四川专用理步步高高三数学大一轮复习讲义配套Word版文档41

1、§4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数2019高考会这样考1.考查三角函数的定义及应用；2.考查三角函数的符号；3.考查弧长公式、扇形面积公式复习备考要这样做1.理解任意角的概念，会在坐标系中表示及识别角；2.掌握三角函数的定义，这是三角函数的基石1 角的概念(1)任意角：定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角(2)所有与角终边相同的角，连同角在内，构成的角的集合是S|k·360°，kZ(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说

2、这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限2 弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零(2)角度制和弧度制的互化：180° rad,1° rad,1 rad°.(3)扇形的弧长公式：l|·r，扇形的面积公式：Slr|·r2.3 任意角的三角函数任意角的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin y，cos x，tan .三个三角函数的初步性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin Rcos Rtan

3、 |k，kZ4. 三角函数线如下图，设角的终边与单位圆交于点P，过P作PMx轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与的终边或终边的反向延长线相交于点T.三角函数线()()()()有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线难点正本疑点清源1 对角概念的理解要准确(1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°90°的角”等同于“第一象限的角”其实锐角的集合是|0°<<90°，第一象限角的集合为|k·360°<<k·360°90°，

4、kZ(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等2 对三角函数的理解要透彻三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数，也可以看成是以实数为自变量的函数，定义域为使比值有意义的角的范围如tan 有意义的条件是角终边上任一点P(x，y)的横坐标不等于零，也就是角的终边不能与y轴重合，故正切函数的定义域为.3 三角函数线是三角函数的几何表示(1)正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负(2)余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负(3)当角的终边在x轴上时，点T与点A重合，此时正切线变成了一个点，当角的终边在y

5、轴上时，点T不存在，即正切线不存在(4)在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上，还可以从图形角度考察任意角的三角函数，即用有向线段表示三角函数值，这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方1 若点P在角的终边上，且|OP|2，则点P的坐标是_答案(1，)解析x|OP|cos 2×1，y|OP|sin .点P的坐标为(1，)2 (2019·江西)已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y_.答案8解析因为sin ，所以y<0，且y264，所以y8.3 下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45° (k

6、Z) Bk·360° (kZ)Ck·360°315°(kZ) Dk (kZ)答案C解析与的终边相同的角可以写成2k (kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确4 已知cos ·tan <0，那么角是()A第一或第二象限角 B第二或第三象限角C第三或第四象限角 D第一或第四象限角答案C解析若cos >0，tan <0，则在第四象限；若cos <0，tan >0，则在第三象限，选C.5 已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是 ()A1 B4C1或4 D2或4答案C解

7、析设此扇形的半径为r，弧长为l，则解得或从而4或1.题型一角的有关问题例1(1)写出终边在直线yx上的角的集合；(2)若角的终边与角的终边相同，求在0,2)内终边与角的终边相同的角；(3)已知角是第一象限角，试确定2、所在的象限思维启迪：利用终边相同的角进行表示或判断；根据角的定义可以把角放在坐标系中确定所在象限解(1)终边在直线yx上的角的集合为|k，kZ(2)所有与角终边相同的角的集合是|2k，kZ，所有与角终边相同的角可表示为k，kZ.在0,2)内终边与角终边相同的角有，.(3)2k<<2k，kZ，4k<2<4k，k<<k，kZ.2在第一或第二象限或终

8、边在y轴非负半轴上，角终边在第一或第三象限探究提高所有与角终边相同的角(连同角在内)，可以表示为k·360°，kZ；在确定角所在象限时，有时需要对整数k的奇、偶情况进行讨论 已知角45°，(1)在区间720°，0°内找出所有与角有相同终边的角；(2)设集合M，N，那么两集合的关系是什么？解(1)所有与角有相同终边的角可表示为45°k×360°(kZ)，则令720°45°k×360°0°，得765°k×360°45°，解得k，从

9、而k2或k1，代入得675°或315°.(2)因为Mx|x(2k1)×45°，kZ表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合Nx|x(k1)×45°，kZ表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：MN.题型二三角函数的定义例2已知角的终边经过点P(x，) (x0)，且cos x，求sin 的值思维启迪：先根据任意角的三角函数的定义求x，再求sin 的值解P(x，) (x0)，点P到原点的距离r.又cos x，cos x.x0，x±.r2.当x时，P点坐标为(，)，由三角函数的定义，有sin ，sin ；

10、当x时，同理可求得sin .探究提高任意角的三角函数值与终边所在的位置有关，与点在终边上的位置无关，故要首先判定P点所在的象限，确定r，最后根据定义求解 已知角的终边在直线3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值解角的终边在直线3x4y0上，在角的终边上任取一点P(4t，3t) (t0)，则x4t，y3t，r5|t|，当t>0时，r5t，sin ，cos ，tan ；当t<0时，r5t，sin ，cos ，tan .综上可知，sin ，cos ，tan 或sin ，cos ，tan .题型三三角函数线、三角函数值的符号例3(1)若是第二象限角，试判断的符号；(2)已知cos

11、 ，求角的集合思维启迪：由所在象限，可以确定sin 、cos 的符号；解三角不等式，可以利用三角函数线解(1)2k<<2k (kZ)，1<cos <0,4k<2<4k2 (kZ)，1sin 2<0，sin(cos )<0，cos(sin 2)>0.<0.的符号是负号(2)作直线x交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围，故满足条件的角的集合为|2k2k，kZ探究提高(1)熟练掌握三角函数在各象限的符号(2)利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤：用边界值定出角的终边位置；根据不等式(

12、组)定出角的范围；求交集，找单位圆中公共的部分；写出角的表达式 (1)y的定义域为_(2)已知sin 2<0，且|cos |cos ，则点P(tan ，cos )在第几象限？(1)答案x|2kx2k，kZ解析sin x，作直线y交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为x|2kx2k，kZ(2)解方法一由sin 2<0，得2k<2<2k2 (kZ)，k<<k (kZ)当k为奇数时，的终边在第四象限；当k为偶数时，的终边在第二象限又因cos 0，所以的终边在左半坐标平面(包括y轴)，所

13、以的终边在第二象限所以tan <0，cos <0，点P在第三象限方法二由|cos |cos 知cos 0，又sin 2<0，即2sin cos <0由可推出因此在第二象限，P(tan ，cos )在第三象限题型四扇形的弧长、面积公式的应用例4已知一扇形的圆心角为 (>0)，所在圆的半径为R.(1)若60°，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C>0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？思维启迪：(1)弓形面积可用扇形面积与三角形面积相减得到；(2)建立关于的函数解(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则60

14、°，R10，l×10 (cm)，S弓S扇S××10×102×sin 50 (cm2)(2)扇形周长C2Rl2RR，R，S扇·R2·2··.当且仅当24，即2时，扇形面积有最大值.探究提高(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值(3)记住下列公式：lR；SlR；SR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，(0<<2)为圆心角，S是扇形面积 (1)一个半径为r的扇形，若它的周长等

15、于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？(2)一扇形的周长为20 cm；当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解(1)设扇形的圆心角为 rad，则扇形的周长是2rr.依题意：2rrr，(2)rad.扇形的面积Sr2(2)r2.(2)设扇形的半径为r，弧长为l，则l2r20，即l202r (0<r<10)扇形的面积Slr(202r)rr210r(r5)225.当r5时，S有最大值25，此时l10，2 rad.因此，当2 rad时，扇形的面积取最大值数形结合思想在三角函数线中的应用典例：(12分)(1)求函数ylg(34sin2x)的定义域；(2)

16、设是第二象限角，试比较sin ，cos ，tan 的大小审题视角(1)求定义域，就是求使34sin2x>0的x的范围用三角函数线求解(2)比较大小，可以从以下几个角度观察：是第二象限角，是第几象限角？首先应予以确定sin ，cos ，tan 不能求出确定值，但可以画出三角函数线借助三角函数线比较大小规范解答解(1)34sin2x>0，sin2x<，<sin x<.2分利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，x(kZ)4分(2)是第二象限角，2k<<2k，kZ，k<<k，kZ，是第一或第三象限的角6分(如图阴影部分)，结合

17、单位圆上的三角函数线可得：当是第一象限角时，sin AB，cos OA，tan CT，从而得，cos <sin <tan ；8分当是第三象限角时，sin EF，cos OE，tan CT，得sin <cos <tan .10分综上可得，当在第一象限时，cos <sin <tan ；当在第三象限时，sin <cos <tan .12分温馨提醒1.第(1)小题的实质是解一个简单的三角不等式，可以用三角函数图象，也可以用三角函数线用三角函数线更方便.2.第(2)小题比较大小，由于没有给出具体的角度，所以用图形可以更直观的表示.3.本题易错点：不能确定所

18、在的象限；想不到应用三角函数线原因在于概念理解不透，方法不够灵活方法与技巧1在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点|OP|r一定是正值2三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦3在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧失误与防范1注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第二、第三类是区间角2角度制与弧度制可利用180° rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用3注意熟记0°360°间特殊

19、角的弧度表示A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 角的终边过点P(1,2)，则sin 等于()A. B. C D答案B解析由三角函数的定义，得sin .2 若是第三象限角，则下列各式中不成立的是()Asin cos <0 Btan sin <0Ccos tan <0 Dtan sin <0答案B解析在第三象限，sin <0，cos <0，tan >0，则可排除A、C、D，故选B.3 已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为()A2 B4 C6 D8答案C解析设扇形的半径为R，则R2|2，

20、R21，R1，扇形的周长为2R|·R246，故选C.4 有下列命题：终边相同的角的同名三角函数的值相等；终边不同的角的同名三角函数的值不等；若sin >0，则是第一、二象限的角；若是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos .其中正确的命题的个数是()A1 B2 C3 D4答案A解析正确，不正确，sin sin ，而与角的终边不相同不正确sin >0，的终边也可能在y轴的非负半轴上不正确在三角函数的定义中，cos ，不论角在平面直角坐标系的任何位置，结论都成立二、填空题(每小题5分，共15分)5 已知点P(tan ，cos )在第三象限，则角的终边在第_象限答

21、案二解析点P在第三象限，tan <0，cos <0.在第二象限6 设为第二象限角，其终边上一点为P(m，)，且cos m，则sin 的值为_答案解析设P(m，)到原点O的距离为r，则cos m，r2，sin .7 函数y的定义域是_答案(kZ)解析由题意知即x的取值范围为2kx2k，kZ.三、解答题(共22分)8 (10分)已知角的终边经过点P(，m) (m0)且sin m，试判断角所在的象限，并求cos 和tan 的值解由题意，得r，所以sin m.因为m0，所以m±，故角是第二或第三象限角当m时，r2，点P的坐标为(，)，角是第二象限角，所以cos ，tan ；当m时

22、，r2，点P的坐标为(，)，角是第三象限角，所以cos ，tan .9 (12分)一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.解设圆的半径为r cm，弧长为l cm，则解得圆心角2.如图，过O作OHAB于H，则AOH1弧度AH1·sin 1sin 1(cm)，AB2sin 1(cm)B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 已知角的终边过点P(8m，6sin 30°)，且cos ，则m的值为()A B. C D.答案B解析r，cos ，m>0，即m.2 已知点P落在角的终边上，且0,2)，则的值为 ()A. B. C. D.答案D解析由sin >0，cos <0知角是第四象限的角，tan 1，0,2)，.3 给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若sin sin ，则与的终边相同；若cos <0，则是第二或第三象限的角其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4答案A解析由于第一象限角370&