正多边形和圆

1、ABCDE正正n边形：边形： 正多边形和圆的关系非常密切，正多边形和圆的关系非常密切，只要把圆分成相等的一些弧，然后只要把圆分成相等的一些弧，然后依次连接各等分点，就可以作出这依次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。这个正多边形的外接圆。如图把如图把 O五等分，五等分，A、B、C、D、E为五等分点，依次连接各等分点，为五等分点，依次连接各等分点，得到五边形得到五边形ABCDE。则五边形。则五边形ABCDE为为 O的内接正五边形。的内接正五边形。ABCDE证明：证明：AB=BC=CD=DE=EA AB=BC=CD=DE=EA

2、 BCE=CDA=3AB A=B 同理同理B=C=D=E 则五边形则五边形ABCDE为为 O的内接的内接正五边形，正五边形， O是正五边形的外接圆。是正五边形的外接圆。ABCDEO OE EABCDE思考：如果以思考：如果以O为圆心，边心距为圆心，边心距OE为半径作一个圆，则所作的为半径作一个圆，则所作的圆与五边形圆与五边形ABCDE是什么关系是什么关系呢？呢？所作圆是正五边形的所作圆是正五边形的内切圆内切圆 EO2180nn（）360n1、O是正是正ABC的中心，它是的中心，它是ABC的的圆与圆的圆心。圆与圆的圆心。2、OB叫正叫正ABC的，它是的，它是正正ABC的的 圆的半径。圆的半径。

3、3、OD叫作正ABC的，的，它是正它是正ABC的的 圆的圆的半径。半径。ABC.OD外接外接内切内切半径半径外接外接边心距边心距内切内切4、正方形、正方形ABCD的外接圆圆心的外接圆圆心O叫做叫做正方形正方形ABCD的的5、正方形、正方形ABCD的内切圆的半径的内切圆的半径OE叫做叫做正方形正方形ABCD的的ABCD.OE中心中心边心距边心距6、 O是正五边形是正五边形ABCDE的外接圆，弦的外接圆，弦AB的的弦心距弦心距OF叫正五边形叫正五边形ABCDE的的 ，它是正五边形它是正五边形ABCDE的圆的半径。的圆的半径。7、 AOB叫做正五边形叫做正五边形ABCDE的角，的角，它的度数是它的度

4、数是DEABC.OF边心距边心距内切内切中心中心728、图中正六边形、图中正六边形ABCDEF的中心角是的中心角是它的度数是它的度数是9、你发现正六边形、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有的半径与边长具有什么数量关系？为什么？什么数量关系？为什么？BAEFCD.OAOB60222442222311242341.6()2242Rt OPCBCOCPCrSLrm在中，根据勾股定理，可得边心距亭子的面积例例 有一个亭子它的地基是半径为有一个亭子它的地基是半径为4m4m的正六边形的正六边形, ,求求 地基的周长和面积地基的周长和面积( (精确到精确到0.10.1平方米平方米). ).FADE.

5、rRP360606.ABCDEFOBC解：由于是正六边形，所以 它的中心角等于， 是等边三角形，从而正 六边形的边长等于它的半径亭子的周长亭子的周长 L=64=24(m)探究二探究二正多边形是轴对称图形吗？如果是，正多边形是轴对称图形吗？如果是，一个正一个正n n边形共有几条对称轴，每条对边形共有几条对称轴，每条对称轴的位置有什么特点？称轴的位置有什么特点？正多边形都正多边形都是轴对称图形是轴对称图形，一个正一个正n n边形共边形共有有n n条对称轴，每条对称轴都通过正条对称轴，每条对称轴都通过正n n边形边形的的中心中心。 边数是边数是偶数偶数的正多边形还是的正多边形还是中心中心对称图形对称

6、图形，它的中心就是对称中心，它的中心就是对称中心。只要把圆分成相等只要把圆分成相等的一些弧，然后依的一些弧，然后依次连接各等分点，次连接各等分点，就可以作出这个圆就可以作出这个圆的内接正多边形。的内接正多边形。1、度量法：度量法：由于同圆中相等的圆心角所由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此做相等的圆心角就可以对的弧相等，因此做相等的圆心角就可以等分圆，从而得到相应的正多边形。等分圆，从而得到相应的正多边形。例：画一个边长为例：画一个边长为2cm的正六边形。的正六边形。画法：画法：1做一个半径为做一个半径为2cm的圆，记为的圆，记为 O2用量角器画一个圆心角用量角器画一个圆心角BOC=60得

7、到得到BC.3在在 O上依次截取上依次截取CD=DE=EF=FA=AB=BC，4依次连接依次连接A、B、C、D、E、F，则六边形，则六边形ABCDEF就是正六边形。就是正六边形。OABCEF60D 练习：用以上方法画出正四边形。练习：用以上方法画出正四边形。ABCDO902、尺规法尺规法：对于一些特殊的正多边形，还：对于一些特殊的正多边形，还可以用直尺和圆规来作。可以用直尺和圆规来作。例如，我们可以这样来作正六边形。由于正例如，我们可以这样来作正六边形。由于正六边形的边长等于半径，所以在半径为六边形的边长等于半径，所以在半径为R的的圆上依次截取等于圆上依次截取等于R的弦，就可以将圆六等的弦，就可以将圆六等分。分。 你能尺规作出正四边形、正八边形吗？你能尺规作出正四边形、正八边形吗？ 据此你还能作出哪些正多边形？据此你还能作出哪些正多边形？ABCDO只要作出已知 O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与 O相交，即得到圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十