二阶非线性泛函微分方程解的振动性与渐近性

1、第17卷 第2期 湖 南 文 理 学 院 学 报（自 然 科 学 版） Vol. 17 No. 2 2005年6月 Journal of Hunan University of Arts and Science(Natural Science Edition) Jun . 2005文章编号：1672-6146(2005)02-0008-03二阶非线性泛函微分方程解的振动性与渐近性赵敏之1, 赵智国2(1.湖南商务职业技术学院, 湖南 长沙 410205;2.中国人民保险公司湖南分公司 信息技术处, 湖南 长沙 410008)摘 要：讨论了两类二阶非线性泛函微分方程(a(t)(y'(t)

2、'+q(t)f(y(t)g(y'(t)=0,(a(t)(y'(t)'+ q(t)F(y(t),y(t)g(y'(t)=0,其中tt0，为正常数，当tt0时，a(t)>0，q(t)0，且q(t)不最终恒为0，(t)>0，且lim(t)=+.利用一些分析的技巧，得到了t+则 (i)=奇数/奇数时，方程(1)振动；(ii)=偶数/奇数时，方程(1)的解或者振动；或者有limy(t)=0；或者limy(t)=.t+t+证明=奇数/奇数时,设y(t)是方程(1)的一个这两类方程的解振动与渐近性的充分性判据，所获结果可分别应用于=奇/奇与=偶/奇的情形.

3、改进并推广了已有文献中的相应结论.关键词：泛函微分方程；振动；渐近性； 中图分类号: O 175 文献标识码：A非振动解，由方程(1)有考虑如下两类二阶非线性泛函微分方程(a(t)(y'(t)'+q(t)f(y(t)g(y'(t)=0 (1) (a(t)(y'(t)'+q(t)F(y(t),y(t)g(y'(t)=0 (2) 其中tt0，为正常数，当tt0时，a(t)>0，q(t)0，且q(t)不最终恒为0，'(t)>0，且lim(t)=+.关于方程(1)、(2)及其特殊形式的振动a(t)(y'(t)q(t)f(y(t

4、)g(y'(t)()'=y(t)y(t)+1a(t)(y'(t)q(t)f(y(t)g(y'(t)0y2(t)y(t)(且不恒为0) (3)由定理的条件可知y(t)不振动时，y'(t)也不振动. 下面分情形导出矛盾:(I)设tT0t0时，y(t)>0，y(t)>0. 情形1 设tt1T0时,y(t)>0，且y'(t)>0, 又由方程(1)有:a(t)(y'(t)(=q(t)g(y'(t)f(y(t)a(t)(y'(t)f'(y(t)y'(t)'(t)<Aq(t)f(y(

5、t)2t+与渐近性的研究已经取得了丰富的结果1-8，但是，对于既可以为奇数/奇数，又可以为偶数/奇数的振动与渐近性的判据相对较少.本文利用一些分析的技巧，得到方程(1)、(2)解振动与渐近性的充分性判据，所获结果可分别应用于=奇/奇与=偶/奇的情形.改进推广了已有文献1-5中的相应结论.我们称一个非平凡函数y(t)为方程(1)(或(2)的一个解是指y(t)满足式(1)(或式(2).这个解振动是指它在某半直线t0,+)上有定义且零点集为无界集; 否则称它为不振动的.若方程(1)(或(2)的所有解振动，则称方程(1)(或(2)是振动的.为了方便，我们总假定所考虑的函数在其定义域内连续.定理1 如果

6、(H0)uf(u)>0(u0),且f'(u)0； (H1)存在常数，A>0使g(u)A；(5)对(5)由t1到t积分可得a(t)(y'(t)a(t1)(y'(t1)<Af(y(t)f(y(t1)tt1q(s)ds (6)由条件(H2)可知，当t+时，右端为，与左边非负矛盾.情形2 设tt1T0时，y'(t)<0，且y'(t)< 0，由(H1)有，当tt1时,(a(t)(y'(t)'+Aq(t)f(y(t)(a(t)(y'(t)'+q(t)f(y(t)g(y'(t)从而由方程(1)有，当

7、tt1时:(H2)+t0q(s)ds=+，+1a(t),dt=+；t0第2期 赵敏之, 赵智国 二阶非线性泛函微分方程解的振动性与渐近性 9(a(t)(y'(t)'Aq(t)f(y(t)<0 (7) 由t1到t积分(7)式有a(t)(y'(t)a(t1)(y'(t1)Af(y(t)t1ta(t)(y'(t)a(t1)(y'(t1) (7*)结合条件(H1)有q(s)dsa(t1)(y'(t1)Af(M)q(s)dst1ta(t1)y'(t)()y'(t1)<0 (7*)a(t)由t1到t积分上式有:则由条件(H

8、2)可知上式右端为，与左端非负矛盾.从而有limy(t)=0.t+y(t)y(t1)+(a(t1)1ds, y'(t1)t1a(s)t(II)设tT0t0时，y(t)<0，且y(t)<0. 情形1 当tt1T0时,y'(t)>0,且y'(t)>0. 由a(t1)(y'(t1)'0可得,当tt1时a(t)(y'(t)于是由（H2）可知，当t充分大时，必有y(t)<0，与假设矛盾.(II)设tT0t0时，y(t)<0，y(t)<0.情形1 设tt1T0时,y'(t)>0,且y'(t)&g

9、t;0,由(H1)有，tt1时a(t1)(y'(t1)>0,于是有:1>0 a(t)由(H2)可知t充分大时必有y(t)>0, 与tt1时y(t)<0最终成立矛盾.情形2 设tt1T0时，且y'(t)<0，y'(t)<0，y'(t)(a(t1)y'(t1)(0=(a(t)(y'(t)'+q(t)f(y(t)g(y'(t)(a(t)(y'(t)'+Aq(t)f(y(t)由t1到t积分（8）式有结合=偶数/奇数, 由(a(t)(y'(t)'0可得:(8)a(t)(y&

10、#39;(t)a(t1)(y'(t1)+Aq(s)(f(y(s)dsa(t1)(y'(t1)>0t1ta(t1)<0 a(t)从而当t+时，必有y(t).因此，y(t)<0时，必有limy(t)=.定理1证毕.y'(t)y'(t1)(t+(8*)注1 由于本文在考虑文1-4中微分方程在具有时滞的广泛情形，我们的结论不要求a(t)是可微函数，而且在本文的条件下，定理1比文1-4中的相应结论更广泛，从而推广了文1-5中的相应结论.定理2假设(i)±a(t1)*)y'(t1)>0 (8) a(t)从而当t充分大时，必有y(t)

11、>0，与假设矛盾.有 y'(t)(tq(t)dt<；(ii)>0,情形2 设tt1T0时,y'(t)<0,且y'(t)<0，由定理的条件,可知(5)、(6)仍然成立，从而由(6)的右端为，左端非负导出矛盾.=偶数/奇数时, 结合定理的条件，由方程(1)可知，（i）当y(t)>0时，(a(t)(y'(t)'0且dyf(y)1/<；(iii)a'(t)0,且(t)t，并且定理1 1中的其它条件均成立，另外(iv)'(t)(t0a(t)tq(s)ds)dt=，则定理1的结论成立.(ii)当y(t)<

12、;0时，(a(t)(y'(t)'0a(t)(y'(t)0；且a(t)(y'(t)0，从而当y(t)不振动时必有y'(t)也是不振动的.(I)当tT0t0时，y(t)>0，且y(t)>0.情形1 当tt1T0时，y'(t)>0且y'(t)> 0. 由定理的条件，可知(5)、(6)式均成立，结合(6)式可类似地导出矛盾.情形2 当tt1T0时,y'(t)<0,且y'(t)<0. 由y(t)>0可知，当t+时y(t)存在非负的极限. 设limy(t)=M>0,则当tt1时,f(y(

13、t)f(M).t+证明 类似于定理1的证明，在定理2的条件下，y(t)是方程(1)的不振动解时，则y'(t)也是不振动的.下面我们分情形进行证明.=奇数/奇数时(I)设tT0t0时，y(t)>0且y(t)>0.情形1 当tt1T0时，y'(t)>0且y(t)>0. 则由(5)、(6)有，当tt1时:ta(t)(y'(t)a(t1)(y'(t1)0Aq(s)ds (9)tf(y(t)f(y(t1)1从而有当tt1时:于是由t1到t积分(7)式有:a(t)(y'(t)Af(y(t)tq(s)ds (10)10 湖 南 文 理 学 院

14、学 报（自 然 科 学 版） 2005年则y'(t)f(y(t)结合方程（1）可知a'(t)(y'(t)+a(t)(y'(t)1y''(t)+A(1q(s)ds) (11)a(t)tf(y(t)f(M)>0，对tt1，由t1到t积分(7)有, 当tt1时:0<a(t)(y'(t)a(t1)(y'(t1)Af(M)q(s) (15)t1tq(t)f(y(t)g(y'(t)=0(12)则a(t1)(y'(t1)Af(M)q(s)ds，从而,当tt1时:t1y'(t)(Af(M)对(16)从t1到t积

15、分有于是结合定理的条件及tt1时，y'(t)>0可得，当从而0<y'(t)y'(t)，再由(11)tt1时，y''(t)0，有,当tt1时， (13) y'(t)'(t)A'(t)(1q(s)ds)a(t)tf(y(t)对(13)从t1到t积分得:1(16) qsds()ta(t)y(t1)y(t1)y(t)(Af(M)(a(s)t1t1tq(u)du)ds(17)A1'(s)(q(u)du)dsa(s)st1t令t+，则(17)的右端为+，与左端为有限数矛盾,因此, limy(t)=0.t+ty'(s

16、)(s)(y(s)t1fds+y(t1)du(14)f(u)由条件可知t+时，(14)的左端为+，与右端为有限数矛盾.(II)设tT0t0时， y(t)<0且y(t)<0情形1当tt1T0时，y'(t)>0且y'(t)>0，则由定理2的条件可知(8)，(8*)，(8*)仍然成立.从而可类似于定理1导出矛盾.情形2当tt1T0时，y'(t)<0且y'(t)<0，则(9)-(12)仍然成立，由(12)可得，当tt1时，y''(t)0，从而y'(t)y'(t)<0，由(11)有:(II)tT0t

17、0时, y(t)<0且y(t)<0，证明类似于(I). 定理2证毕.现设F(x,y)满足如下条件（H4）当x, y同号时，F(x,y)与x, y同号，且存在f(x),h(y)满足:(i) F(x,y)f(x)h(y);(ii)存在常数K>0，使定理2的证明，可以得到如h(y)K>0.由定理1，下结论.定理3 假设定理1(或定理2)的条件满足，且(H4)成立时，则有(i)=奇数/奇数时，方程(2)振动；(ii)=偶数/奇数时，方程(2)的解或者振动，或者limy(t)=0，或者limy(t)=.t+t+注2 由本文定理的证明，还可以考虑更广泛一些的方程.例如，g=g(y&

18、#39;(t),y(t)>A时相应结论仍然成立.另外，定理2，3中，=偶数/奇数时相应结论的条件+t01(a(s)=+还可以去掉.y'(t)'(t)f(y(t)A'(t)(1a(t)q(s)ds)t参考文献1 Li, W. T., Oscillation of certain second order nonlinear differential equationJ. J. M. A. A., 1998,217(1): H4. 2 Wong, P. J. Y. and Agarwal, R. P., Oscillatory behavior ofsolutions

19、 of certain second order nonlinear differential equationsJ. J. M. A. A., 1996, 198(2): 337-354. 3 白玉真. 二阶差分方程解的振动性与渐近性J. 系统科学与数学, 2001, 21(2): 223-234.(下转第19页)由t1到t积分上式，由定理的条件即可导出矛盾.=偶数/奇数(I)设tT0t0时，y(t)>0且y(t)>0.情形1当tt1T0时，y'(t)>0且y'(t)>0，则(9)-(14)仍然成立，可类似导出矛盾.情形2 当tt1T0时，y'

20、(t)<0且y'(t)<0，若M>0，则当tt1时则存在M0使limy(t)=M，t+第2期 文盛乐，杨江河 关于细圆环内感生电动势的几点讨论 19力来解释”, 但“用洛伦兹力可以解释的不都是动生电动势”一样. 从这里也可以看出,场才是最本质的. 因为只有场才把空间每点每时刻的情况描述得最清楚.参考文献:1 程守洙, 江之永. 普通物理学(第2册)M. 北京: 高等教育出版社, 1982. 194, 217.2 苏曾燧. 普通物理学思考题集M. 北京: 高等教育出版社, 1966. 120.3 梁灿彬. 电磁学M. 北京: 人民教育出版社, 1980. 379.(上接

21、第10页)4 白玉真. 一类二阶非线性微分方程解的振动性与渐近性J. 数学年刊, 2002, 23A(3): 339-344.5 彭名书, 葛渭高, 王淮. 非线性泛函微分方程解的性态J. 应用数学学报, 2002, 25(2): 365-317.6 王其如. 二阶非线性微分方程的振动准则J. 数学学报,2001, 44(2): 371-376.7 仉志余, 周勇, 俞元洪. 非线性二阶泛函微分方程的振动准则J. 系统科学与数学, 2000, 20(1): 1-10.8 郑祖庥. 泛函微分方程理论M. 合肥: 安徽教育出版社,1994.On Induced Electromotive Forc

22、ein a Fine CircleWEN SHeng-le1, YANG Jiang-he2(1 College of Physics and Information Scienece, Hunan NormalUniversity, Changsha Hunan, 410081;2 Department of Physics and Electronics, Hunan University ofArts and Science, Changde Hunan, 415000)Abstract:The reaction of fine circles in magnetic field wit

23、h certain rate of change momentum was analysed. It shows that under different conditions the induced electromotive force and the induced current are unsimilar in fine circles with similar geometric structcue.Key words: fine circle; induced electromotive force; electromagnetic induction; induction electric field收稿日期: 2005-01-08作者简介: 文盛乐(1948-), 男, 教授，主要从事基础理论教学与场