是=2zzR21(r)Y10(,)2期望值；总磁矩M？解：1013=R21(r)Y11(,)R21(r)Y10(,)2021=13R21(r)Y11(,)1(Sz)R21(r)Y10(,)1(Sz)222214=1×+3×0=(1)由m=1,m=0,Lz=m=，对应几率，Lz344