高中数学直线和圆知识点总结

1、直线和圆一直线1斜率与倾斜角：，（1）时，；（2）时，不存在；（3）时，（4）当倾斜角从增加到时，斜率从增加到；当倾斜角从增加到时，斜率从增加到2直线方程（1）点斜式：（2）斜截式：（3）两点式：（4）截距式：（5）一般式：3距离公式（1）点，之间的距离：（2）点到直线的距离：（3）平行线间的距离：与的距离：4位置关系（1）截距式：形式重合： 相交：平行： 垂直：（2）一般式：形式重合：且且平行：且且垂直： 相交：5直线系表示过两直线和交点的所有直线方程（不含）二圆1圆的方程（1）标准形式：（）（2）一般式：（）（3）参数方程：（是参数）【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角

2、函数问题去解决.（4）以,为直径的圆的方程是：2位置关系（1）点和圆的位置关系：当时，点在圆内部当时，点在圆上当时，点在圆外（2）直线和圆的位置关系：判断圆心到直线的距离与半径的大小关系当时，直线和圆相交（有两个交点）；当时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）；当时，直线和圆相离（无交点）； 判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系(2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用判断(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交3圆和圆的位置关系判断圆心距与两圆半径之和，半径之差（）的大小关系当时，两圆相离，有4条公切线；当时，两

3、圆外切，有3条公切线；当时，两圆相交，有2条公切线；当时，两圆内切，有1条公切线；当时，两圆内含，没有公切线；4当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减5弦长公式：例1若圆x2y21与直线ykx2没有公共点，则实数k的取值范围是_解析：由题意知 1，解得k.答案：(， )例2已知两圆C1：x2y22x10y240，C2：x2y22x2y80，则两圆公共弦所在的直线方程是_解析：两圆相减即得x2y40.答案：x2y40例3设直线xmy10与圆(x1)2(y2)24相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则实数m的值是_解析：由题意得，圆心(1,2)到直线xmy10的距离d1，即1，解得m

4、77;.答案：±例4若a，b，c是直角三角形ABC三边的长(c为斜边)，则圆C：x2y24被直线l：axbyc0所截得的弦长为_解析：由题意可知圆C：x2y24被直线l：axbyc0所截得的弦长为2 ，由于a2b2c2，所以所求弦长为2.答案：2例5已知M：x2(y2)21，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切M于A，B两点(1)若|AB|，求|MQ|及直线MQ的方程；(2)求证：直线AB恒过定点解：(1)设直线MQ交AB于点P，则|AP|，又|AM|1，APMQ，AMAQ，得|MP| ，又|MQ|，|MQ|3.设Q(x,0)，而点M(0,2)，由3，得x±，则Q点的坐标为(

5、，0)或(，0)从而直线MQ的方程为2xy20或2xy20.(2)证明：设点Q(q,0)，由几何性质，可知A，B两点在以QM为直径的圆上，此圆的方程为x(xq)y(y2)0，而线段AB是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB的方程为qx2y30，所以直线AB恒过定点.例6过点(1，2)的直线l被圆x2y22x2y10截得的弦长为 ，则直线l的斜率为_解析：将圆的方程化成标准方程为(x1)2(y1)21，其圆心为(1,1)，半径r1.由弦长为得弦心距为. 设直线方程为y2k(x1)，即kxyk20，则，化简得7k224k170，得k1或k.答案：1或例7圆x22xy230的圆心到直线xy30的距离为

6、_解析：圆心(1,0)，d1.答案：1例8圆心在原点且与直线xy20相切的圆的方程为_解析：设圆的方程为x2y2a2(a0)a，a，x2y22.答案：x2y22例9已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为_圆C的方程为x2y2DxF0，则解得圆C的方程为x2y24x60.答案(1)C(2)x2y24x60例10 (1)与曲线C：x2y22x2y0相内切，同时又与直线l：y2x相切的半径最小的圆的半径是_ (2)已知实数x，y满足(x2)2(y1)21则2xy的最大值为_，最小值为_解析：(1)依题意，曲线C表示的是以点C(1，1)为圆心，为半径的圆，圆心C(1，

7、1)到直线y2x即xy20的距离等于2，易知所求圆的半径等于.(2)令b2xy，则b为直线2xyb在y轴上的截距的相反数，当直线2xyb与圆相切时，b取得最值由1.解得b5±，所以2xy的最大值为5，最小值为5.答案：(1)(2)55例11已知x，y满足x2y21，则的最小值为_解析：表示圆上的点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率，所以的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率设直线PQ的方程为y2k(x1)即kxy2k0.由1得k，结合图形可知，故最小值为.答案：例12已知两点A(2,0)，B(0,2)，点C是圆x2y22x0上任意一点，则ABC面积的最小值是_解析：lAB：xy20，

8、圆心(1,0)到l的距离d，则AB边上的高的最小值为1.故ABC面积的最小值是×2×3.答案：3例13平面直角坐标系xoy中，直线截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，）和（n，），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由 解： 因为点到直线的距离为， 所以圆的半径为， 故圆的方程为 设直线的方程为，即， 由直线与圆相切，得，即， ， 当且仅当时取等号，此时直线的方程

9、为 设，则， 直线与轴交点， 直线与轴交点， ， 故为定值2 例14圆x2+y2=8内一点P（1，2），过点P的直线l的倾斜角为，直线l交圆于A、B两点. （1）当=时,求AB的长； （2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程. 解:（1）当=时，kAB=1，直线AB的方程为y2=（x+1），即xy1=0.故圆心（0，0）到AB的距离d=，从而弦长|AB|=2=. （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=4. 由 两式相减得（x1+x2）（x1x2）+（y1+y2）（y1y2）=0， 即2（x1x2）+4（y1y2）=0， kAB=. 直线l的方程为y2=（x

10、1），即x2y5=0.例15已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:xy+10=0上. (1)若动圆C过点(5,0),求圆C的方程;(2)是否存在正实数r,使得动圆C中满足与圆O:x2+y2=r2相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.解: (1)依题意,可设动圆C的方程为(xa)2+(yb)2=25,其中圆心(a,b)满足ab+10=0. 又动圆过点(5,0),(5a)2+(0b)2=25. 解方程组, 可得或, 故所求圆C的方程为(x+10)2+y2=25或(x+5)2+(y5)2=25. (2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d=5. 当r满足r+5d时，动圆C中不存在与圆O：x2+y2=r2相外切的圆； 当r满足r+5d时，r每取一个数值，动圆C中存在两个圆与圆O：x2+y2=r2相外切； 当r满足r+5=d,即r=55时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x2+y2=r2相外切.题目1自点作圆的切线，则切线的方程为 2求与圆外切于点，且半径为的圆的方程.3若点P在直线l1：xy30上，过点P的直线l2与曲线C：(x5)2y216相切于点M，则PM的最小值 4设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足·=0.（1）求m的值；（2）求直线PQ的方程.5已知圆C：