2016年11月11日高三数学导数恒成立组卷

1、2016年11月11日高三数学导数恒成立组卷一解答题（共30小题）1已知函数f（x）=xlnx+ax，g（x）=（1）若a=2，求函数f（x）的单调区间，并求f（x）的最大值；（2）若不等式f（x）g（x）对任意实数x1，+）恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：不等式lnkn（）（nN*）2已知函数f（x）=在点（1，f（1）处的切线方程为x+y=2（）求a，b的值；（）若对函数f（x）定义域内的任一个实数x，都有xf（x）m恒成立，求实数m的取值范围（） 求证：对一切x（0，+），都有3（x+1）f（x）成立3设函数f（x）=ax2alnx，g（x）=，其中aR，e=2.718为自然对数

2、的底数（）讨论f（x）的单调性；（）证明：当x1时，g（x）0；（）确定a的所有可能取值，使得f（x）g（x）在区间（1，+）内恒成立4设函数f（x）=ax+lnx，g（x）=a2x2；（1）当a=1时，求函数y=f（x）图象上的点到直线xy+3=0距离的最小值；（2）是否存在正实数a，使得不等式f（x）g（x）对一切正实数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由5设函数f（x）=（1+x）22ln（1+x）（1）若关于x的不等式f（x）m0在0，e1有实数解，求实数m的取值范围（2）设g（x）=f（x）x21，若关于x的方程g（x）=p至少有一个解，求p的最小值（3）证明不等

3、式：（nN*）6已知函数f（x）=+alnx（a0，aR）（）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（）若在区间1，e上至少存在一点x0，使得f（x0）0成立，求实数a的取值范围7已知函数f（x）=lnx（）若a0，试判断f（x）在定义域内的单调性；（）若f（x）在1，e上的最小值为，求实数a的值；（）若f（x）x2在（1，+）上恒成立，求实数a的取值范围8已知函数f （x）=axex（aR），g（x）=（I）求函数f （x）的单调区间；（）x0（0，+），使不等式f （x）g（x）ex成立，求a的取值范围9已知函数f（x）=ax+xlnx（aR）（1）若函数f（x）在区间e，+）上为增函

4、数，求a的取值范围；（2）当a=1且kZ时，不等式k（x1）f（x）在x（1，+）上恒成立，求k的最大值10已知函数f（x）=x2，g（x）=elnx（）设函数F（x）=f（x）g（x），求F（x）的单调区间；（）若存在常数k，m，使得f（x）kx+m，对xR恒成立，且g（x）kx+m，对x（0，+）恒成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”，试问：f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，请说明理由11已知函数f（x）=（x0）（1）试判断函数f（x）在（0，+）上单调性并证明你的结论；（2）若f（x）恒成立，求整数k的最大值；（3）

5、求证：（1+1×2）（1+2×3）1+n（n+1）e2n312设函数f（x）=xmlnx（1）若函数f（x）在定义域上为增函数，求m范围；（2）在（1）条件下，若函数h（x）=xlnx，x1，x21，e使得f（x1）h（x2）成立，求m的范围13已知函数f（x）=alnxax3（a0）（）讨论f（x）的单调性；（）若f（x）+（a+1）x+4e0对任意xe，e2恒成立，求实数a的取值范围（e为自然常数）；（）求证ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+ln（n2+1）1+2lnn!（n2，nN*）（n!=1×2×3××n

6、）14已知f（x）=xlnxax，g（x）=x22（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）对一切x（0，+），f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对一切x（0，+），都有成立15已知函数f（x）=2lnxax+a（aR）（）讨论f（x）的单调性；（）若f（x）0恒成立，证明：当0x1x2时，16已知f（x）=+nlnx（m，n为常数）在x=1处的切线为x+y2=0（1）求y=f（x）的单调区间；（2）若任意实数x，1，使得对任意的t，2上恒有f（x）t3t22at+2成立，求实数a的取值范围17设函数f（x）=ax（1）若a=0，求f（x）的单调增区间；（2）当b=1

7、时，若存在x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）+a成立，求实数a的最小值（其中e为自然对数的底数）18已知函数f（x）=lnxa（x1），aR（）讨论函数f（x）的单调性；（）当x1时，f（x）恒成立，求a的取值范围19已知函数f（x）=ax2+（1+a）xlnx（aR）（）当a0时，求函数f（x）的单调递减区间；（）当a=0时，设函数g（x）=xf（x）若存在区间m，n，+），使得函数g（x）在m，n上的值域为k（m+2）2，k（n+2）2，求实数k的取值范围20已知函数f（x）=，g（x）=ln（x+1），曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程是5x4y+1=0（1）求a，b

8、的值；（2）若当x0，+）时，恒有f（x）kg（x）成立，求k的取值范围；（3）若=22361，试估计ln的值（精确到0.001）21已知函数f（x）=（1+2a）x+ln（2x+1），a0（1）已知函数f（x）在x=2取得极小值，求a的值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）当a时，若存在x0（，+）使得f（x0）2a2，求实数a的取值范围22已知函数f（x）=mlnxx2+2（mR）（）当m=1时，求f（x）的单调区间；（）若f（x）在x=1时取得极大值，求证：f（x）f（x）4x3；（）若m8，当x1时，恒有f（x）f（x）4x3恒成立，求m的取值范围23已知函数f（x）=ln（x+

9、1）x（x1）（1）求f（x）的单调区间；（2）若kZ，且f（x1）+xk（1）对任意x1恒成立，求k的最大值；（3）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得e1x02成立？请说明理由24已知函数f（x）=alnx+x2（1+a）x（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）0对定义域中的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对任意正整数m，n，不等式+恒成立25已知函数f（x）=ax+lnx，函数g（x）=ex，其中e为自然对数的底数（）讨论f（x）的单调性；（）若x（0，+），使得不等式g（x）成立，试求实数m的取值范围；（）当a=0时，对于x（0，+），求证

10、：f（x）g（x）226设函数f（x）=2x2+axlnx（aR），g（x）=+3（I）若函数f（x）在定义域内单调递减，求实数a的取值范围；（II）若对任意x（0，e），都有唯一的xoe4，e，使得g（x）=f（xo）+2xo2成立，求实数a的取值范围27已知函数f（x）=ex（x22x+2a2）（a0），g（x）=x2+6x+c（cR）（）若曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y=4x2，求a的值；（）求函数f（x）的单调区间；（）当a=1时，对x12，2，x22，2，使f（x1）g（x2）成立，求实数c的取值范围28已知f（x）=ax10lnx，h（x）=x2+（m2）x+6

11、（）若函数f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；（）当a=4时，对于任意x1，x2（0，1），均有h（x1）f（x2）恒成立，试求参数m的取值范围29已知函数（1）当时，讨论f（x）的单调性（2）设g（x）=x22bx+4当时，若对任意x1（0，2），存在x21，2，使f（x1）g（x2），求实数b取值范围30设函数f（x）=x2+ax2lnx（aR）（I）当a=0时，求函数f（x）的极值；（）当a4时，求函数f（x）的单调区间；（）若对任意a（4，6）及任意x1，x21，2，ma+2ln2|f（x1）f（x2）|恒成立，求实数m 的取值范围2016年11月11日高三数学导数恒成立

12、组卷参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2017春葫芦岛期末）已知函数f（x）=xlnx+ax，g（x）=（1）若a=2，求函数f（x）的单调区间，并求f（x）的最大值；（2）若不等式f（x）g（x）对任意实数x1，+）恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：不等式lnkn（）（nN*）【解答】（1）解：a=2时，f（x）=xlnx+2x（x0），f（x）=lnx+1令f（x）0，得0xe，f（x）0，得xe，f（x）的单调递增是（0，e），单调递减是（e，+），x=e时，函数取得最大值e；（2）解：不等式f（x）g（x）对任意实数x1，+）恒成立，x1，alnx+令h（x）=lnx+

13、只要h（x）mina即可h（x）=设m（x）=x3+2x2x1，m（x）=3x2+4x10，m（x）在1，+）上是增函数，m（x）min=10，h（x）0，h（x）在1，+）上是增函数，h（x）min=，a；（3）证明：令f（x）=lnx（x2），f（x）=+0在2，+）上恒成立，f（x）在2，+）上是增函数，f（x）min=f（2）=ln20，lnx0在2，+）上恒成立，在2，+）上恒成立，+=，ln1=0，lnkn（）（nN*）2（2016秋禅城区校级月考）已知函数f（x）=在点（1，f（1）处的切线方程为x+y=2（）求a，b的值；（）若对函数f（x）定义域内的任一个实数x，都有xf（x

14、）m恒成立，求实数m的取值范围（） 求证：对一切x（0，+），都有3（x+1）f（x）成立【解答】解：（）f（x）=，而点（1，f（1）在直线x+y=2上，f（1）=1，又直线x+y=2的斜率为1，f（1）=1，故有，解得：；（）由（）得f（x）=（x0），由xf（x）m，得：m，令g（x）=，g（x）=，令h（x）=1xlnx，则h（x）=10，（x0），h（x）在区间（0，+）上是减函数，当0x1时，h（x）h（1）=0，当x1时，h（x）h（1）=0，从而当0x1时，g（x）0，当x1时，g（x）0，g（x）在（0，1）是增函数，在（1，+）是减函数，故g（x）max=g（1）=1，要使

15、m成立，只需m1，故m的取值范围是（1，+）；（）证明：要证3（x+1）f（x）=lnx+1，对x0成立，即证明：xlnx+x对x0成立，设（x）=xlnx+x（x0），（x）=lnx+2，当xe2时，（x）0，（x）递增；当0xe2时，（x）0，（x）递减；（x）min=（e2）=，设g（x）=（x0），g（x）=，当0x1时，g（x）0，g（x）递增；当x1时，g（x）0，g（x）递减；g（x）max=g（1）=，（x）min=g（x）max=，xlnx+x，对x0成立，3（x+1）f（x）=lnx+1对x0成立3（2016四川）设函数f（x）=ax2alnx，g（x）=，其中aR，e=2

16、.718为自然对数的底数（）讨论f（x）的单调性；（）证明：当x1时，g（x）0；（）确定a的所有可能取值，使得f（x）g（x）在区间（1，+）内恒成立【解答】（）解：由f（x）=ax2alnx，得f（x）=2ax=（x0），当a0时，f（x）0在（0，+）成立，则f（x）为（0，+）上的减函数；当a0时，由f（x）=0，得x=，当x（0，）时，f（x）0，当x（，+）时，f（x）0，则f（x）在（0，）上为减函数，在（，+）上为增函数；综上，当a0时，f（x）为（0，+）上的减函数，当a0时，f（x）在（0，）上为减函数，在（，+）上为增函数；（）证明：要证g（x）0（x1），即0，即证，也

17、就是证，令h（x）=，则h（x）=，h（x）在（1，+）上单调递增，则h（x）min=h（1）=e，即当x1时，h（x）e，当x1时，g（x）0；（）解：由f（x）g（x），得，设t（x）=，由题意知，t（x）0在（1，+）内恒成立，t（1）=0，有t（x）=2ax=0在（1，+）内恒成立，令（x）=，则（x）=2a=，当x2时，（x）0，令h（x）=，h（x）=，函数在1，2）上单调递增，h（x）min=h（1）=1又2a1，e1x0，1x2，（x）0，综上所述，x1，（x）0，（x）在区间（1，+）单调递增，t（x）t（1）0，即t（x）在区间（1，+）单调递增，a4（2016张家口模拟）

18、设函数f（x）=ax+lnx，g（x）=a2x2；（1）当a=1时，求函数y=f（x）图象上的点到直线xy+3=0距离的最小值；（2）是否存在正实数a，使得不等式f（x）g（x）对一切正实数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由f（x）=x+lnx，得，令f'（x）=1，得所求距离的最小值即为到直线xy+3=0的距离（2）假设存在正数a，令F（x）=f（x）g（x）（x0），则F（x）max0由得时，F（x）0，F（x）为减函数；当时，F（x）0，F（x）为增函数即a1所以a的取值范围是1，+）5（2016湖南模拟）设函数f（x）=（1+x）22l

19、n（1+x）（1）若关于x的不等式f（x）m0在0，e1有实数解，求实数m的取值范围（2）设g（x）=f（x）x21，若关于x的方程g（x）=p至少有一个解，求p的最小值（3）证明不等式：（nN*）【解答】（1）解：依题意得f（x）maxm，x0，e1，而函数f（x）的定义域为（1，+）f（x）在（1，0）上为减函数，在（0，+）上为增函数，f（x）在0，e1上为增函数，实数m的取值范围为me22（2）解：g（x）=f（x）x21=2x2ln（1+x）=2xln（1+x），显然，函数g（x）在（1，0）上为减函数，在（0，+）上为增函数函数g（x）的最小值为g（0）=0要使方程g（x）=p至少

20、有一个解，则p0，即p的最小值为0（3）证明：由（2）可知：g（x）=2xln（1+x）0在（1，+）上恒成立所以ln（1+x）x，当且仅当x=0时等号成立令，则x（0，1）代入上面不等式得：即，即所以ln2ln11，将以上n个等式相加即可得到：6（2016广西一模）已知函数f（x）=+alnx（a0，aR）（）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（）若在区间1，e上至少存在一点x0，使得f（x0）0成立，求实数a的取值范围【解答】解：（I）因为，（2分）当a=1，令f'（x）=0，得x=1，（3分）又f（x）的定义域为（0，+），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表

21、：x（0，1）1（1，+）f'（x）0+f（x）极小值所以x=1时，f（x）的极小值为1（5分）f（x）的单调递增区间为（1，+），单调递减区间为（0，1）；（6分）（II）因为，且a0，令f'（x）=0，得到，若在区间1，e上存在一点x0，使得f（x0）0成立，其充要条件是f（x）在区间1，e上的最小值小于0即可（7分）（1）当a0时，f'（x）0对x（0，+）成立，所以，f（x）在区间1，e上单调递减，故f（x）在区间1，e上的最小值为，由，得，即（9分）（2）当a0时，若，则f'（x）0对x1，e成立，所以f（x）在区间1，e上单调递减，所以，f（x）在区

22、间1，e上的最小值为，显然，f（x）在区间1，e上的最小值小于0不成立（11分）若，即1时，则有xf'（x）0+f（x）极小值所以f（x）在区间1，e上的最小值为，由，得1lna0，解得ae，即a（e，+）舍去；当01，即a1，即有f（x）在1，e递增，可得f（1）取得最小值，且为1，f（1）0，不成立综上，由（1）（2）可知a符合题意（14分）7（2016广元三模）已知函数f（x）=lnx（）若a0，试判断f（x）在定义域内的单调性；（）若f（x）在1，e上的最小值为，求实数a的值；（）若f（x）x2在（1，+）上恒成立，求实数a的取值范围【解答】解：（）由题意得f（x）的定义域是（

23、0，+），且f（x）=，a0，f（x）0，故f（x）在（0，+）单调递增；（）由（）可得f（x）=，若a1，则x+a0，即f（x）0在1，e上恒成立，此时f（x）在1，e上递增，f（x）min=f（1）=a=，a=（舍），若ae，则x+a0，即f（x）0在1，e上恒成立，此时f（x）在1，e上递减，f（x）min=f（e）=1=，a=（舍），若ea1，令f（x）=0，得x=a，当1xa时，f（x）0，f（x）在（1，a）递减，当axe时，f（x）0，f（x）在（a，e）递增，f（x）min=f（a）=ln（a）+1=，a=，综上a=；（）f（x）x2，lnxx2，又x0，axlnxx3，令g（

24、x）=xlnxx3，h（x）=g（x）=1+lnx3x2，h（x）=，x（1，+）时，h（x）0，h（x）在（1，+）递减，h（x）h（1）=20，即g（x）0，g（x）在（1，+）递减，g（x）g（1）=1，a1时，f（x）x2在（1，+）恒成立8（2016衡阳校级模拟）已知函数f （x）=axex（aR），g（x）=（I）求函数f （x）的单调区间；（）x0（0，+），使不等式f （x）g（x）ex成立，求a的取值范围【解答】解：（）f（x）=aex，xR当a0时，f（x）0，f（x）在R上单调递减；当a0时，令f（x）=0得x=lna由f（x）0得f（x）的单调递增区间为（，lna）；由

25、f（x）0得f（x）的单调递减区间为（lna，+）（）x0（0，+），使不等式f（x）g（x）ex，则，即a设h（x）=，则问题转化为a，由h（x）=，令h（x）=0，则x=当x在区间（0，+） 内变化时，h（x）、h（x）变化情况如下表：xh（x）+0h（x）单调递增极大值单调递减由上表可知，当x=时，函数h（x）有极大值，即最大值为9（2016北海一模）已知函数f（x）=ax+xlnx（aR）（1）若函数f（x）在区间e，+）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1且kZ时，不等式k（x1）f（x）在x（1，+）上恒成立，求k的最大值【解答】解：（1）f（x）=ax+xlnx，f（x）=

26、a+1+lnx，又函数f（x）在区间e，+）上为增函数，当xe时，a+1+lnx0恒成立，a（1lnx）max=1lne=2，即a的取值范围为2，+）；（2）当x1时，x10，故不等式k（x1）f（x）k，即对任意x1恒成立令则，令h（x）=xlnx2（x1），则在（1，+）上单增h（3）=1ln30，h（4）=2ln40，存在x0（3，4）使h（x0）=0，即当1xx0时，h（x）0，即g（x）0，当xx0时，h（x）0，即g（x）0，g（x）在（1，x0）上单减，在（x0，+）上单增令h（x0）=x0lnx02=0，即lnx0=x02，=x0（3，4），kg（x）min=x0且kZ，即km

27、ax=310（2016江西模拟）已知函数f（x）=x2，g（x）=elnx（）设函数F（x）=f（x）g（x），求F（x）的单调区间；（）若存在常数k，m，使得f（x）kx+m，对xR恒成立，且g（x）kx+m，对x（0，+）恒成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”，试问：f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，请说明理由【解答】解：（I）由于函数f（x）=，g（x）=elnx，因此，F（x）=f（x）g（x）=x2elnx，则F（x）=x=，x（0，+），当0x时，F（x）0，F（x）在（0，）上是减函数；当x时，F（x）0，F（

28、x）在（，+）上是增函数；因此，函数F（x）的单调减区间是（0，），单调增区间是（，+）（II）由（I）可知，当x=时，F（x）取得最小值F（）=0，则f（x）与g（x）的图象在x=处有公共点（，）假设f（x）与g（x）存在“分界线”，则其必过点（，）故设其方程为：y=k（x），即y=kx+k，由f（x）kx+k对xR恒成立，则对xR恒成立，=4k28k+4e=e（k）20成立，因此k=，“分界线“的方程为：y=下面证明g（x）对x（0，+）恒成立，设G（x）=elnxx+，则G（x）=，当0x时，G（x）0，当x时，G（x）0，当x=时，G（x）取得最大值0，则g（x）x对x（0，+）恒成立

29、，故所求“分界线“的方程为：y=11（2016山东三模）已知函数f（x）=（x0）（1）试判断函数f（x）在（0，+）上单调性并证明你的结论；（2）若f（x）恒成立，求整数k的最大值；（3）求证：（1+1×2）（1+2×3）1+n（n+1）e2n3【解答】解：（1）f（x）=（x0），f（x）=（2分）x0，x20，ln（x+1）0，f（x）0，函数f（x）在（0，+）上是减函数（4分）（2）f（x）恒成立，即h（x）=k恒成立，即h（x）的最小值大于k（6分）而h（x）=，令g（x）=x1ln（x+1）（x0），则g（x）=，g（x）在（0，+）上单调递增，又g（2）=1

30、ln30，g（3）=22ln20，g（x）=0存在唯一实根a，且满足a（2，3），a=1+ln（a+1）当xa时，g（x）0，h（x）0，当0xa时，g（x）0，h（x）0，h（x）min=h（a）=a+1（3，4）故正整数k的最大值是3 （10分）（3）由（）知（x0）ln（x+1）1=22 （12分）令x=n（n+1）（nN*），则ln1+n（n+1）2，ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+ln1+n（n+1）（2）+（2）+2=2n3=2n3（1）=2n3+2n3（1+1×2）（1+2×3）1+n（n+1）e2n3 （16分）12（2016太原

31、校级模拟）设函数f（x）=xmlnx（1）若函数f（x）在定义域上为增函数，求m范围；（2）在（1）条件下，若函数h（x）=xlnx，x1，x21，e使得f（x1）h（x2）成立，求m的范围【解答】解：函数f（x）=xmlnx（1）定义域上为（0，+），f（x）=1+=，函数f（x）在定义域上为增函数，x2mx+10，在x0时恒成立即xm在x0时恒成立，根据对钩函数得出m2，故m的范围为：m2（2）函数h（x）=xlnx，x1，x21，e使得f（x1）h（x2）成，即f（x）的最大值h（x）的最小值，f（x）的最大值=f（e）=em，h（x）=10，x1，e，h（x）单调递增，h（x）的最小值

32、为h（1）=1，可以转化为em1，即me1，m的范围为：me113（2016宜春校级模拟）已知函数f（x）=alnxax3（a0）（）讨论f（x）的单调性；（）若f（x）+（a+1）x+4e0对任意xe，e2恒成立，求实数a的取值范围（e为自然常数）；（）求证ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+ln（n2+1）1+2lnn!（n2，nN*）（n!=1×2×3××n）【解答】解：（）f（x）=（x0），当a0时，f（x）的单调增区间为（0，1，单调减区间为1，+）；当a0时，f（x）的单调增区间为1，+），单调减区间为（0，1；（）令F（

33、x）=alnxax3+（a+1）x+4e=alnx+x+1e，则F（x）=，若ae，即ae，F（x）在e，e2上是增函数，F（x）max=F（e2）=2a+e2e+10，a，无解若eae2，即e2ae，F（x）在e，a上是减函数；在a，e2上是增函数，F（e）=a+10，即a1F（e2）=2a+e2e+10，即a，e2a若ae2，即ae2，F（x）在e，e2上是减函数，F（x）max=F（e）=a+10，即a1，ae2，综上所述，a（）证明：令a=1，此时f（x）=lnx+x3，所以f（1）=2，由（）知f（x）=lnx+x3在（1，+）上单调递增，当x（1，+）时，f（x）f（1），即lnx

34、+x10，lnxx1对一切x（1，+）成立，n2，nN*，则有ln（+1）=，要证ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+ln（n2+1）1+2lnn!（n2，nN*），只需证ln（+1）+ln（+1）+ln（+1）1（n2，nN*）；ln（+1）+ln（+1）+ln（+1）（1）+（）+（）=11；所以原不等式成立14（2016商丘校级模拟）已知f（x）=xlnxax，g（x）=x22（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）对一切x（0，+），f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对一切x（0，+），都有成立【解答】解：（1）函数的定义域是（0，+）当a

35、=1时，f（x）=lnx+2令f（x）=lnx+20，得令f（x）=lnx+20，得函数的单调递增区间是函数的单调递减区间是（2）对一切x（0，+），f（x）g（x）恒成立，对一切x（0，+），xlnxaxx22恒成立即对一切x（0，+），恒成立令当0x1时，F（x）0，函数递减，当x1时，F（x）0，函数递增F（x）在x=1处取极小值，也是最小值，即Fmin（x）=F（1）=3a3（3）证明：对一切x（0，+），都有成立等价于证明：对一切x（0，+），都有成立由（1）知，当a=1时f（x）=xlnx+x，令，当x（0，1）时，G（x）0，函数G（x）递增，当x（1，+）时，G（x）0，函数G

36、（x）递减f（x）minG（x）max当x=1时，函数G（x）取到极大值，也是最大值f（x）minG（x）max对一切x（0，+），都有成立15（2016湖南模拟）已知函数f（x）=2lnxax+a（aR）（）讨论f（x）的单调性；（）若f（x）0恒成立，证明：当0x1x2时，【解答】解：（）求导得f（x）=，x0若a0，f（x）0，f（x）在（0，+）上递增；若a0，当x（0，）时，f（x）0，f（x）单调递增；当x（，+）时，f（x）0，f（x）单调递减（）由（）知，若a0，f（x）在（0，+）上递增，又f（1）=0，故f（x）0不恒成立若a2，当x（，1）时，f（x）递减，f（x）f（1

37、）=0，不合题意若0a2，当x（1，）时，f（x）递增，f（x）f（1）=0，不合题意若a=2，f（x）在（0，1）上递增，在（1，+）上递减，f（x）f（1）=0，合题意故a=2，且lnxx1（当且仅当x=1时取“=”）当0x1x2时，f（x2）f（x1）=2ln2（x2x1）2（1）2（x2x1）=2（1）（x2x1），2（1）16（2016石嘴山校级一模）已知f（x）=+nlnx（m，n为常数）在x=1处的切线为x+y2=0（1）求y=f（x）的单调区间；（2）若任意实数x，1，使得对任意的t，2上恒有f（x）t3t22at+2成立，求实数a的取值范围【解答】解：（1）f（x）=+nln

38、x定义域为（0，+），f（x）=+，f（1）=+n=1，把x=1代入x+y2=0可得y=1，f（1）=1，m=2，n=，f（x）=lnx，f（x）=，x0，f（x）0，f（x）的递减区间是（0，+），无递增区间（2）由（1）可知，f（x）在，1上单调递减，f（x）在，1上的最小值为f（1）=1，只需t3t22at+21，即2at2t+对任意的t，2恒成立，令g（t）=t2t+则g（t）=2t1=，t，2，2t3t21=（t1）（2t2+t+1），在t，1上g（t）单调递减，在1，2上g（t）单调递增，又g（）=，g（2）=，g（t）在，2上的最大值是，只需2a，即a，实数a的取值范围是，+）1

39、7（2016新余校级一模）设函数f（x）=ax（1）若a=0，求f（x）的单调增区间；（2）当b=1时，若存在x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）+a成立，求实数a的最小值（其中e为自然对数的底数）【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=的定义域为（0，1）（1，+），f（x）=b，当b0时，x（e，+）时，f（x）0；故f（x）的单调增区间为（e，+）；当b0时，x（0，1）（1，e）时，f（x）0；故f（x）的单调增区间为（0，1），（1，e）；（2）当b=1时，f（x）=ax，f（x）=a，故f（x2）+a=（）2+，故当x2=e2时，f（x2）+a有最大值，故只需使存在x1e，e

40、2，使f（x1），故ax1，即a，令g（x）=，g（x）=；故g（x）=在e，e2上是减函数，g（e）=1，g（e2）=；故只需使a；故实数a的最小值为18（2016中山市校级模拟）已知函数f（x）=lnxa（x1），aR（）讨论函数f（x）的单调性；（）当x1时，f（x）恒成立，求a的取值范围【解答】（本小题满分12分）解：（）f（x）的定义域为（0，+），若a0，则f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增，（2分）若a0，则由f（x）=0，得x=，当x（0，）时，f（x）0，当x（）时，f（x）0，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）单调递减所以当a0时，f（x）在（0，+）上单调递

41、增，当a0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）单调递减（4分）（）f（x）=，令g（x）=xlnxa（x21），（x1），g（x）=lnx+12ax，令F（x）=g（x）=lnx+12ax，（6分）若a0，F（x）0，g（x）在1，+）递增，g（x）g（1）=12a0，g（x）在1，+）递增，g（x）g（1）=0，从而f（x）不符合题意（8分）若0a，当x（1，），F（x）0，g（x）在（1，）递增，从而g（x）g（1）=12a，g（x）在1，+）递增，g（x）g（1）=0，从而f（x）不符合题意（10分）若a，F（x）0在1，+）恒成立，g（x）在1，+）递减，g（x）g（1）=12

42、a0，从而g9x）在1，+）递减，g（x）g（1）=0，f（x）0，综上所述，a的取值范围是）（12分）19（2016成都模拟）已知函数f（x）=ax2+（1+a）xlnx（aR）（）当a0时，求函数f（x）的单调递减区间；（）当a=0时，设函数g（x）=xf（x）若存在区间m，n，+），使得函数g（x）在m，n上的值域为k（m+2）2，k（n+2）2，求实数k的取值范围【解答】解：（）当a0时，函数f（x）=ax2+（1+a）xlnx的导数为f（x）=ax+1+a=，（x0），当a=1时，f（x）0，f（x）递减；当a1时，1，f（x）0，可得x1或0x；当0a1时，1，f（x）0，可得0x

43、1或x综上可得，a=1时，f（x）的减区间为（0，+）；a1时，f（x）的减区间为（1，+），（0，）；0a1时，f（x）的减区间为（，+），（0，1）；（）当a=0时，设函数g（x）=xf（x）=x2xlnx，令g（x）=2xlnx+1（x0），则g（x）=2=，（x0），当x时，g（x）0，g（x）为增函数；g（x）在区间m，n，+）递增，g（x）在m，n上的值域是k（m+2）2，k（n+2）2，所以g（m）=k（m+2）2，g（n）=k（n+2）2，mn，则g（x）=k（x+2）2在，+）上至少有两个不同的正根，k=，令F（x）=，求导得，F（x）=（x），令G（x）=x2+3x2lnx

44、4（x）则G（x）=2x+3=，所以G（x）在，+）递增，G（）0，G（1）=0，当x，1时，G（x）0，F（x）0，当x1，+时，G（x）0，F（x）0，所以F（x）在，1）上递减，在（1，+）上递增，F（1）kF（），k（1，20（2016葫芦岛一模）已知函数f（x）=，g（x）=ln（x+1），曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程是5x4y+1=0（1）求a，b的值；（2）若当x0，+）时，恒有f（x）kg（x）成立，求k的取值范围；（3）若=22361，试估计ln的值（精确到0.001）【解答】解（1）f（x）=，由题意：f（1）= f（1）= 解得：a=1，b=2（3分）（

45、2）：由（1）知：f（x）=，由题意：kln（1+x）0令F（x）=kln（1+x），则F（x）=1+（5分）解法一：F（x）=1+=令=（2k）24（2k）=（k2）（k+2），当0即2k2时，x2+（2k）x+2k0恒成立，F（x）0F（x）在x0，+）上单调递增，F（x）F（0）=0恒成立，即f（x）kg（x） 恒成立，2k2时合题意当0即k2或k2时，方程x2+（2k）x+2k=0有两解x1=，x2=此时x1+x2=k2，x1x2=2k（i）当k2时，x1x2=2k0，x1+x2=k20，x10，x20，F（x）=0F（x）在x0，+）上单调递增，F（x）F（0）=0恒成立即f（x）k

46、g（x） 恒成立k2时合题意（ii）当k2时，x1x2=2k0，x10，x20F（x）=当x（0，x2）时，F（x ）0，F（x）在x（0，x2）上单调递减当x（0，x2）时，F（x）F（0）=0这与F（x）0矛盾，k2时不合题意综上所述，k的取值范围是（，2（8分）解法二：F（x）=1+=（1+x+k）1+x+2，当k2时，F（x）0F（x）在x0，+）上单调递增，F（x）F（0）=0恒成立，即f（x）kg（x） 恒成立，k2时合题意，当k2时，令F（x）=0得x10x2，结合图象可知，当x（0，x2）时，F（x ）0，F（x）在x（0，x2）上单调递减（其中x2=）当x（0，x2）时，F（

47、x）F（0）=0这与F（x）0矛盾，k2时不合题意综上所述，k的取值范围是（，2（8分）（3）由（2）知：当k2时，kln（1+x）在x0时恒成立取k=2，则2ln（1+x） 即：2ln（1+x）令x=10得：2ln，ln0.2236（10分）由（2）知：当k2时，kln（1+x）在（0，）时恒成立令=1，解得：k=ln（1+x）在x（0，）上恒成立取x=1得：ln，ln0.2222，ln=0.2229精确到0.001，取ln=0.223（12分）21（2016海淀区校级模拟）已知函数f（x）=（1+2a）x+ln（2x+1），a0（1）已知函数f（x）在x=2取得极小值，求a的值；（2）讨论

48、函数f（x）的单调区间；（3）当a时，若存在x0（，+）使得f（x0）2a2，求实数a的取值范围【解答】解：（）函数f（x）的定义域为，且f'（x）=x（1+2a）+，（1分）因为函数f（x）在x=2取得极小值，所以f'（2）=0，即f'（2）=2（1+2a）+=0，（2分）解得a=1（3分）经检验：a=1时，函数f（x）在x=2取得极小值，所以a=1（4分）（）f'（x）=x（1+2a）+=令f'（x）=0，则x=或x=2a（6分）i、当2a，即a时，x（，）（，2a）2a（2a，+）f'（x）+00+f（x）所以f（x）的增区间为（，）和（2a，+），减区间为（，2a）（7分）ii、当2a=，即a=时，f'（x）=0在（，+）