定积分在几何中的应用

1、定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用 一一. .定积分的几何意义是什么？定积分的几何意义是什么？xyo)(xfy abA A, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积复习引入, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值 1、如果函数如果函数f f（x x）在）在aa，bb上连续且上连续且f f（x x）00时，那么：定积分时，那么：定积分 就表示以就表示以y=fy=f（x x）为曲边的曲边梯形面积为曲边的曲边梯形面积。 badxxfA)( 2、定积分定积分 的数值在的数值在几何上都可以用曲边梯形面积的几何上都可以用曲边梯形面积的代数和来

2、表示。代数和来表示。badxxf)(1S2S3S321SSSdxxfba )(xyo)(1xfy )(2xfy abA AbadxxfxfA)()(312、 2.2.微积分基本定理是什么？微积分基本定理是什么？ 如果如果f f( (x x) )是区间是区间 a a，b b 上的连续函数，并上的连续函数，并且且 ( )( )Fxf x=( )( )( )( )bbaaf x dxFx dxF bF a=-蝌，则，则用定积分可以表示曲边梯形的面积，微积分用定积分可以表示曲边梯形的面积，微积分基本定理为定积分的计算提供了一种有效的基本定理为定积分的计算提供了一种有效的方法，二者强强联合，可以解决平面

3、几何中方法，二者强强联合，可以解决平面几何中曲边图形的面积问题曲边图形的面积问题. .探究（一）：探究（一）：曲线曲线y2 2x与与yx2 2所围成图所围成图 形的面积形的面积 思考：曲线思考：曲线y y2 2x x与与y yx x2 2所围成的图形是什么？所围成的图形是什么？1 11 1x xy yO Oy y2 2x xy yx x2 2(0,0)(0,0)(1,1)(1,1)1 1、其交点坐标是什么？、其交点坐标是什么？ 2 2、如何将该图形的面积转化为、如何将该图形的面积转化为曲边梯形的面积曲边梯形的面积？S SS S曲边梯形曲边梯形OABCOABCS S曲边梯形曲边梯形OADC.OA

4、DC. A AB BC CD D3 3、该图形的面积用定积分怎样表示？、该图形的面积用定积分怎样表示？ 11200Sxdxx dx=-蝌.Sxy, xy122的的面面积积所所围围图图形形计计算算由由曲曲线线例例oxy11xy22xy ACDB.17.1,xy, xy22中阴影部分的面积所求面积为图的草图作出函数解22yxyx解方程组.1x0 x 及得交点的横坐标为10210OABDOABCdxxdxxSSS,曲边梯形曲边梯形所求图形面积为因此113320021211.33333xx探究（二）：探究（二）：直线直线yx4 4与曲线与曲线 及及x轴所围成图形的面积轴所围成图形的面积 2yx=8 8

5、4 44 4x xy yO Oy yx x4 4(8,4)(8,4)(0,0)(0,0)(4,0)(4,0)2yx=思考：直线思考：直线y yx x4 4与曲线与曲线 及及 x x轴所围成的图形是什么？轴所围成的图形是什么？2yx=1 1、各顶点的坐标是什么？、各顶点的坐标是什么？2 2、如何将该图形的面积转化为、如何将该图形的面积转化为曲边梯形的面积？曲边梯形的面积？ S SS S曲边梯形曲边梯形OABCOABCS S三角形三角形ABD.ABD.A AB BC CD D3 3、该图形的面积用定积分怎样表示？、该图形的面积用定积分怎样表示？ 88042(4)Sxdxxdx=-蝌.2, 42Sx

6、xyxy轴所围图形的面积以及曲线计算由直线例oxy510244xyx2y 27.1图图1S2 2S.27.1,x2y, 4xy阴影部分的面积图所求面积为的草图曲线作出直线解解方程组x2y, 4xy84xy得所求图形的面积为故的交点为轴与,.0 , 4x4xy48812044488332224042242 22 21404.3323SSSxdxxdxxdxxxx求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: :(1)(1)作出示意图作出示意图;(;(弄清相对位置关系弄清相对位置关系) )(2)(2)求交点坐标求交点坐标;(;(确定积分的上限确定积分的上限, ,下限

7、下限) )(3)(3)确定积分变量及被积函数确定积分变量及被积函数; ;(4)(4)列式求解列式求解. .P58练习解解:求两曲线的交点求两曲线的交点:22(2, 2), (8,4).4yxyxxy22 4 xy81228022802332282202222(24)22(24)42221166426|(4 ) |18332333SSSxdxxxdxxdxxxdxxxxx1S1S2S2yx2解解:求两曲线的交点求两曲线的交点:22(2, 2), (8,4).4yxyx4xy8422234223231(4)211(4)231111(4444 )( 2)4( 2)( 2) )232318Syydyy

8、yy 22yx -24S法二法二思考题：在曲线思考题：在曲线y=xy=x2 2 (x0) (x0)上某点上某点A A处作切线处作切线, ,使之与曲线及使之与曲线及x x轴围成图形的面积为轴围成图形的面积为1/12.1/12.求过点求过点A A的切线方程的切线方程. .A Ax xy yo oy=xy=x2 2），设切点（200 xx02xk则，切线的斜率)(2y0020 xxxx2000)(2yxxxx即，0220001112212xSx dxxx01x 解得：; 12xy所以，切线方程为：练习、过原点的直线练习、过原点的直线l l与抛物线与抛物线y=xy=x2 2-4x-4x所围所围成图形的

9、面积为成图形的面积为3636，求，求l l的方程的方程. .k 42232k 400232311Skxx4x dx(kxx2x )|23111k k4k42 k4k436236，2xk4ykxx0yk k4y0yx4x，得或解：由题意可知直线的斜率存在，故设直线解：由题意可知直线的斜率存在，故设直线l l的方程为的方程为y=kxy=kx，则由，则由k=2，故直线l的方程为y=2x；(1)(1)当当k+40k+40，即，即k-4k-4时，时，k=2k=2，故直线，故直线l l的方程为的方程为y=2xy=2x；练习、过原点的直线练习、过原点的直线l l与抛物线与抛物线y=xy=x2 2-4x-4x

10、所围所围成图形的面积为成图形的面积为3636，求，求l l的方程的方程. .(2)(2)当当k+40k+40，即，即k-4k-4时时 022320k 4k 4232311Skxx4x dx(kxx2x )|23111k4kk42 k4k436236， 2xk4ykxx0yk k4y0yx4x，得或解：由题意可知直线的斜率存在，故设直线解：由题意可知直线的斜率存在，故设直线l l的方程为的方程为y=kxy=kx，则由，则由综上，直线综上，直线l l的方程为的方程为y=2xy=2x或或y=-10 x.y=-10 x.k=-10k=-10，故直线，故直线l l的方程为的方程为y=-10 xy=-10

11、 x.小结作业小结作业 1. 1.定积分在几何中的应用，主要用于求平面定积分在几何中的应用，主要用于求平面曲边图形的面积曲边图形的面积. .解题时，一般先要画出草图，再解题时，一般先要画出草图，再根据图形确定被积函数以及积分的上、下限根据图形确定被积函数以及积分的上、下限. . 2. 2.定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非规则曲边梯形，一般要将其分割或补形为规则非规则曲边梯形，一般要将其分割或补形为规则曲边梯形，再利用定积分的和与差求面积曲边梯形，再利用定积分的和与差求面积. .对于分对于分割或补形中的多边形的面积，可直接利用相关面割或补形中的多边形的面积，可直接利用相关面积公式求解积公式求解. . 3. 3.位于位于x x轴下方的曲边梯形的面积，