高等数学答案 曲面与曲线

1、习 题 641、一动点移动时，与及面等距离，求该动点的轨迹方程.解：设在给定的坐标系下，动点，所求的轨迹为，则 亦即 从而所求的轨迹方程为.2、 求下列各球面的方程：（1）圆心，半径为； （2）圆心在原点，且经过点；（3）一条直径的两端点是；（4）通过原点与解：（1）所求的球面方程为：（2）由已知，半径，所以球面方程为（3）由已知，球面的球心坐标，球的半径，所以球面方程为：（4）设所求的球面方程为：因该球面经过点，所以 解之得所求的球面方程为.3、求下列旋转曲面的方程：（1）将坐标面上的抛物线绕旋转一周所生成的旋转曲面；解：(旋转抛物面) .（2）将坐标面上的双曲线分别绕轴和轴旋转一周所生成的

2、旋转曲面解： 绕轴旋转得 绕轴旋转得.4、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？（1）；（2）（3）；（4）解：（1）平面上椭圆绕轴旋转而成；或者 平面上椭圆绕轴旋转而成（2）平面上的双曲线绕轴旋转而成；或者 平面上的双曲线绕轴旋转而成（3）平面上的双曲线绕轴旋转而成；或者 平面上的双曲线绕轴旋转而成（4）平面上的直线绕轴旋转而成或者 平面上的直线绕轴旋转而成.5、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面；（2）在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面；（3）在平面解析几何中表

3、示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面；（4）在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面.6、指出下列曲面的名称，并作图：（1）；（2）；（3） ；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.解： (1)椭圆柱面；(2) 抛物柱面；(3) 圆柱面；(4)球面；（5）圆锥面；（6）双曲抛物面；（7）椭圆抛物面；（8）双叶双曲面；（9）为旋转椭球面；（10）单叶双曲面.7、 画出下列各曲面所围立体的图形：（1）与三个坐标平面所围成；（2）及三坐标平面所围成；（3）及在第一卦限所围成；（4）所围.解：（1）平面与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体；（2）抛物柱面与平面

4、及三坐标平面所围成；（3）坐标面、及平面、和圆柱面在第一卦限所围成；（4）开口向上的旋转抛物面与开口向下的抛物面所围.作图略.8、画出下列曲线在第一卦限内的图形（1）；（2）；（3）解：（1）是平面与相交所得的一条直线；（2）上半球面与平面的交线为圆弧；（3）圆柱面与的交线.图形略.9、分别求母线平行于轴及轴而且通过曲线的柱面方程.解：消去坐标得，为母线平行于轴的柱面；消去坐标得：，为母线平行于轴的柱面.10、求在平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）.解：； .11、试求平面与椭球面相交所得椭圆的半轴与顶点.解：将椭圆方程化简为：，可知其为平面上的椭圆，半轴分别为，顶点分别为.12 、将下面曲线的一般方程化为参数方程（1）；（2）解：（1）原曲线方程即：，化为；（2）.13、指出下列方程所表示的曲线（1） （2）；（3）； （4）； （5）.解：（1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线； （4）抛物线； （5）双曲线.14、求螺旋线 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.解：；.15、 求曲线 在坐标面上的投影.解：（1）消去变量后得在面上的投影为它是中心在原点，半径为的圆周.（2）因为曲线在平面上，所以在面上的投影为线段.（3）同理在