高中数学圆锥曲线之抛物线的常见题型

1、一、抛物线定义的应用涉及到抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将其转化为点到准线的距离，反之也可以.【2012四川】已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则（ ）A、 B、 C、 D、解析： 【2014 成都三诊】已知过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，若线段的中点的横坐标为3，则线段的长度为（A）6 （B）8 （C）10 （D）12答案：B解析：根据抛物线定义来求解，设点的横坐标是，点的横坐标是，则随堂练习1、过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，则解析：，则2、在直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于两点

2、，其中点在轴上方，若直线的倾斜角为，则的面积为_.解析：联立和可解得二、抛物线标准方程【2013全国II】设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x答案：C解析：设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|x05，则x05.又点F的坐标为，所以以MF为直径的圆的方程为(xx0)(yy0)y0.将x0，y2代入得px084y00，即4y080，所以y04.由2px0，得，解之得p2，或p8.所以C的方程为y24x或y216x

3、.故选C.三、抛物线的几何性质【2014全国I】设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A, B两点，O为坐标原点，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】 D【解析】【2015成都三诊】如图，一隧道截面由一个长方形和抛物线构成. 现欲在隧道抛物线拱顶上安装信息采集装置. 若位置对隧道底的张角最大时，采集效果最好，则采集效果最好的为止到的距离是（A）（B）（C） （D）答案： A解析： 建立如图所示直角坐标系，并过点作的垂线，垂足为，易知抛物线的方程为，设，则，故当且仅当时，取最大值，故选.随堂练习：如图，正方形和正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过两

4、点，则解析：，代入可求得四、抛物线综合问题【2015 三诊】如图，在平面直角坐标系中，和分别是椭圆和椭圆上的动点，已知的焦距为2，点在直线上，且，又当动点在上的射影为焦点时，点恰在双曲线的渐近线上. （I）求椭圆的标准方程（II）若与共焦点，且的长轴与的短轴长度相等，求的取值范围（III）若是常数，且，证明为定值.解析：（I）双曲线的渐近线方程为，由题意知椭圆的半焦距，则又点的坐标为，且在渐近线上，故解之得椭圆的标准方程为（II）与共焦点，且的长轴与的短轴长度相等则，即的方程为当直线的斜率存在且不为零时，设为，则直线的解析式为，直线的解析式为分别联立所在的椭圆解析式可得：又，当且仅当时取等号.当直线的斜率为零或者不存在时，有综上，的取值范围是（III）当直线的斜率存在且不为零时，设为所以由（II）可得，当是常数时，为定值易知当直线的斜率不存在或者为零时，上述结论也成立.【2015全国I】在直角坐标系中，曲线直线交与两点（）当时，分别求在点和处的切线方程；（）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由。解析：（）当时，直线，故两点的坐标分别为或者又，所以曲线