建筑力学(组合变形)

1、1 1 组合变形概念和工程实例组合变形概念和工程实例2 2 斜弯曲斜弯曲3 3 轴向拉轴向拉( (压压) )与弯曲组合与弯曲组合 偏心拉压偏心拉压4 4 截面核心截面核心5 5 弯扭组合变形弯扭组合变形第九章第九章 组合变形组合变形 构件同时发生构件同时发生两种或两种以上两种或两种以上的基本变形，如的基本变形，如几种变形所对应的应力（或变形）属同一量级，称几种变形所对应的应力（或变形）属同一量级，称为为组合变形组合变形 9-1 组合变形概念和工程实例组合变形概念和工程实例工程实例工程实例: : 烟囱，传动轴烟囱，传动轴 吊车梁的立柱吊车梁的立柱 烟囱：自重烟囱：自重引起轴向轴向压缩压缩 + +

2、 水平方向的风力而引起水平方向的风力而引起弯曲弯曲； 传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲弯曲 + + 扭转扭转 立柱：荷载不过轴线，为偏心压缩立柱：荷载不过轴线，为偏心压缩 = = 轴向压缩轴向压缩 + + 纯弯曲纯弯曲一、组合变形概念一、组合变形概念二、组合变形的研究方法二、组合变形的研究方法 叠加原理叠加原理外力分解和简化外力分解和简化内力分析内力分析确定危险面。确定危险面。危险面上的应力分布，危险面上的应力分布， 建立危险点的强度条件。建立危险点的强度条件。 求解步骤求解步骤9-2 斜斜 弯弯 曲曲 平面弯曲：平面弯曲：横向力通过弯曲中心，与一个形心

3、主惯性轴横向力通过弯曲中心，与一个形心主惯性轴 方向平行方向平行, ,挠曲线在纵向对称面内挠曲线在纵向对称面内。 斜弯曲：斜弯曲： 横向力通过弯曲中心，但不与形心主惯性轴平行横向力通过弯曲中心，但不与形心主惯性轴平行 挠曲线不位于外力所在的纵向平面内挠曲线不位于外力所在的纵向平面内一、斜弯曲的概念一、斜弯曲的概念FzxxFzxx1 1、荷载的分解、荷载的分解FcosFFysinFFz2 2、任意横截面任意点的、任意横截面任意点的“”（1 1）内力：）内力：xFxFxMyzcos)(xFxFxMzysin)(（2 2）应力：）应力：zkzMkIyMzkykyMkIzMy（应力的（应力的 “ “”

4、、“” ” 由变形判断）由变形判断）FyzxyzyFzFxF二、斜弯曲的计算二、斜弯曲的计算在 Mz 作用下：在 My 作用下：（3 3）叠加：）叠加：ykyzkzMkMkkIzMIyMyzyzzMyzyMkyzyFzFF正应力的分布正应力的分布危险截面危险截面固定端固定端,maxlFMyzlFMzymax危险点危险点“b b”点为最大拉应力点，点为最大拉应力点，“d d”点为最大压应力点。点为最大压应力点。yyzzyyzzctWMWMIzMIyMmaxmaxmaxmaxmaxmaxmaxmax强度条件（简单应力状态）强度条件（简单应力状态） maxFyzxxyzabcdyzyMabcd3 3

5、、强度计算、强度计算4 4、刚度计算、刚度计算 ffmax,33maxzyyEILFfyzsyFszFFzyyzywzww232322max)3()3(yzzyzyEILFEILFfffyzzEILFf33maxtantanyzyzyzyzIIFIIFffmNqqz/358447. 0800sin解解：1、外力分解mNqqy/714894. 0800cosNmLqMyz97283 . 3714822maxNmLqMzy48783 . 3358822maxLqAB2、强度计算例例 ：矩形截面木檩条如图，跨长矩形截面木檩条如图，跨长L=3.3m,受集度为受集度为 q=800N/m 的均布力作用，的

6、均布力作用， =12MPa，容许挠度为：，容许挠度为：L/200 ，E=9GPa，试校核此梁的强度和刚度。试校核此梁的强度和刚度。z =2634qb=80mmh=120mmyz =2634qyyyzzWMWMmax3、刚度计算yzzEILqf38454max)(02.1663.1099.11222max2maxmaxmmwwfyz33380120121109384103585zyyEILqf38454max33312080121109384107145)(63.10mm)(99.11mm2323801206110487120806110972 )(86. 8MPa )(5 .16200103

7、. 3)(02.163maxmmwmmf63.1099.11tanyzffo44.48wzfyf例例 图示悬臂梁，承受载荷图示悬臂梁，承受载荷F1与与F2作用，已知作用，已知F1=800N，F2=1.6kN，l=1m，许用应力，许用应力=160MPa。试分别按下列要求确定截面尺寸：。试分别按下列要求确定截面尺寸：(1) (1) 截面为矩形，截面为矩形，h=2b；(2) (2) 截面为圆形。截面为圆形。 解：解：（1） 矩形截面：矩形截面： （2）、圆截面、圆截面对于无棱角的截面如何进行强度计算对于无棱角的截面如何进行强度计算1 1、首先确定中性轴的位置；、首先确定中性轴的位置；FABL中性轴中

8、性轴 z y令 z0、y0 代表中性轴上任意点的坐标000yyzzIzMIyMykyzkzMkMkkIzMIyMyzkFFFyz 2 2、找出危险点的位置（离中性轴最远的点）；、找出危险点的位置（离中性轴最远的点）；3 3、最后进行强度计算。、最后进行强度计算。ab一、拉一、拉( (压压) )弯组合变形的计算弯组合变形的计算1、荷载的分解FcosFFxsinFFy2、任意横截面任意点的“”yzkcos)(FFxFxN（1 1）内力）内力：xFxFxMyzsin)(（2 2）应力：）应力：AxFNFkN)(zkzMkIyxMz)(zxxyFFxFy93 轴向拉轴向拉(压压)与弯曲组合与弯曲组合

9、偏心拉压偏心拉压YZZY在在 Mz 作用下：作用下：在在 FN 作用下：作用下：（3 3）叠加：）叠加：zNMkFkkAxFNFkN)(zkzMkIyxMz)(危险截面危险截面固定端固定端危险点危险点“ab”边各点有最大的拉应力，边各点有最大的拉应力， “ “cdcd”边各点有最大的压应力（或最小拉应力）。边各点有最大的压应力（或最小拉应力）。cosFFNlFMzsinmaxZYacYZAFWMNzztmaxmaxAFWMNzzcmaxmax强度条件（简单应力状态）强度条件（简单应力状态） max3、强度计算bdzyx1 1、偏心拉、偏心拉( (压压) )的概念的概念 作用在杆件上的外力与杆的

10、轴线平行但不重合。作用在杆件上的外力与杆的轴线平行但不重合。二、偏心拉二、偏心拉( (压压) )yMyMFF FzMzyx（1 1）、荷载的简化）、荷载的简化（2 2）、任意横截面任意点的）、任意横截面任意点的“”2 2、偏心拉、偏心拉( (压压) )的计算的计算zyxFFzxzyyzNeFxMeFxMFxF)()()(（a）内力：）内力：FxFyyMzMzyeFMyzeFMbhzyekyzykzkzeyzabcdzyyabcdzeye（b）正应力：）正应力：,AFNk正应力的分布正应力的分布在在 Mz 作用下作用下：在在 FN作用下：作用下：在在 My 作用下：作用下：abcdzy;zkzM

11、kIyMZ,ykykIzMyMkyNFyzNMkMkFkk（3 3）叠加：）叠加：ykyzkzIzMIyMAFzykzkykyzkzMkMkFkkIzMIyMAFyzN3 3、强度计算、强度计算危险截面危险截面各截面各截面危险点危险点“d”“d”点有最大的拉应力，点有最大的拉应力， “ “b”b”点有最大的压应力。点有最大的压应力。强度条件（简单应力状态）强度条件（简单应力状态） maxyyzzyyzztWMWMAFIzMIyMAFmaxmaxmaxmaxmaxmaxmaxyyzzyyzzcWMWMAFIzMIyMAFmaxmaxmaxmaxmaxmaxmax对有棱角的截面，最大的正应力发生在

12、棱角点处，且处于单向应力状态。对有棱角的截面，最大的正应力发生在棱角点处，且处于单向应力状态。 yyzzWMWMAFmaxmaxmax对于无棱角的截面如何进行强度计算对于无棱角的截面如何进行强度计算1 1、确定中性轴的位置；、确定中性轴的位置；zyxFzkzyykyzFeyezyzeFMzyeFM令令 z0、y0 代表中性轴上任意点的坐标代表中性轴上任意点的坐标000yyzzIzMIyMAFyzNMkMkFkk设中性轴在设中性轴在 y z轴的截距为轴的截距为 ay， az 则：则：zyzyzyeiaeia22;中性轴中性轴ayazYZFeyez000yzzyIzeFIyeFAF012020yz

13、zyizeiyeyzeFMzyeFMykyzkzIzMIyMAF22yyzziAIiAI3 3、强度计算、强度计算 将两切点的坐标代入应力计算公式确定将两切点的坐标代入应力计算公式确定最大拉应力和最大压应力进行强度计算。最大拉应力和最大压应力进行强度计算。D1D2（1）、中性轴不过截面形心，与外力无关，与偏心距及截面形状、尺寸有关；（2）、中性轴的截距与偏心距符号相反，表明外力作用点与中性轴分别在截面形 心的相对两侧；（3）、外力作用点越是向形心靠拢，中性轴离形心越远，甚至移到截面外面。当 中性轴移到与截面相切或截面以外时，截面上则只存在压应力或拉应力；YZ中性轴中性轴ayazFeyez2 2

14、、确定危险点的位置、确定危险点的位置zyzyzyeiaeia22;一、截面核心的概念：一、截面核心的概念： 94 截面核心截面核心 1 1、在截面的边缘处做与截面相切的中性轴，并确定中性轴的截距；、在截面的边缘处做与截面相切的中性轴，并确定中性轴的截距； 2 2、由中性轴的截距，计算外力作用点的坐标；、由中性轴的截距，计算外力作用点的坐标； 3 3、最后连接力作用点得到一个在截面形心附近的区域、最后连接力作用点得到一个在截面形心附近的区域 截面核心。截面核心。二、确定截面核心的思路：二、确定截面核心的思路： 在横截面上存在一个包围形心的区域，当轴向力的作用点在此在横截面上存在一个包围形心的区域

15、，当轴向力的作用点在此区域内，横截面上不会出现异号正应力，此区域即为区域内，横截面上不会出现异号正应力，此区域即为截面核心截面核心。 轴向力不偏心时，横截面均匀受拉（压），无异号正应力。在偏心拉（压）时，横截面可能出现异号正应力。截面核心截面核心 土建工程中的混凝土或砖、石偏心受压柱，往往不允许横截面上出现拉应力。这就要求偏心压力只能作用在横截面形心附近的某个范围内；这个范围称之为截面核心（core of section）。 要使偏心压力作用下杆件横截面上不出现拉应力，那么中性轴就不能与横截面相交，一般情况下充其量只能与横截面的周边相切，截面核心的边界正是利用中性轴与周边相切时偏心压力作用点的

16、位置来确定的。 图中所示任意形状的截面，y轴和z轴为其形心主惯性轴。 为确定截面核心的边界(图中的封闭曲线1-2-3-4-5-1)，可作一系列与截面周边相切和外接的直线把它们视为中性轴。(1) 圆截面的截面核心： 圆截面对圆心（形心）O是极对称的，因而其截面核心的边界必然也是一个圆心为O的圆。作一条如图所示与截面周边相切的直线，它在形心主惯性轴y和z上的截距为11, 2/zyada而对于圆截面有164/64/22422dddAIAIiizyzy从而82/16/2121dddaiyzy0121zyzai这就是截面核心边界上点1的坐标。以O为圆心，以d /8为半径所作的圆其包围的范围就是圆形截面的

17、截面核心。(2) 矩形截面的截面核心 图中y轴和z轴为矩形截面的形心主惯性轴。对于这两根轴的惯性半径iy和iz的平方为1212/232bbhhbAIiyy1212/232hbhbhAIizz 作与周边相切的直线, , , ，将它们视为中性轴，根据它们在形心主惯性轴 y, z上的截距便可求得截面核心边界上的相应点1，2，3，4。现以计算与周边上切线相应的核心边界点1的坐标y1，z1例作具体计算：截距11 ,2zyaha 核心边界点坐标062/12/1212121zyzyzyaihhhai 对应于周边上其他三条切线的截面核心边界点的坐标可类似地求得，并也已标注以图中。 现在的问题是,确定截面核心边

18、界上的四个点1，2，3，4后，相邻各点之间应如何连接。 实际上这就是说，当与截面相切的直线（中性轴）绕截面周边上一点旋转至下一条与周边相切的直线时，偏心压力的作用点按什么轨迹移动。现以切线绕B点旋转至切线时的情况来说明。前面已讲过，杆件偏心受力时横截面上中性轴的方程为010202yiyzizzFyF当中性轴绕一点B转动时，位于中性轴上的B点的坐标yB，zB 不变，亦即上式中的y0，z0在此情况下为定值yB，zB，而偏心压力的作用点yF，zF在移动，将上式改写为0122FzBFyByiyziz显然，这是关于yF，zF的直线方程。 这表明，当截面周边的切线（中性轴）绕周边上的点转动时，相应的偏心压

19、力的作用点亦即截面核心的边界点沿直线移动。 于是在确定截面核心边界上的点1，2，3，4后，顺次以直线连接这些点所得到的菱形便是矩形截面的截面核心。该菱形的对角线长度分别为h/3和b/3(如图所示)。 例题例题 84 试确定图示T形截面的截面核心。图中y, z轴 为形心主轴。已知：截面积A=0.6 m2；惯性矩Iy=4810-3 m4, Iz=27.510-3 m4；惯性半径的平方 以及222m108yi222m1058. 4zi。 解解: : 对于周边有凹入部分的截面，例如槽形截面、T形截面等，确定截面核心边界点所对应的中性轴仍然不应与截面相交，也就是在周边的凹入部分只能以外接直线作为中性轴。

20、 图中的6条直线,便是用以确定该T形截面核心边界点1,2 ,6的中性轴；根据它们各自在形心主惯性轴上的截距计算所得核心边界的结果如下表所示：0-0.1021-0.450.45-0.45-0.45ay-0.0740.10241.0800.1023-0.133050.600.2002-0.40中性轴编号中性轴编号 -0.074 -0.102 截面核截面核心边界心边界上点的上点的坐标值坐标值/m 6 对应的截面核对应的截面核 心边界上的点心边界上的点 1.08az 中性轴中性轴的截距的截距/m yzyai2zyzai2注意到直线（中性轴）， 中顺次编号的相邻直线都是由前一直线绕定点转动到后一直线，故把核心边界点1，2， ，6，顺次连以直线便可得到截面核心的边界。一、弯扭组合一、弯扭组合危险截面截面危险截面截面A A危险点危险点 a 与与 bWM M WTWT2pT 应力状态单向纯剪切应力状态单向纯剪切强度条件（塑性材料强度条件（塑性材料, , 圆截面）圆截面）42T2Mr3 32T2Mr4 22r