天津市l理工高等数学竞赛真题答案

1、 2011年天津市大学数学竞赛试题参考解答(理工类)一. 填空题（本题15分，每小题3分）:1. 设是连续函数, 且, 则2. 设, 若则3.4. 设是连续函数, 且其中由x轴、y轴以及直线围成, 则5. 椭球面平行于平面的切平面方程为和二. 选择题（本题15分，每小题3分）:1. 设则在处(A) , (B) , (C) , (D) 不可导. 答: (A)2. 设函数具有二阶导数, 且满足方程已知则(A) 在的某个邻域中单调增加, (B)在的某个邻域中单调增少, (C)在处取得极小值, (D)在处取得极大值.答: ( C) 3. 图中曲线段的方程为, 函数在区间上有连续的导数, 则积分表示 (

2、A)直角三角形AOB的面积, (B)直角三角形AOC的面积, (C)曲边三角形AOB的面积, (D)曲边三角形AOC的面积.答: (D)4.设在区间上的函数且令则(A) (B) (C) (D) 答: (C ) 5. 设曲面取上侧为正,是在的部分, 则曲面积分(A) (B)(C) (D) 答: (B) 三. (6分) 设函数其中函数处处连续. 讨论在处的连续性及可导性. 解因此, 在处连续.因此, 在处可导, 且四. (6分) 设函数由方程确定, 又函数由方程确定, 求复合函数的导数解方程两边对求导当t=0时, x=0, 故方程两边对x求导当时,故因此, 五. (6分) 设函数在上二阶可导，且，

3、记，求的导数，并讨论在处的连续性.解由已知的极限知从而有当时, 从而有因为所以, 在处连续.当时,在处, 由有所以, 而故在处连续.六. (7分) 设函数在上可导, 且满足: ()研究在区间的单调性和曲线的凹凸性. () 求极限解() 当时, 有故在区间单调增加. 从而当时, 也单调增加. 可见, 曲线在区间向下凸.(或当时, 可得可见, 曲线在区间向下凸. ) () 由题设知, 应用洛必达法则七. (7分) 设在上具有连续导数, 且试证证令则在连续, 且对,又由题设知, 当时, 令则在上连续, 且故有因此于是在上单调增加, 取, 即得所证结论成立.八. (7分) 设函数具有二阶导数, 且直线

4、是曲线上任意一点处的切线, 其中记直线与曲线以及直线所围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为试问为何值时取得最小值.解切线的方程为即于是可见, 在连续, 在可导. 令,由于在内有唯一的驻点并且, 当时, ; 当时, 因此, 在处取得最小值.九. (7分) 计算其中为从点沿圆周在第一象限部分到点的路径.解令则取点作有向直线段其方程为从0变到1).作有向直线段其方程为从0变到1). 由曲线、有向直线段和形成的闭曲线记为(沿顺时针方向), 所围成的区域记为, 则十. (8分) 设（1）有向闭曲线是由圆锥螺线：，（从0变到）和有向直线段构成，其中，；（2）闭曲线将其所在的圆锥面划分成两部分，是其中的

5、有界部分. （）如果表示一力场，求沿所做的功；（）如果表示流体的流速，求流体通过流向上侧的流量. (单位从略）解（）作有向直线段其方程为从变到0).所求沿所做的功为.（）所在的圆锥面方程为，曲面上任一点处向上的一个法向量为在面上的投影区域为, 在极坐标系下表示为:故所求流体通过流向上侧的流量为.注: ()的另一解法应用Stokes公式，可得.十一. (8分) 设函数在心形线所围闭区域上具有二阶连续偏导数, 是在曲线上的点处指向曲线外侧的法向量(简称外法向), 是沿的外法向的方向导数, 取逆时针方向. () 证明: () 若求的值.()证由方向导数的定义其中, 是相对于x轴正向的转角.设是L的切向量相对于x轴正向的转角, 则或故()解应用格林公式由对称性十二.(8分) 设圆含于椭圆的内部, 且圆与椭圆相切于两点(即在这两点处圆与椭圆都有公共切线).()求与满足的等式; () 求与的值, 使椭圆的面积最小.解 () 根据条件可知, 切点不在轴上. 否则圆与椭圆只可能相切于一点. 设圆与椭圆相切于点, 则既满足椭圆方程又满足圆方程, 且在处椭圆的切线斜率等于圆的切线斜率, 即. 注意到因此, 点应满足由(1)和(2)式, 得(4)由 (3) 式得代入(4) 式化简得或 (5) ()按题意, 需求椭圆面积在约束条件 (5) 下的最小值.构造函数