四川专用理步步高高三数学大一轮复习讲义配套Word版文档44

1、§4.4函数yAsin(x)的图象及应用2019高考会这样考1.考查函数yAsin(x)的图象变换；2.结合三角恒等变换考查yAsin(x)的性质和应用；3.考查给出图象的解析式复习备考要这样做1.掌握“五点法”作图，抓住函数yAsin(x)的图象的特征；2.理解三种图象变换，从整体思想和数形结合思想确定函数yAsin(x)的性质1 用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示.xx02yAsin(x)0A0A02. 函数ysin x的图象经变换得到yAsin(x)的图象的步骤如下：3 图象的对称性函数yAsin(x) (A>0，>0)的图象是轴

2、对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数yAsin(x)的图象关于直线xxk(其中xkk，kZ)成轴对称图形(2)函数yAsin(x)的图象关于点(xk,0)(其中xkk，kZ)成中心对称图形难点正本疑点清源1 作图时应注意的两点(1)作函数的图象时，首先要确定函数的定义域(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象2 图象变换的两种方法的区别由ysin x的图象，利用图象变换作函数yAsin(x)(A>0，>0) (xR)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别先平移变换再

3、周期变换(伸缩变换)，平移的量是|个单位，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位1 已知简谐运动f(x)2sin (|<)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相分别为_答案6，解析由题意知12sin ，得sin ，又|<，得；而此函数的最小正周期为T2÷6.2 (2019·浙江)把函数ycos 2x1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是 ()答案A解析ycos 2x1ycos x1ycos(x1)1ycos(x1)结合选项可知应选A.3 (2019&#

4、183;大纲全国)设函数f(x)cos x (>0)，将yf(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值等于 ()A. B3 C6 D9答案C解析由题意可知，nT (nN*)，n· (nN*)，6n (nN*)，当n1时，取得最小值6.4 把函数ysin的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得的函数解析式为()Aysin BysinCysin Dysin答案D解析将原函数的图象向右平移个单位，得到函数ysinsin的图象；再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，得到函数ysin的图象5. 已知简谐运动f(x)Asin(x

5、) (|<)的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T和初相分别为()AT6， BT6，CT6， DT6，答案C解析由图象易知A2，T6，又图象过(1,2)点，sin1，2k，kZ，又|<，.题型一函数yAsin(x)的图象及变换例1已知函数y2sin，(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y2sin的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换而得到思维启迪：(1)由振幅、周期、初相的定义即可解决(2)五点法作图，关键是找出与x相对应的五个点(3)只要看清由谁变换得到谁即可解(1)y2sin的振幅A2，周期T，初相.(2)令X2x，则

6、y2sin2sin X.列表，并描点画出图象：xX02ysin X01010y2sin02020(3)方法一把ysin x的图象上所有的点向左平移个单位，得到ysin的图象，再把ysin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin的图象，最后把ysin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y2sin的图象方法二将ysin x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到ysin 2x的图象；再将ysin 2x的图象向左平移个单位，得到ysin 2sin的图象；再将ysin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y2sin的图象探

7、究提高(1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图象；(2)变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用x来确定平移单位已知函数f(x)3sin，xR.(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数ysin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？解(1)列表取值：xx02f(x)03030描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图(2)先把ysin x的图象向右平移个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的

8、图象题型二求函数yAsin(x)的解析式例2(1)(2019·江苏) 已知f(x)Asin(x) (A，为常数，A>0，>0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是_(2)(2019·辽宁)已知函数f(x)Atan(x)(>0，|<)，yf(x)的部分图象如图所示，则f()等于 ()A2 B.C. D2思维启迪：(1)由平衡点和相邻最低点间的相对位置确定周期；根据待定系数法求.(2)将“x”看作一个整体放在一个单调区间内求解答案(1)(2)B解析(1)由题图知A，T，2.2×2k，kZ，2k(kZ)令k0，得.函数解析式为f(x)sin，f(

9、0)sin .(2)由图形知，T2()，2.由2×k，kZ，得k，kZ.又|，.由Atan(2×0)1，知A1，f(x)tan(2x)，f()tan(2×)tan.探究提高根据yAsin(x)k的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A；k的确定：根据图象的最高点和最低点，即k；的确定：结合图象，先求出周期T，然后由T (>0)来确定；的确定：由函数yAsin(x)k最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为(即令x0，x)确定. 已知函数f(x)Asin(x) (A>0，|<，>0)的图象的

10、一部分如图所示，则该函数的解析式为_答案f(x)2sin解析观察图象可知：A2且点(0,1)在图象上，12sin(·0)，即sin .|<，.又是函数的一个零点，且是图象递增穿过x轴形成的零点，2，2.f(x)2sin.题型三三角函数模型的应用例3如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8米，圆上最低点与地面的距离为0.8米，且每60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设B点与地面间的距离为h.(1)求h与间的函数关系式；(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求该缆车首次到达最高点时所用的时间解(1)过点O作地面的平行

11、线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于点M(如图)，当>时，BOM，hOABM0.85.64.8sin.当0时，上式也成立h与间的函数关系式为h5.64.8sin.(2)点A在圆上转动的角速度是弧度/秒，t秒转过的弧度数为t，h5.64.8sin，t0，)首次到达最高点时，h10.4米，即sin1，t，即t30秒时，该缆车首次到达最高点探究提高本题属三角函数模型的应用，通常的解决方法：转化为ysin x，ycos x等函数解决图象、最值、单调性等问题，体现了化归的思想方法；用三角函数模型解决实际问题主要有两种：一种是用已知的模型去分析解决实际问题，另一种是需要建立精确的或者数据拟合的模型

12、去解决问题，尤其是利用数据建立拟合函数解决实际问题，充分体现了新课标中“数学建模”的本质 如图所示，某地夏天从814时用电量变化曲线近似满足函数yAsin(x)b，(0，)(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式解(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度(2)观察图象，可知从814时的图象是yAsin(x)b的半个周期的图象A×(5030)10，b×(5030)40.148·，y10sin40.将x8，y30代入上式，解得，所求解析式为y10sin40，x8,14利用三角函数的性质求解析式典例：(12分)如图为yAsin(x)

13、的图象的一段(1)求其解析式；(2)若将yAsin(x)的图象向左平移个单位长度后得yf(x)，求f(x)的对称轴方程审题视角(1)图象是yAsin(x)的图象(2)根据“五点法”作图的原则，M可以看作第一个零点；可以看作第二个零点规范解答解(1)由图象知A，以M为第一个零点，N为第二个零点2分列方程组解之得4分所求解析式为ysin.6分(2)f(x)sinsin，8分令2xk(kZ)，则x (kZ)，10分f(x)的对称轴方程为x (kZ)12分答题模板第一步：根据图象确定第一个平衡点、第二个平衡点或最高点、最低点第二步：将“x”作为一个整体，找到对应的值第三步：列方程组求解第四步：写出所求

14、的函数解析式第五步：反思回顾，查看关键点、易错点及答题规范温馨提醒(1)求函数解析式要找准图象中的“五点”，利用方程求解，；(2)讨论性质时将x视为一个整体方法与技巧1 五点法作函数图象及函数图象变换问题(1)当明确了函数图象基本特征后，“描点法”是作函数图象的快捷方式运用“五点法”作正、余弦型函数图象时，应取好五个特殊点，并注意曲线的凹凸方向(2)在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少2 由图象确定函数解析式由函数yAs

15、in(x)的图象确定A、的题型，常常以“五点法”中的第一个零点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置要善于抓住特殊量和特殊点3 对称问题函数yAsin(x)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x，±A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离)失误与防范1 由函数ysin x(xR)的图象经过变换得到函数yAsin(x)的图象，在具体问题中，可先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但要注意：先伸缩，后平移时要把x前面的系数提取出来2 函数yAsin(x)的图象和

16、性质是本节考查的重点，也是高考热点，复习时尽可能使用数形结合的思想方法，如求解对称轴、对称中心和单调区间等3 注意复合形式的三角函数的单调区间的求法函数yAsin(x)(A>0，>0)的单调区间的确定，基本思想是把x看做一个整体在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 将函数ysin x的图象向左平移 (0<2)个单位后，得到函数ysin的图象，则等于()A. B. C. D.答案D解析将函数ysin x向左平移(0<2)个单位得到函数ysin(x)只有时

17、有ysinsin.2 (2019·课标全国)已知>0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是()A. B.C. D(0,2答案A解析取，f(x)sin，其减区间为，kZ，显然，kZ，排除B，C.取2，f(x)sin，其减区间为，kZ，显然，kZ，排除D.3 将函数ysin(x)的图象F向左平移个单位长度后得到图象F，若F的一个对称中心为，则的一个可能取值是 ()A. B. C. D.答案D解析图象F对应的函数ysin，则k，kZ，即k，kZ，令k1时，故选D.4 若函数f(x)2sin(x)，xR(其中>0，|<)的最小正周期是，且f(0)，则()A， B，

18、C2， D2，答案D解析T，2.又2sin ，|<，.二、填空题(每小题5分，共15分)5 函数yAsin(x) (A，为常数，A>0，>0)在闭区间，0上的图象如图所示，则_.答案3解析由图象可以看出T，T，因此3.6 已知f(x)sin (>0)，ff，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则_.答案解析依题意，x时，y有最小值，sin1，2k (kZ)8k (kZ)，因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，所以<，即<12，令k0，得.7 设函数f(x)sin xcos x，若0x2 011，则函数f(x)的各极值之和为_答案解析f(x)cos xsi

19、n xsin，令f(x)0，得xk (kZ)，f(x)sin，fsinsin·cos k，当k为奇数时，函数取得极大值；当k为偶数时，函数取得极小值，0x2 011，k，此函数在此区间上各极值的和为.三、解答题(共22分)8 (10分)(2019·陕西)函数f(x)Asin1(A>0，>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设，f2，求的值解(1)函数f(x)的最大值为3，A13，即A2.函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，最小正周期T，2，函数f(x)的解析式为y2sin1.(2)f2sin12，sin.0&

20、lt;<，<<，.9 (12分)已知函数f(x)2sincossin(x)(1)求f(x)的最小正周期；(2)若将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间0，上的最大值和最小值解(1)因为f(x)sinsin xcos xsin x22sin，所以f(x)的最小正周期为2.(2)将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，g(x)f2sin2sin.x0，x，当x，即x时，sin1，g(x)取得最大值2.当x，即x时，sin，g(x)取得最小值1.B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1

21、 函数ysin 2x的图象向右平移 (>0)个单位，得到的图象恰好关于x对称，则的最小值为 ()A. B. C. D以上都不对答案A解析ysin 2x的图象向右平移个单位得到ysin 2(x)的图象，又关于x对称，则2k (kZ)，2k (kZ)，取k1，得.2 设>0，函数ysin(x)2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是 ()A. B. C. D3答案C解析由函数向右平移个单位后与原图象重合，得是此函数周期的整数倍又>0，·k，k(kZ)，min.3. 电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数IAsin(t)(A>0，>0,0<<)的图象如右图所示，则当t秒时，电流强度是()A5安 B5安 C5安 D10安答案A解析由图象知A10，100.I10sin(100t)为五点中的第二个点，100×.I10sin，当t秒时，I5安二、填空题(每小题5分，共15分)4