第18讲巧解最大公约数与最小公倍数问题

1、 才子教育 小学奥数系列第18讲 巧解最大公约数与最小公倍数问题巧点晴方法和技巧任取几个非零数，它们都会有很多相同的约数，也会有一些相同的倍数。相同约数中最小的一检点总是1，最大的一个就是它们的最大公约数；而零则是每个非零整数的倍数，这些数的相同倍数中没有最大的，最小的一个就是它们的最小公倍数。 巧指导例题精讲A级 冲刺名校基础点晴【例1】一张长方形的纸，长7公米5厘米、宽6分米。现在要把它裁成面积相等的正方形，而且正方形边长为整厘米数，问：有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，问：可以裁成多少块？分析与解 7分米5厘米=54厘米，6分米=60厘米。因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75

2、厘米和60厘米，所以边长是75和60的公约数。75和60的公约数有1，3，5，15，所以有4种裁法。如果要使正方形面积最大，那么边长也应该最大，应该取75和60的最大公约数15作为正方形的边长。所以可以裁成（7515）（6015）=20（块）。答：有4种裁法，共能裁成20块。做一做1 将一块长80米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正方形，问：小正方形的面积最大是多少？【例2】甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次。甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问：至少再过多少天，他们三人又会在图书馆相会？分析与解 从第一次三人在图书馆相会到下

3、一次再相会，相隔的天数应该是3，4，5的最小公倍数，因为3，4，5的最小公倍数是60，所以至少再过60天他们三人又会在图书馆相会。答：至少再过60天，他们三人又会在图书馆相会。做一做2 五年级一班的同学每周一都要去看望军属张爷爷，二班的同学每6天去看一次，三班的同学每两周看一次。如果“六一”儿童节三个班的同学同一天去看张爷爷，那么，再过多少天这三个班的同学会再次同一天去张爷爷家？【例3】把26，33，34，35，63，85，91，143这8个数分成若干组中任意两个数的最大公约数都是1。那么，至少要分几组？分析与解 26=213 33=311 34=217 35=57 63=97 85=517

4、91=713 143=1113这8个数每个都有两个质因数，要使其中每两个数的最大公约数都为1，则同一质因数最多只能在一个组中出现1次。现在，35，63，91这三个数中都有质因数7；26，91，143这三个数中都有质因数13。因此，至少要分3组，才有可能把这两组数分开。现取26，33，35为一组，34，63，143为一组，91，85为一组。同组的数中，每两个数的最大公约数都为1。答：至少要分3组。做一做3 把下面几个数平均分成两组，使第一组数的乘积与第二组数的乘积相等。14，33，35，30，75，39，143，169B级 培优竞赛更上层楼【例4】从一张长2 002毫米、宽847毫米的长方形纸片

5、上，剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上面的过程不断地重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？分析与解 由于847的两倍比2 002小，因此，开始时的长方形纸片上，可以连剪两个边长为847的正方形。2 002=8472308剩下的部分是长、宽分别为847与308的长方形，依此类推有：847=3082231，308=231177，231=773也就是说，当剩下长为231，宽为77的长方形时，刚好可以剪成三个边长为77的正方形。所以，最后剪得的正方形边长是77毫米。上面的过程可以用辗转相除法来表达。答：最后剪得的正方形的边长为77毫米。做一做4 用一张长1 072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成

6、面积相等的正方形，并且最后没剩余。问：这些正方形的边长最长是多少？【例5】两个自然数的和为50，它们的最大公约数是5，则这两个数的差是多少？分析与解 由于这两个数的公约数是5，所以它们都是5的倍数，本题也就是要把50分成两份，这两份的最大公约数是5。分析与解 因为50=545=1040=1535=2030=2525，但（5，45）=5，（15，35）=5，而（10，40）=40，（20，30）=10，（25，25）=25，所以，这两个数可能是5与45，也可能是15与35。答：这两个数的差为40或20。做一做5 两个数的积是5 766，它们的最大公约数是31，问：这两个数是多少？【例6】在一根长

7、木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记，分别将木棍平均分成了10等份、12等份和15等份。如果沿这三种标记把木棍锯断，问：木棍总共被锯成了多少段？分析与解 因为10，12和15的最小公倍数是60（厘米），6012=5（厘米），605=4（厘米）因为5和6的最小公倍数是30，所以红、黄两种标记重复的地方有60301=1（处）；另两种情况分别有2处和4处。因此，木棍总共被锯成（1012152）124=28（段）。答：木棍总共被锯成28段。做一做6 用红笔在一根木棍上做了三次记号，第一次把木棍分成12等份，第二次把木棍分成15等份，第三次把木棍分成20等份，然后沿着这些记号把木棍锯开，问：一共可锯成多少小

8、段？C级 （选学）决胜总决赛勇夺冠军 【例7】仅含有两个质因数的某自然数的约数和为403，则该自然数最小是多少？分析与解 根据题意，设这个自然数的表达式为=mbn(,b为质数)，则有（012m）（b0b1b2bn）=403。把403=1331，发现13=303132，31=2021222324，即=3，m=2,b=2,n=4。因此符合条件的自然数是=3224=144。做一做7 数恰有4个约数，这些约数之和等于2 040，求数。巧练习温故知新（十八）A级 冲刺名校基础点晴1.有四个自然数，它们的和是1 111。如果要求这四个数的公倍数尽可能大，问：这个最大值是多少？2.有一根长100厘米的木棍上

9、，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米染一个红点，染色后沿红点将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？3.10个非零自然数之和等于1 001，则这十个数的最大公约数是多少？4. ,b,c,d,e分别是5个人的年龄数。已知是b的2倍、c的3倍、d的4倍、e的6倍，问：bcde的最小值是多少？5.甲、乙两数都含有质因数3和5，它们的最大公约数是45。已知甲数有12个约数，乙数有10个约数，那么在800到1000之间，甲、乙两数之和是多少？B级 培优竞赛更上层楼6.甲、乙两个数都含有质因数2和7，它们的最大公约数是98。已知甲数有12个约数，乙数有8个约数，问：甲、乙两数各

10、是多少？7.求1 155的两位约数中最大的一个是多少？555 555的约数中，最大的三位数是多少？8.自然数和b恰有99个自然数因数（包括1和该数本身），试问：数b能不能恰有1 000个自然数因数（包括1和该数本身）？9.下面是四个互相咬合着齿轮，其中最大的那个齿轮通过顺时针旋转可带动其他三个齿轮，各齿轮的齿数依次为16，12，10，6。如图所示，当最大的齿轮按照顺时针方向旋转7周时，每个齿轮上面箭头所指的四个汉字分别是什么？10.有9个不同约数的自然数中，最小的一个是多少？C级 （选学）决胜总决赛勇夺冠军11.设n是满足下列条件的自然数，它们是75的倍数且恰有75个自然数因子（包括1和本身），求。12.求自然数N，使得它能被5和49整除，并且包括1和N在内，它共有10个约数。13.已知三个连续的自然数，它们都小2 002，其中最小的一个自然数能被13整除，中间的一个自然数能被15整除，最大的一个自然数能被17整除。那么