DVD在线租赁满意度算法探讨

1、DVD在线租赁满意度算法探讨    摘 要 提出了DVD在线租赁问题。根据不同时段、不同会员偏好程度，对不同种类DVD的分配及购买进行了讨论，得到平均满意度为0.805，平均满意度的方差为0.185，说明此种分配能够使会员获得最大满意度。 关键词 满意度 权重 偏爱程度 中图分类号 F713.36 文献标识码 A 1 问题的提出 在线DVD租赁问题指顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手

2、头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题： （1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1 000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%的会员只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少9

3、5%的会员能够看到该DVD呢？ （2）表2中列出了网站手上20种DVD的现有张数和当前需要处理的100位会员的在线订单。如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001C0030）分别获得哪些DVD。 （3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理人员，如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？    2 条件的假设 （1）会员和网站之间的邮寄无时间滞留，即一经寄出便能收到。 （2）不考虑DVD片的损伤带

4、来的影响。 （3）假设60%的会员在半个月内将DVD还回。 （4）不提供给会员要求以外的DVD片，且所租的DVD片不重复。 3 符号说明 xi：第i张DVD的数量；ni：在1 000个会员中愿意观看第i张DVD的人数；xij：第i个会员需要第j号DVD；yi：第i个会员的满意度；w（j）：DVD现有数量；u（ij）：表示100个会员中对第j号DVD偏好所需DVD数量；t：DVD片数；n：会员人数。 4 模型的分析与求解 4.1 问题一的分析与求解 （1）问题一的分析与模型建立。根据网站提供的历史数据，60%的会员每月租赁两次DVD，而另外的40%只租1次。即：60%的会员租DVD后，如果能在半

5、月内将DVD归还，就可在1个月租DVD两次，而40%的会员租DVD后1个月内必须归还。 假设应该至少准备xi张DVD，则当月可将该DVD租给的人数是：xi+xi×60%。 网站现有10万个会员，根据对1 000个会员愿意观看该DVD的人数比例，则10万个会员对表1中5种DVD的需求量数为：×100 000。所以，当50%时，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在1个月内能够看到该DVD。 如果要求保证在3个月内至少有95%的会员能够看到该DVD，假设至少应该准备xi张DVD，使当月能租到该DVD的人数为3（xi+xi×60%），于是有： 95% （2）问题一

6、的求解。当i=1，2，3，4，5时，第i张DVD至少需要购买量（如表3所示）。 4.2 问题二的分析与求解 （1）问题二的分析与模型建立。现在网站有20种DVD的现有张数及当前需要处理的100位会员的在线订单，因为每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次最多获得3张DVD，按照会员对每张DVD偏爱程度1，2，3，及现有张数分配，会员可能一张DVD也得不到，那么其满意度就是0。我们需要知道订单中会员对每种DVD不同偏爱程度的人数。考虑到尽量满足会员的偏爱程度，使其满意度尽量达到最高，利用计算机编程，统计出对每种DVD不同偏爱程度的人数情况（略）。 由题目知道会员对在线订单用数字1、2、3表示其对

7、DVD的偏爱程度，数字越小表示会员偏爱程度越高，所以将会员对所获得DVD的满意度进行量化，定义如下：会员在订单中提交DVD的张数m为最偏爱（订单中最偏爱程度用数字1表示，次之为2，）的DVD满意度权重值。 如某会员在DVD订单中提交了t张DVD，则可得出会员对所选DVD的权重值（见表4）。    若会员最多获得3张DVD，当满足会员偏好程度在前三项的DVD时，其满意度为100%。因此，第i个会员获得偏好程度为j的第n号DVD的满意度yij为： yij= 即，yij= 其中，j：表示第i个会员在订单中的第n号DVD的偏爱等级；ti：表示第i个会员提交订单中

8、需求的DVD数）。 要使会员获得最大的满意度，就必须对这些DVD进行合理的分配，并在分配后，求出会员的满意度。判断分配的合理性是以总体满意度的大小来衡量，总体满意度为各会员满意度的平均值。 （2）问题二的求解。将DVD按照偏爱程度顺序及满意权重大小比较优化分配原则进行分配。将表2中按偏爱程度顺序统计出会员对每种DVD的需求与DVD现有数量作比较，即先考虑表2中的第1行需求量，再考虑第2行、第3行 当w（j）u（ij）时，将第j号DVD分配给偏爱程度为i的会员，且DVD数少于3并需要此DVD的会员，得到此DVD用“”标记并记录此会员得到的DVD张数，剩余DVD数=w（j）-u（ij）。 当w（j

9、）<u（ij）时，按照会员满意度权重系数从大到小进行分配。如：DVD2现有DVD数量为1张，而第一需求的会员为4人，即会员C0027、C0033、C0097、C0099，将四位会员满意度权重系数（，）进行比较，分配给满意度权重系数大的C0033号会员；当会员满意度都相同时，按会员序号从小到大分配DVD，会员得到此DVD用“”标记并记录此会员得到的DVD张数，此时w（j）=0；分配DVD数的原则是不能超过三张。按此原则依次进行分配，将每位会员分配到的DVD，根据权重系数计算其满意度yi，求出平均值 y=。 根据上述原则利用计算机进行编程即可得前30位会员获得DVD。 得到平均满意度为0.8

10、05，平均满意度的方差为0.185，说明此种分配能够使会员获得最大满意度。 4.3 问题三的分析与求解 根据问题一的求解思路，此时在线订单会员有100位，统计订单中会员对每种DVD前三位偏爱程度人数情况，得出愿意观看各种DVD的人数，则每种DVD至少应该准备xi张，当月可将该DVD租给的人数是（xi+xi×60%），而100个会员对第i种DVD片的需求量为：×100（其中ri表示第i种DVD片会员偏爱度位于前三位的数据总和）。 于是在1个月内，要保证95%的会员得到他想看的DVD，就有： 95%。 即得各种DVD需要的购买量。对购买的DVD继续按照问题二的原则进行分配，才能

11、使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大。 5 模型的推广与评价 在问题二的求解过程中，100位会员中有会员C046没有订上期望中的任何一张DVD。为了提高该会员的满意度，因其第一偏爱程度的DVD为D015，将满意度达到100%的拥有D015DVD的会员的DVD分配给会员C046，则平均满意度的方差为0.173。 （1）该模型不仅可应用于DVD在线租赁问题，还可以推广到实际生活中的汽车、房地产、机械等的租赁问题。在公务员选拔、高考录取、政策实施等方面也有异曲同工之处。在考虑到整体满意度的条件下，如何进行组合分配优化是解决问题的关键所在。 （2）对每月租赁次数的分析。作为网站经营

12、者，会员的总体满意度越高，就会吸引更多的会员加入,网站的收益也就会越大。那么在考虑会员满意度的同时，如何降低网站的经营成本就成为关键问题。 我们对满意度有如下定义（见表5）：    总碟数一定，针对固定会员数进行每月租碟次数讨论：第一次租碟分配满意度为80.5%，那么第二次租碟时由于碟片种类和数目未更新，整体满意度就会降低。经分析，我们认为应满足f（n）=aebn分布。f(n)为第n次分配满意度。 分析：每月租一次碟，即（30天）总体满意度为80.5%，满意；每月租二次碟，即（15天）总体满意度为72.65%，满意；每月租三次碟，即（10天）总体满意度为

13、65.8%，较满意。第三次的满意度为52.2%，接近不满意程度，此时应该考虑必须更换碟的种类和增加碟的数量。在110天内满意(80.5%)，在1020天内较满意(72.65%)，在2030天内一般满意(65.8%)。为了达到满意程度，在110天内就要考虑准备更新少部分碟片，在1020天内必须更换部分碟片，否则2030天内就会使会员不满意。 由此类推，为了提高满意度使网站收益，必须及时更新一定数量碟片。每月租赁次数越大，更新周期就越短，更新碟片的数量和种类就越多。因此要找一个会员满意度较高和网站负荷相对较小的平衡点（见表6）。 经分析，由函数f（n）=aebn推理出来的每月租碟较合理的次数为23次，这与题目所给的每月租2次的已知条件相符合。 由于题设数据有限，函数f（n）的构造满足何种分布，只能按照实际情况进行估计，从得出的结果来看比较符