一种求解线性约束的非线性规划神经网络方法

1、计算机工程与应用，（）一种求解线性约束的非线性规划神经网络方法申芸，吕咏梅，周永权，广西民族大学数学与计算机科学学院，南宁，（）：，：，：；摘要：针对线性约束的非线性规划的求解问题，利用罚函数求解优化问题的思想将其转化为二次凸规划，基于神经网络的结构实验仿真结果表明，该方法是特性，定义所需的能量函数，从而使网络收敛于唯一稳定点最终实现线性约束的非线性规划的求解。有效和正确的，且能推广到含参的非线性规划和多目标规划中去。关键词：线性约束；非线性规划；神经网络；稳定点：文章编号：（）文献标识码：中图分类号：引言考虑下述线性约束的非线性规划：（，），则，使得，其中，原非线性规划问题式（）转化为与它等

2、价的：（）#（），%（），定义神经网络的能量函数：!（）（）其中，是×（），（，矩阵，且秩，），（）是上的连续可微函数。式二次规划和网络（）代表了一大类优化问题，如线性规划、流问题等，因此实时求解它具有非常重要的应用。近年来，用神经网络求解优化问题已取得了一些很好的成果，如文献基于（）!"，"，"，"，"），"式中：是惩罚因子，（，），（）的最是的范数。显然，式小值对应于原非线性规划的最优解。因此，原非线性规划等价于下列二次凸规划：乘数方法建立了解约束优化问题的网络模型，该模型总能收敛于一个可行解但不能保证问题的最优性；文献

3、基于最优性的充要条件来建立神经网络模型；文献基于罚函数求解约束优化问题的网络模型。本文拟在文献的模型和方法的基础上，提出一种解线性约束非线性凸规划问题的神经网络模型，基于罚函数求解优化问题的思想对其转化为二次凸规划，利用神经网络的相关特性，定义所需的能量函数，从而使网络收敛于唯一的稳定点。%!（）（）要使网络全局渐进收敛于线性规划问题的最优解，首先保证网络的能量函数是凸函数，其次保证网络有唯一的、全局吸引的平衡点。为满足第二项的要求，对能量函数做下述变换!（）神经网络结构考虑采用罚函数方法，首先，引进个新的变量，（）则凸规划式（）变为：基金项目：国家自然科学基金（）；广西自然科学基金（）。作者

4、简介：申芸（），女，主要研究方向：神经网络及其应用；吕咏梅（），女，硕士，主要研究方向：计算智能及其应用；周永权（），男，博士，教授，主要研究方向：计算智能、神经网络及应用。收稿日期：修回日期：，（）计算机工程与应用"（）（）加入松弛变量，则：（，），（，），故神经网络状态方程：于是，构造非线性规划的网络状态方程：）（）（）!（）（）（），（）式中：是迭代步长，激励函数保证了网络输出，能量函!。数中引理神经网络式（）的平衡点是非线性规划式（）的最优解。引理神经网络式（）是渐进稳定的，能唯一收敛到。由网络状态方程知，网络的连接权矩阵。根据文献知，若（），则能量函数是函数，是全局吸引的，

5、其中表示权矩阵中元素绝对值的最大值。经观察发现，本神经网络模型同样适用于线性约束的参数非线性规划的求解问题，即：&()"（），（），（）。），模型取初始点：（，），（）。模型迭代次后收敛于（，），目标值（，）。本例的理论值为（，）。图给出、随迭代次数的变化情况。例关于线性约束含有参数的非线性规划：（，），（，）（）（，），-.式中：是×（），（，矩阵，且秩，），（，），+，（，）是（，）。初始化：（，）取任意的初值，模型迭代次后收敛，（）。（，（，）。图给出目，），最小目标值为标值随的变化曲线，图给出能量函数随的变化曲线。上的连续可微函数。要运用本文中的神经网络模型

6、，只需把的每一个分量看作变量的一个分量，则（，），同时转化到大于零的区间上求解即可。在多目标规划的众多方法中有一个叫功效系数法，这个方法中的系数（权重），（，），是不容易确定的，大多情况下是必须事先给定的，而且必须满足（,结论非线性规划的神经网络求法的关键是模型的算法是否收），敛。本文正是利用线性约束条件，建立相应的神经网络模型，针对线性约束的非线性规划的求解问题，利用罚函数求解优化问题的思想对其转化为二次凸规划，基于神经网络的结构特性，定义所需的能量函数，从而使网络收敛于唯一的稳定点最终实现线性约束的非线性规划的求解。但对于非线性约束的非线性规划，本神经网络算法是不适用的，如何改进将是人们下

7、一步所要做的研究工作。但是如果将其权重看成参数，则多目标问题就转化为单目标参数非线性规划问题，故本文的神经网络同样适用于多目标规划，但是约束条件必须是线性的。数值仿真例采用文献中的例子：（，）（）参考文献：，：，（下转页），张华：基于的等角插补明暗处理的软件实现，（）坐标，进而完成渲染管道中所有的变换运算。然后在伪像素级利用等角插补公式计算等角插补明暗处理。渲染管道的计算由于渲染管道的各级运算类似，故本文举透视投影变换为例，设前一级变换的结果坐标为（，），根据文献，透视变换投影矩阵为：!"""""""""

8、""""""""#其中：、分别是远近裁剪平面的坐标；、分别是上下裁剪平卖的坐标，、分别是右左裁剪平面的坐标。那么透视投影变换的变换运算为：!$""%（）%""%""%$""%!%""%"%"%""%（）%"%""%"%""%""%"%（）"%"%"%"

9、;"%"%"%"（）%"%""%"%"%""%#&""%""%""%#&&其代码如下所示。（，）$%&其中为漫反射系数，为简化起见，本文假设为常数，且设光源为平行光（如太阳光）。（）计算由第章的方法，可以得到相应的插补角，那么据文献的等角插补明暗处理公式，得到插补点的法向量：（）（）因此。（）实验由于三角形是渲染的基本单元，本文以三角形的三个顶点（，），（，）和（，）为例，通过上述渲染管道和等角插补明暗处理的运算，得到如图所示的实验结果。另外由得出的实验结果如图所示，可以看出两图视觉效果相同。输入参数分别透视投影变换矩阵，前一级变换的结果坐标，输出参数存入；，；临时变量，暂存变换结果；（；）结语本文通过分析渲染管道和等角插补明暗处理，用语言实现了渲染管道的硬件计算部分，同时用语言实现了等角插补明暗处理，并给出了实验结果。本文的实现可为渲染算法的研究和实现提供参考。参考文献：，（）：，；输出结果等角插补明暗处理给定一光照模型和光源，然后用扫描线和等角插补公式来，（）：，计算等角插补明暗处理。光照模型及光源本文采用简单的光照模型，其模型示意图