序列和离散系统

1、黄黄 海海哈尔滨理工大学哈尔滨理工大学2015年年3月月 DSP第一章第一章 离散时间信号与系统离散时间信号与系统Q 数字信号处理概述数字信号处理概述Q 离散时间信号与系统离散时间信号与系统Q Z变换与离散时间傅里叶变换变换与离散时间傅里叶变换Q 离散傅里叶变换离散傅里叶变换Q 快速傅里叶变换（快速傅里叶变换（FFT）Q 数字滤波器基本结构数字滤波器基本结构Q 无限长单位冲激响应数字滤波器的设计方法无限长单位冲激响应数字滤波器的设计方法Q 有限长单位冲激响应数字滤波器的设计方法有限长单位冲激响应数字滤波器的设计方法软件学院软件学院Slide 1 DSP本章主要内容本章主要内容F 离散时间信号离

2、散时间信号序列序列F 离散时间系统离散时间系统F 线性移不变系统线性移不变系统F 常系数线性差分方程常系数线性差分方程F 连续时间信号的抽样连续时间信号的抽样软件学院软件学院Slide 2 DSP离散时间信号是对模拟信号 xa(t) 进行等间隔采样获得的，采样间隔为T，得到：nnTxtxanTta ),()(1.1 1.1 离散时间信号离散时间信号序列序列0txa(t)0 xa(nT)tT2T软件学院软件学院Slide 3 DSP这里 n 取整数。对于不同的 n 值，xa(nT) 是一个有序的数字序列，该数字序列就是离散时间信号。注意，这里的n取整数，非整数时无定义，另外，在数值上它等于信号的

3、采样值，即nnTxnxa ),()(,.9 , 8 ,7 , 3 , 2, 1.)(nx 离散时间信号的表示方法：公式表示法、图形表示法、公式表示法、图形表示法、集合符号表示集合符号表示法，如软件学院软件学院Slide 4 DSP二、常用序列二、常用序列1. 单位抽样序列(n)0, 00, 1)(nnn01/t(t)0(1)t(t)1n0(n)软件学院软件学院Slide 5 DSP2. 单位阶跃序列单位阶跃序列u(n)0, 00, 1)(nnnut0u(t)10nu(n)软件学院软件学院Slide 6 DSP (n)与与u(n)之间的关系之间的关系) 1()()(nunun0)()(kknnu

4、令n-k=m，有nmmnu)()(软件学院软件学院Slide 7 DSP3. 矩形序列矩形序列RN(n)nNnnRN其它, 010, 1)(N为矩形序列的长度0nR4(n)123)()()(NnununRN10)()(NmNmnnR软件学院软件学院Slide 8 DSP4. 实指数序列实指数序列)()(nuanxn，a为实数0n0a1a-1或-1a0,序列的幅值摆动0n-1a00na0 时，序列右移延迟延迟当 n00 时，序列左移超前超前x(n)n0n0 x(n-2)软件学院软件学院Slide 18 DSP4. 序列的翻转序列的翻转n0 x(-n)x(-n)是x(n)的翻转序列。x(-n)是以

5、纵轴（n=0）为对称轴将序列x(n)加以翻转。x(n)n0软件学院软件学院Slide 19 DSP5. 尺度变换尺度变换x(n)n0n0 x(2n)(mnx)(nx是序列每隔m点取一点形成的，相当于时间轴n压缩了m倍。抽取序列抽取序列mnx)(nx是序列相邻抽样点间补（m1)个零值点，表示零值插值。插值序列插值序列软件学院软件学院Slide 206. 累加（等效积分）累加（等效积分）nkkxny)()(7. 7. 差分运算差分运算 前向差分前向差分 后向差分后向差分) 1()()()() 1()(nxnxnxnxnxnx8. 8. 卷积和卷积和mmnhmxnhnxny)()()()()(等效为

6、等效为翻褶、移位、相乘和相加翻褶、移位、相乘和相加四个步骤。四个步骤。软件学院软件学院Slide 21 DSP1.2 1.2 线性移不变系统线性移不变系统离散时间系统Tx(n)y(n)()(nxTny在时域离散系统中，最重要、最常用的是线性时不变系统是线性时不变系统。系统可定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一变换或运算，并用T表示，即软件学院软件学院Slide 22 DSP1.2.1 线性系统线性系统若系统满足可加性与比例性,则称此系统为离散时间线性系统。),()(11nxTny)()(22nxTny)()()()()()(212121nbynaynxbTnxaTnbxnaxT

7、其中a、b为任意常数。设软件学院软件学院Slide 23 DSP例例是否线性系统。)792sin()()(nnxny证：)792sin()()(11nnxny)792sin()()(22nnxny)792sin()()()()(22112211nnxanxanyanya)792sin()()()()(22112211nnxanxanxanxaT)()()()(22112211nyanyanxanxaT所以，此系统是线性系统。软件学院软件学院Slide 24 DSP例例4)(3)(nxny所代表的系统不是线性系统。证：4)(3)()(111nxnxTny4)(3)()(222nxnxTny)(4

8、)(3)(3)()(2122112211aanxanxanyanya但是4)()( 3)()(22112211nxanxanxanxaT)()()()(22112211nyanyanxanxaT所以，此系统不是线性系统。软件学院软件学院Slide 25 DSP1.2.2 时不变系统（移不变系统）时不变系统（移不变系统）时不变系统Tx(n)y(n)()(nxTny若则)()(00nnxTnnyn0为任意整数。输入移动任意位（如n0位），其输出也移动这么多位，而幅值却保持不变。软件学院软件学院Slide 26 DSP例例bnaxny)()(证：bnnaxnnxT)()(00bnnaxnny)()(

9、00)()(00nnxTnny所以，此系统是时不变系统。软件学院软件学院Slide 27 DSP例例)()(nnxny证：)()(00nnnxnnxT)()()(000nnxnnnny)()(00nnxTnny所以，此系统不是时不变系统。同理，可证明 所代表的系统不是时不变系统。)4sin()()(0nnxny软件学院软件学院Slide 28 DSP1.2.3 线性时不变系统输入与输出之间的关系线性时不变系统输入与输出之间的关系T(n)h(n)一个既满足叠加原理，又满足时不变条件的系统，一个既满足叠加原理，又满足时不变条件的系统，被称为线性时不变系统被称为线性时不变系统(linear shif

10、t invariant, LTI)。线性时不变系统可用它的单位抽样响应来表征。 单位取样响应，也称单位冲激响应，是指输入为单位冲激序列时系统的输出，一般用h(n)来表示：)()()(nhnTny软件学院软件学院Slide 29根据线性系统的叠加性质 )()()(mmnTmxnymmnhmxny)()()(又根据时不变性质设系统的输入用x(n)表示，而mmnmxnx)()()(因此，系统输出为 )()()()(mmnmxTnxTny通常把上式称为离散卷积或线性卷积。这一关系常用符号“*”表示：)()()()()(nhnxmnhmxnym软件学院软件学院Slide 30 DSP线性时不变系统的一个

11、重要特性是它的输入与输出线性时不变系统的一个重要特性是它的输入与输出序列之间存在着线性卷积关系：序列之间存在着线性卷积关系：v用单位取样响应h(n)来描述系统h(n)x(n)y(n)()()()()(nhnxmnhmxnym软件学院软件学院Slide 31 DSP线性卷积的计算线性卷积的计算计算它们的卷积的步骤如下： (1)折叠：先在变量坐标轴k上画出x(k)和h(k)，将h(k)以纵坐标为对称轴折叠成 h(-k)。 (2)移位：将h(-k)移位n，得h(n-k)。当n为正数时，右移n；当n为负数时，左移n。 (3)相乘：将h(n-k)和x(k)的对应取样值相乘。 (4)相加：把所有的乘积累加

12、起来，即得y(n)。 )()()()()(nhnxmnhmxnym软件学院软件学院Slide 32 DSP例 已知x(n)和h(n)分别为：和a为常数，且1a，试求x(n)和h(n)的线性卷积。其它, 060,)(nanhn其它, 040, 1)(nnx 计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑，下面举例说明。 软件学院软件学院Slide 33 DSP解 参看图，分段考虑如下：(1)对于n4，且n-60，即46，且n-64，即64，即n10。0nx(n)40nh(n)6n-6mh(n-m) n软件学院软件学院Slide 34图解说明图解说明0mx(m)40mh(m)6-6mh(0-m)06

13、(1) n0n-6mh(n-m)n 0(2) 0n4n-6mh(n-m)n04软件学院软件学院Slide 35(3) 4n6n-6mh(n-m)n04 6n-6mh(n-m)n06(4) 610n-6mh(n-m)n04(2) 0n4n-6mh(n-m)n04图解说明图解说明软件学院软件学院Slide 360)(0mxm时，当0)(04mnhmnm时，当aaaaaaaamnhmxnynnnnmmnnmmnnm11111)()()(11)1(000(2)在在0n4区间上区间上n-6mh(n-m)n040mx(m)4软件学院软件学院Slide 37(3)在在4n6区间上区间上n-6mh(n-m)n

14、04 60mx(m)4aaaaaaaaamnhmxnynnnmmnmmnm1111)()()(141)41 (404040软件学院软件学院Slide 38(4)在在6n10区间上区间上n-6mh(n-m)n06100mx(m)4aaaaaaaaaamnhmxnynnnnmmnnnmmnnnm111)()()(741)14()6(4666软件学院软件学院Slide 39 DSP综合以上结果，y(n)可归纳如下：nnaaanaaanaannynnnn10, 0106,164,140,110, 0)(74141软件学院软件学院Slide 40 DSP卷积结果y(n)如图所示 6ny(n)1004软件

15、学院软件学院Slide 41 DSP例例 设有一线性时不变系统，其单位取样响应为000)()(nnnuanhn10 a)()()(Nnununxmmnhmxny)()()(解：分段考虑如下：(1)对于n0；(2)对于0n N1；(3)对于nN。软件学院软件学院Slide 42 DSP0)(ny0)(0mxm时，当0)(00mnhmnm时，当(2)在0nN 区间上Slide 43 DSP(3)在nN 区间上aaaaaamnhmxnyNNnNmmnNmmnNm111)()()(1101010(1)(2)(3)y(n)软件学院软件学院Slide 44 DSP例例设有一线性时不变系统，其5 , 1 ,

16、 2)(2 , 4 , 1 , 3)(nhnx3142x(m)m0 1 2 3 4215h(m)m102 3 4)()()(nhnxny求mmnhmxny)()()(解：m0-2-3-4-11h(-m)623)0()0()0(hxy软件学院软件学院Slide 4552113) 1 () 1 ()0()0() 1 (hxhxy24241153)2()2() 1 () 1 ()0()0()2(hxhxhxy10,22,13,24, 5, 6)(ny-3-11 20mh(1-m)-23-11 20mh(2-m)-2ny(n)-11 20-23 4 5 665241322103142x(m)m0 1

17、2 3 4软件学院软件学院Slide 46 DSP02413051248262413010221324561020515对有限长序列相卷，可用竖乘法注：1. 各点要分别乘、分别加且不跨点进位； 2. 卷和结果的起始序号等于两序列的其实序号之和。软件学院软件学院Slide 47 DSP由上面几个例子的讨论可见，)()()()()(nhnxmnhmxnymh(n)x(n)y(n)设x(n)和h(n)两序列的长度分别是N 和M ，线性卷积后的序列长度为(N + M -1)。软件学院软件学院Slide 48 DSP线性卷积满足以下运算规律：线性卷积满足以下运算规律：交换律)()()()(nxnhnhn

18、xh(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)软件学院软件学院Slide 49结合律分配律)()()()()()(2121nhnhnxnhnhnxh1(n)x(n)y(n)h2(n)h1(n) * h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)+h1(n)+ h2(n)x(n)y(n)()()()()()()(2121nhnxnhnxnhnhnx软件学院软件学院Slide 50 DSP)()()()()(nnxmnmxnxm)()()()()(000nnxmnnmxnnnxm软件学院软件学院序列与单位取样序列的线性卷积等于序列本身：序列与单位取样序列的线性卷积等于序列本身：

19、若序列与一个移位的单位取样序列若序列与一个移位的单位取样序列 ( (n-nn-n0 0) )进行线性卷进行线性卷积，就相当于将序列本身移位积，就相当于将序列本身移位n n0 0：Slide 51nmnmmxmnumxnunx00)()()()()(序列与单位阶跃序列的线性卷积等于序列累加：序列与单位阶跃序列的线性卷积等于序列累加： DSP1.2.4 1.2.4 系统的因果性和稳定性系统的因果性和稳定性在系统中，若输出y(n)只取决于只取决于n n时刻，以及时刻，以及n n时刻以前的时刻以前的输入输入，即),2(),1(),()(nxnxnxny称该系统是因果系统。对于线性时不变系统，具有因果性

20、的充要条件是系统的单位取样响应满足：0, 0)(nnh如0, 00,)()(nnanuanhnn因果系统是指输出的变化不领先于输入的变化的系统。软件学院软件学院Slide 52 DSP稳定系统稳定系统对一个线性时不变系统来说，系统稳定的充要条件是单位取充要条件是单位取样响应绝对可和样响应绝对可和，即nnh)(稳定系统是指对于每个有界输入有界输入x(n)x(n)，都产生有界输出都产生有界输出y(n)y(n)的系统。即如果|x(n)|M(M为正常数)，有|y(n)|+，则该系统被称为稳定系统。 软件学院软件学院Slide 53 DSP例例设某线性时不变系统，其单位取样响应为)()(nuanhn式中

21、a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。 解：1,1,1111limlim)(100aaaaaaanhNnNNnnNnn由于n0时，h(n)=0，故此系统是因果系统。所以 时，此系统是稳定系统。1a软件学院软件学院Slide 54 DSP例例 设某线性时不变系统，其单位取样响应为) 1()(nuanhn式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。解：(1)讨论因果性由于n0时，h(n)0，故此系统是非因果系统。1,1,111111)(111aaaaaaaanhnnnnnnn(2)讨论稳定性所以 时，此系统是稳定系统。1a软件学院软件学院Slide 551.3 1.3 线性常系数差分方程线性常系数差

22、分方程一个N 阶线性常系数差分方程用下式表示：连续时间线性时不变系统 线性常系数微分方程离散时间线性时不变系统 线性常系数差分方程NkkMmmknyamnxbny10)()()(求解差分方程的基本方法有三种：经典法求齐次解、特解、全解递推法求解时需用初始条件启动计算变换域法将差分方程变换到Z域进行求解软件学院软件学院Slide 56 DSP1.4 1.4 连续时间信号的抽样连续时间信号的抽样连续时间信号离散时间信号采样内插信号经过采样以后，将发生一些什么变化？例如，信号频谱将发生怎样变化；经过采样后信号内容会不会有丢失；如果信号没有被丢失，其反变换应该怎样进行，即由数字信号恢复成模拟信号应该具

23、备那些条件等。 软件学院软件学院Slide 57 DSP1.4.1 采样采样S)(txa)( txa)()()(tPtxtxaaT0tT2T)(txa0tP(t)T0txa(t)最高频率为fc 软件学院软件学院Slide 58 DSP0理想采样)()()(tPtxtxaannTttP)()(naanTtnTxtx)()()()(txa)( txa)(),(tPtP一、理想采样xa(t)P(t)0txa(t)0t0tT1T软件学院软件学院Slide 59 DSP定义单位冲击函数单位冲击函数1)( dtt0, 0)(ttt0 (t)(1)单位冲击函数有一个重要的性质：采样性若f(t)为连续函数，则

24、有)0()()(fdtttf将上式推广，可得)()()(00tfdttttft0 (t-t0)软件学院软件学院Slide 60 DSP软件学院软件学院理想采样过程理想采样过程)()()(tstxtxasSlide 61 DSP二、频谱的周期延拓二、频谱的周期延拓即即即即)()()()(tPtxtxjXaaa)()()(,tPtxtxaa)()(jXtxaa)()(jXtxaa)()(21)(jPjXjXaadejXjXtxdtetxtxjXtjaaatjaaa)(21)()()()()(-1软件学院软件学院Slide 62 DSP)()(tPjP)(tP由于由于 是周期函数是周期函数nnTtt

25、P)()(可用傅立叶级数表示，即可用傅立叶级数表示，即ktjkkSeatP)(TS2采样角频率采样角频率 2222)(1)(1TTtjknTTtjkkdtenTtTdtetPTaSS系数系数软件学院软件学院Slide 63 DSP22)(1TTtjkkdtetTaSktjkktjkkSSeTeatP1)(T1)()(tPjPktjkSeT1tjkSe 1软件学院软件学院Slide 64 DSPkSkTjP)(2)()(21对称性对称性)(21StjkkeS移频特性移频特性kSSk)(1)(t根据根据软件学院软件学院Slide 65 DSP0(S)S2S-S-2SS)( jP软件学院软件学院Sl

26、ide 66 DSP)()(21)(jPjXjXaakaSjXkT)()(221kSadkjXT)()(221采样信号的傅氏变换为采样信号的傅氏变换为 kSadkjXT)()(1kSajkjXT)(1kaTjkjXT)2(1软件学院软件学院Slide 67 DSP即即kSaajkjXTjX)(1)(采样信号的频谱是原模拟信号频谱的周期延拓，采样信号的频谱是原模拟信号频谱的周期延拓，其延拓周期为其延拓周期为 s s 。软件学院软件学院Slide 68 DSPCS2CS2讨论：讨论： S S/2/2 C C)(jXa S S2 2 S S3 3 S S 0 0- - S S( (c)c)- - C

27、 C C C S S/2/2 0 0( (a)a)( jXa最高最高截止截止频率频率 S S/2/2)(jXa 0 0- - S S2 2 S S S S( (b)b)软件学院软件学院Slide 69 DSPCS2称称NyquistNyquist采样率采样率2/S称折叠频率称折叠频率CS2 C C S S/2/2)(jXa S S 0 0- - S SS0称称NyquistNyquist范围范围采样定理采样定理 ：要想采样后能够不失真地还原出原信号，则采样频率必须大于要想采样后能够不失真地还原出原信号，则采样频率必须大于两倍原信号频谱的最高截止频率（两倍原信号频谱的最高截止频率（ s s 2

28、2 C C）。）。由上面的分析有，频谱发生混叠的原因有两个：由上面的分析有，频谱发生混叠的原因有两个：1.1.采样频率低采样频率低2.2.连续信号的频谱没有被限带连续信号的频谱没有被限带软件学院软件学院Slide 70 DSPCS20C 2C 3C 4C 可选可选 s =(3 4) C 低通采样软件学院软件学院Slide 71 DSP软件学院软件学院理想采样后信号频谱发生的变化理想采样后信号频谱发生的变化2 信号在时域的特性和在频域的特性之间存在以下对应关系：2 时域的周期性 频域的离散性2 时域的离散性 频域的周期性2 时域的非周期性 频域的连续性2 时域的连续性 频域的非周期性Slide 72 DSP软件学院软件学院傅里叶变换的各种形式时域信号频域信号非周期连续连续非周期周期连续离散非周期非周期离散连续周期周期离散离散周期dejXtxtj)(21)(ktjkejkXtx0)()(010)(1)(NkknNWnXNnxdeeXnxnjnj)(21)(2/2/00)(1)(TTtjkdtetxTjkXdtetxjXtj)()(nnjjenxeX)()(10)()(NnknNWnxkXSlide 73 DSP频域分析频域分析kS