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文档简介

1、定积分的第二大应用专题 平行截面面积为已知的立体的体积一、重要知识回顾：（平面图形的面积）例3 求由与轴围成图形的面积。分析 曲线与轴交于点，故轴的两侧均有图形，被积函数应取绝对值，由定积分的几何意义可求面积。解 曲线与轴的三个交点为，则 .二、求平行截面面积为已知的立体的体积曲线的弧长微元是直线段的长度，面积微元是小矩形的面积，它们的计算用的都是最简单的公式；体积微元呢？我们知道最简单的体积公式是底面积乘高. 例821 求两个半径为的正交圆柱体公共部分的体积（图821为所求立体的八分之一图像）.解图821可见垂直于轴的截面均为正方形其中，阴影部分为在任意点处截得的正方形，其边长为则所以 两个

2、半径为的正交圆柱体公共部分的体积为二、旋转体的体积平行截面均为圆的立体为以圆心所在直线为旋转轴的旋转体若以轴为旋转轴，称为关于轴的旋转体；以轴为旋转轴，称为关于轴的旋转体图8221曲线绕轴旋转得到一个关于轴的旋转体任意点处垂直于轴的截面为以为半径的圆以此圆为底做一平行于轴高为的小圆柱体（如图822）小圆柱体的体积即为该旋转体的体积微元即 则关于轴的旋转体体积为例822 求曲线，一段关于轴的旋转体体积 解 例823 求轮胎的体积，其中轮径（轮子中心到轮胎横截面圆的圆心的距离）为、胎径（轮胎横截面圆的半径）为解图823如图823此轮胎可看成圆关于轴的旋转体即上半圆与下半圆关于轴的旋转体之差则2曲线

3、绕轴旋转得到一个关于轴的旋转体图824如图824为图822的翻转图此时体积微元也是小圆柱体的体积，不过要用来表述即则关于轴的旋转体体积，其中为的直接反函数例824 求球半径为高为的球缺的体积解图825所求球缺可看成曲线一段关于轴的旋转体如图825则 例825 求星形线关于轴的旋转体体积解 思考题8.21试用定积分论证圆锥的体积公式练习题8.21一正圆劈锥体（如图826），底是半径为的圆，顶为平行于底面的直线，高为，试求其体积图8262求曲线上一段关于轴的旋转体体积3求由曲线与围成区域关于轴的旋转体体积4设为由与所围成的平面图形，试求其关于轴及轴的旋转体体积5求由曲线与两个坐标轴所围成区域关于轴的旋转体体积练习题8.2答案1一正圆劈锥体，底是半径为的圆，顶为平行于底面的直线，高为，试求其体积解 令底圆圆心为原点，与顶直线平行的底直径为轴则 垂直于轴的截面均为高为的等腰三角形其中任意点处截得的等腰三角形面积为2求曲线上一段关于轴的旋转体体积解 3求由曲线与围成区域关于轴的旋转体体积解 由 解得两交点为与则4设为由与

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