无限冲激响应滤波器的频率变换设计法

1、无限冲激响应滤波器的频率变换设计法无限冲激响应滤波器的频率变换设计法1 1、方法、方法 对于模拟滤波器对于模拟滤波器, ,已经形成了许多成熟的设计方案，如巴特沃什滤波器已经形成了许多成熟的设计方案，如巴特沃什滤波器, ,切比雪切比雪夫滤波器夫滤波器, ,椭圆滤波器椭圆滤波器, ,每种滤波器都有自己的一套准确的计算公式，同时，也已制每种滤波器都有自己的一套准确的计算公式，同时，也已制备了大量归一化的设计表格和曲线，为滤波器的设计和计算提供了许多方便，因此备了大量归一化的设计表格和曲线，为滤波器的设计和计算提供了许多方便，因此在模拟滤波器的设计中，只要掌握原型变换，就可以通过归一化低通原型的参数，

2、在模拟滤波器的设计中，只要掌握原型变换，就可以通过归一化低通原型的参数，去设计各种实际的低通、高通、带通或带阻滤波器。这一套成熟、有效的设计方法去设计各种实际的低通、高通、带通或带阻滤波器。这一套成熟、有效的设计方法，也可通过前面所讨论的各种变换应用于数字滤波器的设计，具体过程如下：，也可通过前面所讨论的各种变换应用于数字滤波器的设计，具体过程如下： 原型变换原型变换 映射变换映射变换 原型变换原型变换 在设计在设计HPHP和和BSBS时，不能用脉冲响应不变法。时，不能用脉冲响应不变法。模拟原型模拟低通、高通带通、带阻数字低通、高通带通、带阻模拟原型数字低通数字低通、高通带通、带阻也可把前两步

3、合并成一步，直接从模拟低通归一化原型通过一定的频率变换也可把前两步合并成一步，直接从模拟低通归一化原型通过一定的频率变换关系，完成各类数字滤波器的设计关系，完成各类数字滤波器的设计、数字频率变换、数字频率变换 为便于区分变换前后两个不同的为便于区分变换前后两个不同的Z Z平面，我们把平面，我们把变换前的变换前的 Z Z平面定义为平面定义为u u平面，并将这一映射关系用平面，并将这一映射关系用一个函数一个函数g g表示：表示：)(11zgu平面平面zuZHzHzgup)()()(11于是，于是，DFDF的原型变换可表为：的原型变换可表为：)(11)()(zgupuHzH)(1zg)(1zg1z)

4、(1zgjjee 和2 2）希望变换以后的传递函数保持稳定性不变，因此要求）希望变换以后的传递函数保持稳定性不变，因此要求 u u的单位圆内部必须对应于的单位圆内部必须对应于z z的单位圆内部。的单位圆内部。3 3） 必须是全通函数。必须是全通函数。 为使两个函数的频响满足一定的变换要求，为使两个函数的频响满足一定的变换要求，Z Z的单位的单位圆应映射到圆应映射到u u的单位圆上，若以的单位圆上，若以 分别表示分别表示u u平面平面和和Z Z平面的单位圆，则平面的单位圆，则函数函数 的特性：的特性：1) 1) 是是 的有理函数。的有理函数。)(jjjjeegege )(jeg1jeg 且必有且

5、必有 ，其中，其中 是是 的相位函数，的相位函数， 即函数在单位圆上的幅度必须恒为即函数在单位圆上的幅度必须恒为1 1，称为全通函数。，称为全通函数。全通函数的基本特性：全通函数的基本特性：Niiizzzg11*111)(任何全通函数都可以表示为：任何全通函数都可以表示为：为了使系统稳定，式中为了使系统稳定，式中|a|ai i|1| HP 。)( zH b. 高通变换高通变换）（21jjjeee或或, 00LP-HP变换把变换把cc如图如图2（a），）， 在上述在上述LP-LP 变换中，将变换中，将 Z代以代以Z , 得得 LP - HP变换关系：变换关系：）（11111111zzzzu 原型

6、低通的截止频率原型低通的截止频率 对应于高通的边界频率对应于高通的边界频率 ，欲将，欲将 变换到变换到 ，由（，由（2）式，）式， 有：有： （2） 式的式的 频率关系，如图频率关系，如图2(b)2(b)中的曲线中的曲线（实线）（实线） cccccccccccjjjjjjeeeeee1,12cos2coscccc:确定 LP - Hp变换变换图图2 (a) LP Hp变换变换cc00 LP-BP LP-BP变换把带通的中心频率变换把带通的中心频率 故故 N=2。 由以上分析得变换关系：由以上分析得变换关系： 或或 00c2c1) 1 (1)(1122211211zrzrrzrzzgu) 2(1

7、122212jjjjjererreree00000,0时，如图3(a), 1)1(,0g，时全通函数取负号。LP-BP变换变换图图3 (a) LP-BP变换变换102cc00 1122221111122212122212jjjjjjjjjjererrereeererrereecc把变换关系把变换关系 代入（代入（2 2）式得）式得 ：消去消去 r1，得：，得：令令cc21,)()()()(1212121222111122)()(2jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjeeeeeeeeeeeeeeeeeeeercccccc2)2(12ctgtgk确定确定r1, r2 ：可证明，可证明， 其中其

8、中 r1,r2代入（代入（2）式，则可确定频率变换关系，如图）式，则可确定频率变换关系，如图3（b）。）。112kkr121kkr)2cos()2cos(1212LP-BP频率关系频率关系 LPBS 如图如图4(a), LPBS变换把带阻的中心频率变换把带阻的中心频率 的变化范围为的变化范围为 ,故故 N=2, 又又 g(1)=1, 所以，全通函数取正号所以，全通函数取正号。由以上分析得变换关系：。由以上分析得变换关系： （1） 或或 （2）0000000，21)(1122211211zrzrrzrzzgu1122212jjjjjererrereeLP-BS变换变换图图4 (a) LP-BS变

9、换变换201cc)(jeH00确定确定r1, r2 ： 把变换关系把变换关系 代入（代入（2 2）式得）式得 ： 其中其中 ， r1, r2代入（代入（2）式，得图）式，得图4（b）,此频率变换关系与前面的分析相吻合。此频率变换关系与前面的分析相吻合。2212ctgtgk121krkkr1122cos2cos1212cc21,LP-B S频率变换关系频率变换关系 LP-BS变换的又一种实现方法变换的又一种实现方法: 由低通到带阻的变换同样可以通过旋转变换由低通到带阻的变换同样可以通过旋转变换来完成来完成,但变换的次序与模拟低通到数字带阻的次但变换的次序与模拟低通到数字带阻的次序不同序不同,是先由低通到高通是先由低通到高通(低阻低阻),再利用再利用3.4.3的方的方式由低阻到带阻式由低阻到带阻,即即 其中其中 的求取可利用低通到高通公式的求