理论力学第7章(点的合成运动)

1、理论力学1理论力学2第七章第七章 点的合成运动点的合成运动 点和刚体相对一个定参考系的运动。 点的运动在直角坐标和弧坐标描述； 刚体简单运动为：平动和定轴转动。 物体相对于不同参考系的运动是不相同的。运动的分解与合成运动的分解与合成： 研究物体相对于不同参考系的运动，分析物体相对于不同参考系运动之间的关系，称为复杂运动或合成运动。 本章分析点的合成运动。分析运动中某一瞬时点的速度合成和加速度合成的规律。理论力学3点点的运动对于不同的参考系是不同的1) 图示沿直线轨道滚动的车轮，其轮缘上点的运动。CxOyOxyM对地面上的观察者：点的轨迹是旋轮线对车上的观察者：点的轨迹则是一个圆。7-1 点的合

2、成运动概念点的合成运动概念理论力学42)图示桥式吊车，卷扬小车A边垂直起吊重物边行走。 重物作曲线运动随小车一起运动的观察者：重物在在垂直方向作直线运动地面观察者：AMMOxy理论力学5车轮上点：对于地面，沿旋轮线运动；以车厢为参考体，点对于车厢的运动是简单的圆周运动；车厢对于地面的运动是简单平动。点的运动就可以看成两个简单运动的合成.即点相对于车厢作圆周运动;同时车厢对地面作平动.CxOyOxyM合成运动：合成运动：相对某一参考体的运动可由相对于其它参考体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动观察发现：观察发现： 点在一个参考体中的运动可以由几个运动组合而成。理论力学6三种运动三种运动 （

3、1）动点相对于静参考系的运动称为绝对运动 （2）动点相对于动参考系的运动称为相对运动 （3）动参考系相对于静参考系的运动称为牵连运动两个参考系：两个参考系： 一般把固定在地球上的坐标系称为静参考系； 用 Oxyz表示；zyxO固定在相对地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系；用 表示。动点：动点：要研究的点一个动点；两个坐标系；三种运动一个动点；两个坐标系；三种运动理论力学7上例：车轮上点为动点，在车厢看到点作圆周运动是动点的相对运动，在地面上看到点的运动是旋轮线，是动点的绝对运动。车对地面作平动，是牵连运动CxOyOxyM绝对运动绝对运动和和相对运动相对运动是指是指点的运动。点的运动。牵连运

4、动牵连运动是指是指参考体的运动。参考体的运动。刚体的运动：可能是平动，刚体的运动：可能是平动，转动或复杂运动转动或复杂运动理论力学8动点相对于动参考系运动的轨迹、速度、加速度称为相对轨迹、相对速度和相对加速度动点相对于静参考系运动的轨迹、速度、加速度称为绝对轨迹、绝对速度和绝对加速度动点的牵连速度、牵连加速度指某瞬时动参考系上与动点重合点的速度和加速度rrav,aaav,eeav,符号：符号： 动点的相对速度和相对加速度动点的绝对速度和绝对加速度动点的牵连速度、牵连加速度relativeembroil absolute理论力学9动动 点点静静 系系动动 系系绝对运动绝对运动相对运动相对运动绝对

5、速度绝对速度 绝对加速度绝对加速度avaa相对速度相对速度 相对加速度相对加速度rvra点的运动点的运动固结于地面上的坐标系固结于地面上的坐标系固结于相对于地面固结于相对于地面运动物体上的坐标系运动物体上的坐标系绝对轨迹绝对轨迹相对轨迹相对轨迹牵连运动牵连运动动系相对于静系的运动动系相对于静系的运动刚体运动刚体运动理论力学10动动 点点动动 系系不同瞬时，动点在不同瞬时，动点在动系中的位置不同。动系中的位置不同。牵连点牵连点设想该瞬时将该动点固结在动系上，而随着动系一起设想该瞬时将该动点固结在动系上，而随着动系一起运动所具有的速度和加速度。即受动参考系这个刚体运动所具有的速度和加速度。即受动参

6、考系这个刚体的的拖带拖带或或牵连牵连而产生的速度和加速度。而产生的速度和加速度。相对运动相对运动牵连点是牵连点是动系上的点，动系上的点，不同瞬时牵连点不同！不同瞬时牵连点不同！在某瞬时，动系中在某瞬时，动系中与动点相重合的点。与动点相重合的点。牵连点对静系的速度和加速度分别称为牵连点对静系的速度和加速度分别称为 的的牵连速度牵连速度 与与牵连加速度牵连加速度 。evea动点动点理论力学11动点：动点： AB杆上杆上A点点动系：固结于凸轮上动系：固结于凸轮上静系：固结在地面上静系：固结在地面上凸轮顶杆机构凸轮顶杆机构理论力学12绝对运动：铅直绝对运动：铅直运动运动相对运动：曲相对运动：曲线线(圆

7、弧圆弧)运动运动牵连运动：凸轮牵连运动：凸轮直线平移直线平移理论力学13av绝对速度绝对速度 ：相对速度相对速度 ：rv牵连速度牵连速度 ：ev理论力学14绝对加速度：绝对加速度：相对加速度：相对加速度：牵连加速度：牵连加速度：aaeara理论力学15绝对运动：曲线（圆周）绝对运动：曲线（圆周）相对运动：直线相对运动：直线牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动圆轮摇杆机构圆轮摇杆机构动点：动点：A（在圆盘上（在圆盘上) )动系：动系：OA摆杆摆杆静系：机架静系：机架理论力学16摇杆滑道机构摇杆滑道机构绝对运动：点绝对运动：点A的水平直线运动；的水平直线运动；相对运动：点相对运动：点A沿沿OB轴线

8、的运动；轴线的运动；牵连运动：牵连运动： OB杆的定轴转动。杆的定轴转动。动点动点:销子销子A (CD上上); 动系动系: 固结于固结于OB。理论力学17曲柄滑块机构曲柄滑块机构动点动点:O1A上上A点点; 动系动系:固结于固结于BCD上。上。绝对运动：圆周运动绝对运动：圆周运动;相对运动：直线运动相对运动：直线运动;牵连运动：牵连运动： BCD平移平移动点动点: BCD上的套筒上的套筒F点点; 动系动系:固结于固结于O2E上。上。绝对运动：直线运动；绝对运动：直线运动；相对运动：直线运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。牵连运动：定轴转动。再选再选理论力学18建立动点的绝对速度，相对

9、速度和牵连速度之间的关系。建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度之间的关系。1MMMM1MM当t t+t AB AB M M也可看成M M MMM 为绝对轨迹MM 为绝对位移M1M 为相对轨迹M1M 为相对位移t将上式两边同除以后，0t时的极限，得取一、证明一、证明11000limlimlimtttM MM MM Mttt 7-2 点的速度合成定理点的速度合成定理reavvv理论力学19说明：说明：va动点的绝对速度；动点的绝对速度；vr动点的相对速度；动点的相对速度；ve动点的牵连速度，是动系上一点动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点牵连点)的速度的速度动系作平移时，动系上各点速度都相等动系

10、作平移时，动系上各点速度都相等;动系作转动时，动系作转动时，ve必须是该瞬时动系上与必须是该瞬时动系上与 动点相重合点的速度。动点相重合点的速度。 即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。矢量和，这就是点的速度合成定理。reavvv理论力学20求解合成运动的速度问题的求解合成运动的速度问题的一般步骤一般步骤为：为：选取动点，动系和静系；选取动点，动系和静系；三种运动的分析；三种运动的分析；三种速度的分析；三种速度的分析；根据速度合成定理根据速度合成定理 作出速度平行四边形。作出速度平行四边形。 根据

11、速度平行四边形，求出未知量。根据速度平行四边形，求出未知量。恰当地选择动点、动系是求解合成运动问题的关键。恰当地选择动点、动系是求解合成运动问题的关键。aervvv理论力学21动点、动系的选择原则动点、动系的选择原则动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体，否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动。动点不能是动系上的点。能成为合成运动。动点不能是动系上的点。动点相对动系的相对运动轨迹要易于直观判断。动点相对动系的相对运动轨迹要易于直观判断。 （已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）

12、（已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）理论力学22点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小方向方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。二、应用举例二、应用举例例例 桥式吊车桥式吊车 已知：小已知：小车水平运行，速度为车水平运行，速度为v平平，物块物块A相对小车垂直上升相对小车垂直上升的速度为的速度为v 。求物块。求物块A的的运行速度。运行速度。理论力学23作出速度平四边形如图示，则物块的速度大小和方向为作出速度平四边形如图示，则物块的速度大小和方向为222 vvvvvvreaA2平平vv

13、1tg解：选取动点解：选取动点: 物块物块A动系动系: 小车小车静系静系: 地面地面相对运动相对运动: 直线直线;相对速度相对速度vr =v 方向方向牵连运动牵连运动: 平动平动; 牵连速度牵连速度ve=v平平 方向方向绝对运动绝对运动: 曲线曲线;绝对速度绝对速度va 的大小的大小,方向待求。方向待求。由速度合成定理：由速度合成定理：reavvv理论力学24解：取解：取OA杆上杆上A点为动点，摆杆点为动点，摆杆O1B 为动系，为动系， 基座为静系。基座为静系。绝对速度绝对速度 va = r ，方向，方向 OA相对速度相对速度 vr = ? ，方向方向/O1B牵连速度牵连速度 ve = ? ，

14、方向方向 O1B222221111222222221,sin,sinlrrlrrlrAOvAOvlrrvvlrreeae又（ ）例例 曲柄摆杆机构。已知：曲柄摆杆机构。已知：OA= r , , OO1=l。图示瞬时。图示瞬时OA OO1 求：摆杆求：摆杆O1B角速度角速度 1由速度合成定理由速度合成定理 va= vr+ ve 作出速度平行四边形作出速度平行四边形 如图示。如图示。理论力学25由速度合成定理由速度合成定理 va= vr+ ve ，作出速度平行四边形作出速度平行四边形 如图示。如图示。解：动点取直杆上解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘，点，动系固结于圆盘， 静系固结于基座。静系固

15、结于基座。 绝对速度绝对速度 va = ? 待求，方向待求，方向/AB 相对速度相对速度 vr = ? 未知，未知，方向方向 CA 牵连速度牵连速度 ve =OA=2e , 方向方向 OA)(332 332300evetgvvABea例例3 圆盘凸轮机构圆盘凸轮机构已知：已知：OCe , , （匀角速度）（匀角速度）图示瞬时图示瞬时, OC CA 且且 O、A、B三点共线。三点共线。求：从动杆求：从动杆AB的速度。的速度。eR3理论力学26动点：动点：AB杆上的杆上的A点点 动系：偏心轮动系：偏心轮绝对运动：直线绝对运动：直线相对运动：圆周（曲线）相对运动：圆周（曲线）牵连运动：定轴转动牵连运

16、动：定轴转动理论力学27理论力学28动动 点点静静 系系动动 系系绝对运动绝对运动相对运动相对运动绝对速度绝对速度 绝对加速度绝对加速度avaa相对速度相对速度 相对加速度相对加速度rvra点的运动点的运动固结于地面上的坐标系固结于地面上的坐标系固结于相对于地面固结于相对于地面运动物体上的坐标系运动物体上的坐标系绝对轨迹绝对轨迹相对轨迹相对轨迹牵连运动牵连运动动系相对于静系的运动动系相对于静系的运动刚体运动刚体运动理论力学29动动 点点动动 系系不同瞬时，动点在不同瞬时，动点在动系中的位置不同。动系中的位置不同。牵连点牵连点相对运动相对运动牵连点是牵连点是动系上的点，动系上的点，不同瞬时牵连点

17、不同！不同瞬时牵连点不同！在某瞬时，动系中在某瞬时，动系中与动点相重合的点。与动点相重合的点。牵连点对静系的速度和加速度分别称为牵连点对静系的速度和加速度分别称为 的的牵连速度牵连速度 与与牵连加速度牵连加速度 evea动点动点理论力学30说明：说明：va动点的绝对速度；动点的绝对速度；vr动点的相对速度；动点的相对速度；ve动点的牵连速度，是动系上一点动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点牵连点)的速度的速度动系作平移时，动系上各点速度都相等动系作平移时，动系上各点速度都相等;动系作转动时，动系作转动时，ve必须是该瞬时动系上与必须是该瞬时动系上与 动点相重合点的速度。动点相重合点的速度。 即

18、在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。矢量和，这就是点的速度合成定理。reavvv理论力学31动点、动系的选择原则动点、动系的选择原则动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体，否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动。动点不能是动系上的点。能成为合成运动。动点不能是动系上的点。动点相对动系的相对运动轨迹要易于直观判断。动点相对动系的相对运动轨迹要易于直观判断。 （已知绝对运动和牵连运动求解相对运

19、动的问题除外）（已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）理论力学32reavvv由于由于牵连运动为平动，牵连运动为平动，故故由速度合成定理由速度合成定理 , OeOeaavvddddddxyzvijktttr ddddddaOxyzvvijkttt对对t求导求导222222ddddddddddaOavvxyzaijkttttt 设有一动点设有一动点M按一定规律沿着固连于动系按一定规律沿着固连于动系Oxyz 的曲线的曲线AB运动运动, 而曲线而曲线AB同时又随同动系同时又随同动系Oxyz 相对静系相对静系Oxyz平移。平移。7-3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速

20、度合成定理理论力学33ddd0,0,0dddiyzttt(其中其中为动系坐标的单位矢量，因为动系为平动，故它为动系坐标的单位矢量，因为动系为平动，故它们的方向不变，是常矢量，所以们的方向不变，是常矢量，所以 ）, , kjireaaaa 牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。牵连加速度与相对加速度的矢量和。222222dddd,ddddOOervxyzaaaijktttt又 naaa nnnaaeerraaaaaa一般式可写为：理论力学34加速度求解步骤加速度求解步骤 1. 取动点，动系 2.分析三种运动 3. 速度分析 4.加速度分析理论力学35解：取杆上的解：取杆上的A点为动点，点为动点， 动系与凸轮固连。动系与凸轮固连。例例 已知：凸轮半径已知：凸轮半径 求：求： =60o时时, 顶杆顶杆AB的加速度。的加速度。ooavR,理论力学36由速度合成定理由速度合成定理,reavvv做出速度平行四边形做出速度平行四边形,如图示。如图示。003260sinsinvvvvoer绝对速度绝对速