2018届人教A版解析几何单元测试

1、第九章解析几何9.1直线的倾斜角、斜率与直线的方程122直线的倾斜角与斜率1.(2015广西玉林、贵港4月模拟,文10,直线的倾斜角与斜率,选择题)设F为抛物线y2=5x的焦点,P是抛物线上x轴上方的一点,若|PF|=3,则直线PF的斜率为()A.3B.C.D.2解析:F为抛物线y2=5x的焦点,设P点坐标为(x,y),y>0.根据抛物线定义可知x+=3,解得x=,代入抛物线方程求得y=.直线PF的斜率为.答案:C2.(2015广西柳州一模,文12,直线的倾斜角与斜率,选择题)过点(,0)引直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当ABO的面积取得最大值时,直线l的斜率等于()A

2、.B.-C.±D.-解析:由y=,得x2+y2=1(y0).所以曲线y=表示单位圆在x轴上方的部分(含与x轴的交点),设直线l的斜率为k,要保证直线l与曲线有两个交点,且直线不与x轴重合,则-1<k<0,直线l的方程为y-0=k(x-),即kx-y-k=0.则原点O到l的距离d=,l被半圆截得的半弦长为.则SABO=.令=t,则SABO=,当t=,即时,SABO有最大值为.此时由,解得k=-.答案:B15.(2015江西重点中学协作体二模,文15,直线的倾斜角与斜率,填空题)设直线x-2y+1=0的倾斜角为,则cos2+sin 2的值为. 解析:直线x-2y+1

3、=0的倾斜角为,tan =.cos2+sin 2=.答案:15.(2015江西上饶一模,文15,直线的倾斜角与斜率,填空题)过双曲线=1(a>0,b>0)右焦点的直线m,其方向向量u=(b,a),若原点到直线m的距离等于右焦点到该双曲线的一条渐近线距离的2倍,则直线m的斜率为. 解析:双曲线=1的右焦点F(c,0),一条渐近线方程为y=x,则F到渐近线的距离为d=b,直线m:y=(x-c),原点到直线m的距离为=a,由题意可得a=2b,则直线m的斜率为=2.答案:29.(2015甘肃嘉峪关一中三模,文9,直线的倾斜角与斜率,选择题)过点P(-,-1)的直线l与圆x2+y2

4、=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.B.C.D.解析:由题意可得点P(-,-1)在圆x2+y2=1的外部,故要求的直线的斜率一定存在,设为k,则直线方程为y+1=k(x+),即kx-y+k-1=0.根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得1,即3k2-2k+1k2+1,解得0k,故直线l的倾斜角的取值范围是.答案:D10.(2015甘肃兰州一中三模,文10,直线的倾斜角与斜率,选择题)P是双曲线-y2=1右支(在第一象限内)上的任意一点,A1,A2分别是左右顶点,O是坐标原点,直线PA1,PO,PA2的斜率分别为k1,k2,k3,则斜率之积k1k2k3的取值范围是(

5、)A.(0,1)B.C.D.解析:设点P(x,y)(x>0,y>0),由题意知,A1(-2,0),A2(2,0),直线PA1,PO,PA2的斜率分别为k1,k2,k3,故k1k2k3=.答案:B5.(2015吉林长春实验中学三模,文5,直线的倾斜角与斜率,选择题)直线xsin +y+2=0的倾斜角的取值范围是()A.0,)B.C.D.解析:直线xsin +y+2=0的斜率为k=-sin ,|sin |1,|k|1.倾斜角的取值范围是.答案:B123直线的方程1.(2015广西柳州一模,文21,直线的方程,解答题)已知椭圆=1的一个焦点为F(2,0),且离心率为.(1)求椭圆方程;(

6、2)斜率为k的直线l过点F,且与椭圆交于A,B两点,P为直线x=3上的一点,若ABP为等边三角形,求直线l的方程.解:(1)椭圆=1的一个焦点为F(2,0),且离心率为.c=2,a2=b2+c2,解得a2=6,b2=2.椭圆方程为=1.(2)直线l的方程为y=k(x-2).联立方程组消去y并整理,得(3k2+1)x2-12k2x+12k2-6=0.设A(x1,y1),B(x2,y2).故x1+x2=,x1x2=.则|AB|=|x1-x2|=.设AB的中点为M(x0,y0).可得x0=,y0=-.直线MP的斜率为-,又xP=3,所以|MP|=·|x0-xP|=.当ABP为正三角形时,|

7、MP|=|AB|,解得k=±1.直线l的方程为x-y-2=0,或x+y-2=0.20.(2015吉林三模,文20,直线的方程,解答题)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F(1,0),过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且ABF2的周长为4.(1)求椭圆C的方程;(2)过点(4,0)作与直线l平行的直线m,且直线m与抛物线y2=4x交于P,Q两点,若A,P在x轴上方,直线PA与直线QB相交于x轴上一点M,求直线l的方程.解:(1)依题意,4a=4,a2-b2=1.所以a=,b=1.故椭圆C的方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(

8、x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4),PQ与x轴的交点记为点N,直线l的方程为x=ty-1,直线m的方程为x=ty+4.依题意得,则,可得,令=(<0),由消去x,得(t2+2)y2-2ty-1=0,则把y1=y2代入整理,得=-.由消去x,得y2-4ty-16=0,则把y3=y4代入,整理得=-t2.由消去,得=t2,解得t=0或t=±.故直线l的方程为x=-1或x-y+1=0或x+y+1=0.15.(2015江西上饶重点中学二模,文15,直线的方程,填空题)过点P(3,-1)引直线,使点A(2,-3),B(4,5)到它的距离相等,则这条直线的方程为. 

9、解析:由题意,所求直线有两条,其中一条是经过点P且与AB平行的直线;另一条是经过P与AB中点C的直线.A(2,-3),B(4,5),AB的斜率k=4.可得经过点P且与AB平行的直线方程为y+1=4(x-3),化简得4x-y-13=0.AB中点为C(3,1),经过P,C的直线方程为x=3.综上,所求直线的方程为4x-y-13=0或x=3.答案:4x-y-13=0或x=37.(2015甘肃嘉峪关一中三模,文7,直线的方程,选择题)若P(2,1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为()A.x+y-1=0B.2x-y-5=0C.2x+y=0D.x+y-3=0解析:圆(x-1)

10、2+y2=25的圆心为(1,0),直线AB的斜率等于=-1,由点斜式得到直线AB的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.答案:D9.2点与直线、两条直线的位置关系124两条直线的平行与垂直6.(2015甘肃嘉峪关一中三模,文6,两条直线的平行与垂直,选择题)已知a0,直线ax+(b+2)y+4=0与直线ax+(b-2)y-3=0互相垂直,则ab的最大值等于()A.0B.2C.4D.解析:若b=2,两直线方程分别为y=-x-1和x=,此时两直线相交但不垂直.若b=-2,两直线方程分别为x=-和y=x-,此时两直线相交但不垂直.所以当b±2时,两直线方程分别为y=-x-和y=-x

11、+,此时两直线的斜率分别为-,-,由-=-1,得a2+b2=4.因为a2+b2=42ab,所以ab2,即ab的最大值等于2,当且仅当a=b=时取等号.答案:B4.(2015黑龙江绥化一模,文4,两条直线的平行与垂直,选择题)设a,b,c分别是ABC中A,B,C所对边的边长,则直线sin A·x-ay-c=0与bx+sin B·y+sin C=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直解析:a,b,c分别是ABC中A,B,C所对边的边长,则直线sin A·x-ay-c=0的斜率为,bx+sin B·y+sin C=0的斜率为,=-1,两条直

12、线垂直.答案:C9.3圆的方程128求圆的方程14.(2015江西上饶二模,文14,求圆的方程,填空题)以抛物线y2=20x的焦点为圆心,且与双曲线=1的两条渐近线都相切的圆的方程为. 解析:抛物线y2=20x的焦点坐标为(5,0),双曲线=1的两条渐近线方程为3x±4y=0.由题意,r=3,则所求圆的方程为(x-5)2+y2=9.答案:(x-5)2+y2=920.(2015甘肃兰州一中三模,文20,求圆的方程,解答题)已知C过点P(1,1),且与M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.(1)求C的方程.(2)过点P作两条相异直线分别

13、与C相交于A,B,且直线PA和直线PB的倾斜角互补,O为坐标原点,试判断直线OP和AB是否平行?请说明理由.(1)解:设圆心C(a,b),则解得则圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,故圆C的方程为x2+y2=2.(2)解:由题意知,直线PA和直线PB的斜率存在,且互为相反数,故可设PA:y-1=k(x-1),PB:y-1=-k(x-1),且k0,由得(1+k2)x2-2k(k-1)x+k2-2k-1=0,点P的横坐标x=1一定是该方程的解,故可得xA=,同理,xB=,kAB=1=kOP,直线AB和OP一定平行.20.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文20,求圆的方程,解答

14、题)过抛物线C:x2=4y对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线l与抛物线交于A,B两点,点Q是点P关于原点的对称点.(1)当直线l方程为x-2y+12=0时,过A,B两点的圆M与抛物线在点A处有共同的切线,求圆M的方程.(2)设=,证明:(-).(1)解:由得点A,B的坐标分别是(6,9),(-4,4),则AB的中点为,斜率为k=,故AB的垂直平分线方程为4x+2y-17=0.由x2=4y得y=x2,y'=x,所以抛物线在点A处的切线斜率为3.设圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则解得a=-,b=,r2=.所以圆M的方程为.(2)证明:设AB方程为y=kx+m,

15、A,B两点的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),代入抛物线方程x2=4y,得x2-4kx-4m=0,x1+x2=-4k,x1x2=-4m.由=,得=-,又点Q(0,-m),从而=(0,2m),-=(x1-x2,y1-y2+(1-)m),所以·(-)=2my1-y2+(1-)m=2m(x1+x2)·=0,所以(-).129与圆有关的轨迹问题6.(2015山西朔州怀仁一中一模,文6,与圆有关的轨迹问题,选择题)若PAB是圆C:(x-2)2+(y-2)2=4的内接三角形,且PA=PB,APB=120°,则线段AB的中点的轨迹方程为()A.(x-2)2+(y-2)2

16、=1B.(x-2)2+(y-2)2=2C.(x-2)2+(y-2)2=3D.x2+y2=1解析:设线段AB的中点为D,则由题意,PA=PB,APB=120°,ACB=120°.CB=2,CD=1,线段AB的中点的轨迹是以C为圆心,1为半径的圆,故线段AB的中点的轨迹方程是(x-2)2+(y-2)2=1.答案:A130与圆有关的最值问题14.(2015江西上饶三模,文14,与圆有关的最值问题,填空题)设m,nR,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则mn的最大值为. 解析:由圆x2+

17、y2=4的方程,得到圆心坐标为(0,0),半径r=2,直线l与圆x2+y2=4相交所得弦CD=2,圆心到直线l的距离d=.圆心到直线l:mx+ny-1=0的距离d=,整理得m2+n2=.令直线l解析式中y=0,解得x=,A,即OA=.令x=0,解得y=,B,即OB=.m2+n22|mn|,当且仅当|m|=|n|时取等号,|mn|.又AOB为直角三角形,SABC=OA·OB=3,当且仅当|m|2=|n|2=时取等号,故mn的最大值为.答案:15.(2015山西太原山大附中高三月考,文15,与圆有关的最值问题,填空题)圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,bR

18、)对称,则ab的取值范围是. 解析:把圆的方程化为标准方程,得(x+1)2+(y-2)2=4,圆心坐标为(-1,2),半径r=2,根据题意,可知圆心在已知直线2ax-by+2=0上,把圆心坐标代入直线方程,得-2a-2b+2=0,即b=1-a,则设m=ab=a(1-a)=-a2+a=-,当a=时,m有最大值,最大值为,即ab的最大值为.故ab的取值范围是.答案:10.(2015江西三县部分高中一模,文10,与圆有关的最值问题,选择题)已知A(-3,0),B(0,4),M是圆C:x2+y2-4x=0上一个动点,则MAB的面积的最小值为()A.4B.5C.10D.15解析:由x2-4x+

19、y2=0,得(x-2)2+y2=4,圆的圆心(2,0),半径为2,过圆心作AB所在直线的垂线,交圆于M,此时ABM的面积最小.直线AB的方程为4x-3y+12=0,|AB|=5,圆心到直线AB的距离为=4.MAB的面积的最小值为×5×(4-2)=5.答案:B9.4直线与圆、圆与圆的位置关系131直线与圆的位置关系11.(2015黑龙江大庆一模,文11,直线与圆的位置关系,选择题)直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若|MN|2,则k的取值范围是()A.B.0,+)C.D.解析:圆心的坐标为(3,2),且圆与x轴相切.当|MN|=2时,弦心距最

20、大为1,由点到直线距离公式得1,解得k.故选A.答案:A5.(2015贵州贵阳一模,文5,直线与圆的位置关系,选择题)对任意实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是()A.相离B.相切C.相交且不过圆心D.相交且过圆心解析:对任意的实数k,直线y=kx+1恒过点(0,1),且斜率存在.(0,1)在圆x2+y2=4内,对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是相交但直线不过圆心.答案:C6.(2015江西南昌零模,文6,直线与圆的位置关系,选择题)已知M(x0,y0)是圆x2+y2=a2外任意一点,则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系是()A.相切

21、B.相交C.相离D.由点(x0,y0)的位置决定解析:点M(x0,y0)是圆x2+y2=a2(a>0)外一点,>a2.圆心O到直线x0x+y0y=a2的距离为d=<a(半径),故直线和圆相交.答案:B7.(2015江西宜春高安四校一模,文7,直线与圆的位置关系,选择题)直线x+y+=0截圆x2+y2=4所得劣弧所对圆心角为()A.B.C.D.解析:设劣弧所对圆心角的一半为,因为圆到直线的距离为d=1,半径是2,所以cos =0.5,=,故劣弧所对圆心角为.答案:C3.(2015甘肃兰州一中模拟,文3,直线与圆的位置关系,选择题)如果直线ax+by=4与圆C:x2+y2=4有两

22、个不同的交点,那么点(a,b)和圆C的位置关系是()A.在圆外B.在圆上C.在圆内D.不能确定解析:直线ax+by=4与圆C:x2+y2=4有两个不同的交点,圆心(0,0)到直线ax+by-4=0的距离d=<2.a2+b2>4.故点(a,b)在圆C的外部.答案:A16.(2015甘肃嘉峪关一中三模,文16,直线与圆的位置关系,填空题)已知直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于不同的两点A,B,O是坐标原点,|,那么实数m的取值范围是. 解析:直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于相异两点A,B,O点到直线x+y+m=0的距离d<.又|,由平行四边形可知,夹角为钝

23、角的邻边所对的对角线比夹角为锐角的邻边所对的对角线短,的夹角为锐角.直线x+y+m=0的斜率为-1,即直线与x的负半轴的夹角为45度,当的夹角为直角时,直线与圆交于(-,0),(0,-),此时原点与直线的距离为1,故d>1.综合可知1d<.过原点作一直线与x+y+m=0垂直,即y=x,两直线交点为,则d=|m|.综上,-2<m-m<2.答案:(-2,-),2)6.(2015甘肃兰州一中三模,文6,直线与圆的位置关系,选择题)直线ax+by-a=0与圆x2+y2+2x-4=0的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.与a,b的取值有关解析:直线即a(x-1)+by=0,

24、过定点P(1,0),而点P在圆(x+1)2+y2=5内,故直线与圆的位置关系是相交.答案:C11.(2015黑龙江哈尔滨九中三模,文11,直线与圆的位置关系,选择题)直线l1:y=x,l2:y=x+2与C:x2+y2-2mx-2ny=0的四个交点把C分成的四条弧长相等,则m=()A.0或1B.0或-1C.-1D.1解析:直线l1l2,且l1,l2把C分成的四条弧长相等,画出图形,如图所示.又C可化为(x-m)2+(y-n)2=m2+n2,当m=0,n=1时,圆心为(0,1),半径r=1,此时l1,l2与C的四个交点(0,0),(1,1),(0,2),(-1,1),把C分成的四条弧长相等.当m=

25、-1,n=0时,圆心为(-1,0),半径r=1,此时l1,l2与C的四个交点(0,0),(-1,1),(-2,0),(-1,-1),把C分成的四条弧长也相等.答案:B6.(2015黑龙江哈尔滨三中四模,文6,直线与圆的位置关系,选择题)直线l:8x-6y-3=0被圆O:x2+y2-2x+a=0所截得弦的长度为,则实数a的值是()A.-1B.0C.1D.1-解析:圆O:x2+y2-2x+a=0,即(x-1)2+y2+a=1-a,a<1,圆心(1,0),半径为.又弦心距d=,=r2=1-a,求得a=0.答案:B16.(2015吉林实验中学六模,文16,直线与圆的位置关系,填空题)在平面直角坐

26、标系xOy中,设直线y=-x+2与圆x2+y2=r2交于A,B两点,O为坐标原点,若圆上一点C满足,则r=. 解析:由题意可得,|=|=|=r,设<>=,0,.则=|cos =r2cos .,两边同时平方可得,即r2=r2+r2+r2cos ×,cos =-.cos =2cos2-1,cos >0,cos .设圆心O到直线x+y-2=0的距离为d,则d=rcos ,即r=,r=.答案:17.(2015黑龙江绥化一模,文17,直线与圆的位置关系,解答题)已知圆C的圆心C在第一象限,且在直线3x-y=0上,该圆与x轴相切,且被直线x-y=0截得的弦长为2,直线

27、l:kx-y-2k+5=0与圆C相交.(1)求圆C的标准方程;(2)求出直线l所过的定点;当直线l被圆所截得的弦长最短时,求直线l的方程及最短的弦长.解:(1)设圆心为(a,b)(a>0,b>0),半径为r,则b=3a,则r=3a,圆心到直线x-y=0的距离d=a,圆被直线x-y=0截得的弦长为2,(a)2+()2=(3a)2,即a2=1,解得a=1,则圆心为(1,3),半径为3,则圆C的标准方程(x-1)2+(y-3)2=9.(2)由kx-y-2k+5=0得y=k(x-2)+5,则直线l过定点M(2,5).要使弦长最短,则满足CMl,即k=-=-,则直线l方程为x+2y-12=0

28、,|CM|=,则最短的弦长为2=2=4.132圆与圆的位置关系8.(2015山西太原二模,文8,圆与圆的位置关系,选择题)已知点A(-1,0),B(1,0),若圆(x-2)2+y2=r2上存在点P,使得APB=90°,则实数r的取值范围为()A.(1,3)B.1,3C.(1,2D.2,3解析:根据直径对的圆周角为90°,结合题意可得以AB为直径的圆和圆(x-2)2+y2=r2有交点,检验两圆相切时不满足条件,故两圆相交.而以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1,圆心距为2,所以|r-1|<2<|r+1|,解得1<r<3.答案:A133圆的切线与弦长问

29、题2.(2015广西玉林、贵港4月模拟,文16,圆的切线与弦长问题,填空题)已知A为射线x+y=0(x<0)上的动点,B为x轴正半轴上的动点,若直线AB与圆x2+y2=1相切,则|AB|的最小值为. 解析:设切点为(m,n),则切线方程为mx+ny=1,A为射线x+y=0(x<0)上的动点,B为x轴正半轴上的动点,A,B,|AB|2=,|AB|=.设m=cos ,n=sin ,则|AB|=.,2-.|AB|=2+2,即|AB|的最小值为2+2.答案:2+23.(2015甘肃张掖4月模拟,文9,圆的切线与弦长问题,选择题)直线y-1=k(x-3)被圆(x-2)2+(y-2)

30、2=4所截得的最短弦长等于()A.B.2C.2D.解析:圆的方程为圆(x-2)2+(y-2)2=4,圆心C(2,2),半径为2.直线y-1=k(x-3),所以此直线恒过定点(3,1),当圆被直线截得的弦最短时,圆心C(2,2)与定点P(3,1)的连线垂直于弦,弦心距为.故所截得的最短弦长2=2.答案:C14.(2015吉林三模,文14,圆的切线与弦长问题,填空题)圆心在原点且与直线x+y-4=0相切的圆的方程为. 解析:设圆的方程为x2+y2=r2,圆心为(0,0),半径为r,由直线和圆相切的条件d=r,可得d=2=r,即有圆的方程为x2+y2=8.答案:x2+y2=811.(201

31、5江西红色六校二模,文11,圆的切线与弦长问题,选择题)在x轴,y轴上截距相等且与圆(x+2)2+(y-3)2=1相切的直线l共有()条.A.2B.3C.4D.6解析:圆的圆心(-2,3),半径是1,原点在圆外,与圆(x+2)2+(y-3)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线中过原点的直线有两条;斜率为-1的直线也有两条.故所求直线共有4条.答案:C11.(2015广西防城港、桂林一模,文11,圆的切线与弦长问题,选择题)若直线kx+y+4=0上存在点P,过点P作圆x2+y2-2y=0的切线,切点为Q,若|PQ|=2,则实数k的取值范围是()A.-2,2B.2,+)C.(-,-22,+)D

32、.(-,-11,+)解析:圆C:x2+y2-2y=0的圆心(0,1),半径是r=1,由题意,PQ是圆C:x2+y2-2y=0的一条切线,Q是切点,PQ长度最小值为2,圆心到直线的距离PC最小,最小值为.由点到直线的距离公式可得.k-2或k2.答案:C9.5椭圆135椭圆的定义及标准方程1.(2015广西玉林、贵港4月模拟,文20,椭圆的定义及标准方程,解答题)已知一椭圆中心在坐标原点,左右焦点在x轴上,若其左焦点F1(-c,0)(c>0)到圆C:(x-2)2+(y-4)2=1上任意一点距离的最小值为4,且过椭圆右焦点F2(c,0)与上顶点的直线与圆O:x2+y2=相切.(1)求椭圆E的方

33、程;(2)若直线l:y=-x+m与椭圆E交于A,B两点,当以AB为直径的圆与y轴相切时,求F1AB的面积.解:(1)设椭圆E为=1(a>b>0),焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),则椭圆的右焦点到圆上任意一点的距离的最小值为-1=4,又c>0,c=1.过椭圆右焦点和上顶点的方程为=1,即bx+y-b=0.由直线和圆O相切可得,解得b=1,a2=b2+c2=2.椭圆E的方程为+y2=1.(2)由可得3x2-4mx+2m2-2=0.则=(-4m)2-12(2m2-2)>0,即m2<3.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,则AB的

34、中点横坐标为.则以AB为直径的圆的半径为r=|AB|=|x1-x2|=.由条件可得.整理可得(x1+x2)2=8x1x2,即=8·.m2=<3,解得m=-.此时,|AB|=.点F1到直线AB的距离为d=,当m=时,F1AB的面积为S=|AB|·d=.当m=-时,F1AB的面积为S=.2.(2015广西桂林、防城港联合调研,文15,椭圆的定义及标准方程,填空题)已知椭圆=1的左右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,且满足|PF2|=|F1F2|,那么PF1F2的面积等于. 解析:椭圆=1的a=5,b=4,c=3,在PF1F2中,|PF2|=|F1F2|=2c

35、=6,由椭圆的定义可得|PF1|=2a-|PF2|=10-6=4,则PF1F2的面积为×4×=8.答案:83.(2015黑龙江大庆二模,文11,椭圆的定义及标准方程,选择题)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其中F1(-2,0),P为C上一点,满足|OP|=|OF1|,且|PF1|=4,则椭圆C的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析:设椭圆的焦距为2c,连接PF2,如图所示.由F(-2,0),得c=2,又由|OP|OF1|=|OF2|知,PF1PF2,在PF1F2中,由勾股定理,得|PF2|=8,由椭圆定义,得|PF1|+|P

36、F2|=2a=4+8=12,从而a=6,得a2=36,于是b2=a2-c2=36-(2)2=16,所以椭圆的方程为=1.答案:C4.(2015江西赣州一模,文20,椭圆的定义及标准方程,解答题)已知椭圆E:=1(a>b>0)的焦距为2,A是E的右顶点,P,Q是E上关于原点对称的两点,且直线PA的斜率与直线QA的斜率之积为-.(1)求E的方程;(2)过E的右焦点作直线l与E交于M,N两点,直线MA,NA与直线x=3分别交于C,D两点,记ACD与AMN的面积分别为S1,S2,且S1·S2=,求直线l的方程.解:(1)根据题意,设P(x0,y0),Q(-x0,-y0),则(a2

37、-),kPA·kQA=-,依题意有-=-,又c=1,所以a2=4,b2=3,故椭圆E的方程为=1.(2)设直线MN的方程为x=my+1,代入E的方程得(3m2+4)y2+6my-9=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),由韦达定理知y1+y2=-,y1y2=-,又直线MA的方程为y=(x-2),将x=3代入,得yC=,同理yD=,所以|CD|=|yC-yD|=3,所以S1=|CD|=,S2=|AF|·|y1-y2|=,S1·S2=,即,即m=±1,直线MN的方程为x=±y+1,即x±y=1.14.(2015江西红色六校一模,文14

38、,椭圆的定义及标准方程,填空题)已知椭圆C:=1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=. 解析:如图,设线段MN的中点为D,连接DF1,DF2,则DF1,DF2分别是AMN,BMN的中位线,则|AN|+|BN|=2|DF1|+2|DF2|=2(|DF1|+|DF2|)=2×2a=4×5=20.答案:2020.(2015广西梧州一模,文20,椭圆的定义及标准方程,解答题)已知椭圆C:=1(a>b>0),A,B分别是椭圆的长轴和短轴的端点,且原点到直线AB的距离为b.(1)求椭圆C的离心率

39、;(2)直线l与圆O:x2+y2=b2相切,并且被椭圆C截得的弦长的最大值为2,求椭圆C的标准方程.解:(1)不妨设椭圆C的右顶点为A,上顶点为B,则直线AB的方程为=1,即bx+ay-ab=0,依题意,原点O到直线AB的距离d=b,化简,得a2=4b2,结合b2=a2-c2,得,即离心率e=.(2)设直线l与椭圆C交于P(x1,y1),Q(x2,y2).(i)当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+m,联立x2+y2=b2,消去y,整理,得(1+k2)x2+2kmx+m2-b2=0.由于直线l与圆O相切,所以1=(2km)2-4(1+k2)(m2-b2)=0,得m2-b2=k2b2.由消去y,

40、整理,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4b2=0,由韦达定理,得 且2=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4b2)>0,从而|PQ|=,结合m2-b2=k2b2,整理,得|PQ|=.又设=t,易知,k0,所以0<t<1,则|PQ|=, 当t=即k2=时,得|PQ|max=2b,(ii)当直线l的斜率不存在时,不妨设l的方程为x=b,易知P,Q,此时|PQ|=b<2b,|PQ|不是最大,综合(i),(ii)知,|PQ|max=2b=2,所以b2=1,得a2=4b2=4,故椭圆C的标准方程为+y2=1.21.(2015江西三县部分高中一模,文21,椭圆的定义及

41、标准方程,解答题)如图,设椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点D在椭圆上.DF1F1F2,=2,DF1F2的面积为.(1)求椭圆的标准方程;(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.解:(1)设F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2,由=2,得|DF1|=c,从而|DF1|F1F2|=c2=,故c=1.从而|DF1|=,由DF1F1F2,得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=,因此|DF2|=,所以2a=|DF1|+|DF2|=2,故a=,b2=a2-c2=1,

42、故椭圆的标准方程为+y2=1.(2)设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1F2P2,由圆和椭圆的对称性,易知x2=-x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|,由(1)知F1(-1,0),F2(1,0),所以=(x1+1,y1),=(-x1-1,y1),再由F1P1F2P2,得-(x1+1)2+=0,由椭圆方程得1-=(x1+1)2,即3+4x1=0,解得x1=-或0.当x1=0时,P1,P2重合,此时题设要求的圆不存在.当x1=-时,过P1,P2分别与F1P1,F2

43、P2垂直的直线的交点即为圆心C.由F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1F2P2,知CP1CP2,又|CP1|=|CP2|,故圆C的半径|CP1|=|P1P2|=|x1|=.136椭圆的几何性质1.(2015广西柳州一中一模,文9,椭圆的几何性质,选择题)设F1,F2是椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为()A.B.C.D.解析:F2PF1是底角为30°的等腰三角形,|PF2|=|F2F1|.P为直线x=上一点,2=2c,e=.答案:C20.(2015山西太原二模,文20,椭圆的几何

44、性质,解答题)已知动点A在椭圆C:=1(a>b>0)上,动点B在直线x=-2上,且满足(O为坐标原点),椭圆C上点M到两焦点距离之和为4.(1)求椭圆C方程;(2)求|AB|取最小值时点A的坐标.解:(1)根据题意可得解得a2=12,b2=3,故椭圆C方程为=1.(2)由题意可设A(x0,y0),B(-2,t)(tR),=-2x0+ty0=0,即t=,动点A在椭圆C上,=1,=3-,|AB|=2,当且仅当,即y0=±2时,|AB|取最小值,=3-,x0=±.点A的坐标为(,-2)或(,2)或(-,-2)或(-,2).11.(2015江西鹰潭一模,文11,椭圆的几

45、何性质,选择题)已知椭圆C1:=1(a>b>0)与圆C2:x2+y2=b2,若在椭圆C1上存在点P,过P作圆的切线PA,PB,切点为A,B使得BPA=,则椭圆C1的离心率的取值范围是()A.B.C.D.解析:连接OA,OB,OP,依题意,O,P,A,B四点共圆,BPA=,APO=BPO=,在RtOAP中,AOP=,cosAOP=,|OP|=2b.b<|OP|a,2ba.4b2a2,即4(a2-c2)a2,3a24c2,即.e.又0<e<1,e<1.故椭圆C的离心率的取值范围是.答案:A6.(2015江西吉安一模,文6,椭圆的几何性质,选择题)已知椭圆=1(a

46、>0,b>0)的一个焦点与抛物线y2=4的焦点重合,且椭圆的离心率等于,则该椭圆的方程为()A.+5y2=1B.=1C.=1D.x2+3y2=1解析:抛物线y2=4x的焦点为(1,0),c=1.又椭圆的离心率等于,即,a=,b2=a2-c2=.故所求椭圆的方程为x2+3y2=1.答案:D6.(2015江西上饶二模,文6,椭圆的几何性质,选择题)已知焦点在x轴的椭圆方程+y2=1,过焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A,B两点,且|AB|=1,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析:焦点在x轴的椭圆方程+y2=1,焦点坐标(±,0),不妨设A,可得=1,解得a=2,故椭圆的

47、离心率为e=.答案:A5.(2015江西六校联考二模,文5,椭圆的几何性质,选择题)椭圆=1(a>b>0)的两顶点为A(a,0),B(0,b),且左焦点为F,FAB是以角B为直角的直角三角形,则椭圆的离心率e为()A.B.C.D.解析:依题意可知点F(-c,0),直线AB斜率为=-,直线BF的斜率为.FBA=90°,=-=-=-1.整理得c2+ac-a2=0,即-1=0,即e2+e-1=0,解得e=.0<e<1,e=.答案:C20.(2015江西上饶三模,文20,直线与椭圆的位置关系,解答题)设F为椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点,点P在椭圆E上

48、,直线l0:3x-4y-10=0与以原点为圆心、以椭圆E的长半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆E的方程.(2)过点F的直线l与椭圆相交于A,B两点,过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q.问是否存在直线l,使得四边形PABQ的对角线互相平分?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由.解:(1)由题意知所以椭圆E的方程为=1.(2)结论:存在直线l,使得四边形PABQ的对角线互相平分.理由如下:由题可知直线l,PQ的斜率存在.设直线l的方程为y=k(x-1),直线PQ的方程为y=k(x-1)+,由消去y得(3+4k2)x2-8k2x+(4k2-12)=0.则|AB|=.由消去y得(3+4k2

49、)x2-(8k2-12k)x+(4k2-12k-3)=0,则|PQ|=,若四边形PABQ的对角线互相平分,则四边形PABQ为平行四边形,|AB|=|PQ|,1+k2=+k+k2k=.直线l的方程为3x-4y-3=0时,四边形PABQ的对角线互相平分.7.(2015江西上饶一模,文7,椭圆的几何性质,选择题)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2,过F2的直线与圆x2+y2=b2相切于点A,并与椭圆C交于不同的两点P,Q,如图,PF1PQ,若A为线段PQ的靠近P的三等分点,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析:连接OA,PF1,则OAPQ,又PF1PQ,可得OAPF

50、1.因为A为线段PQ的靠近P的三等分点,所以A为线段PF2的中点,于是PF1=2b.结合椭圆的定义有PF2=2a-2b,在RtPF1F2中,利用勾股定理得(2a-2b)2+(2b)2=(2c)2,将c2=a2-b2代入,整理可得b=a,于是e=.答案:C15.(2015广西防城港、桂林一模,文15,椭圆的几何性质,填空题)设椭圆=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.直线y=(x+c)与椭圆的一个交点为M,O为坐标原点,若|OM|=c,则椭圆的离心率是. 解析:直线y=(x+c)与坐标轴的交点分别为A(-c,0),B(0,c).|AB|=2c.直线y=(

51、x+c)与椭圆的一个交点为M,O为坐标原点,若|OM|=c,可得M是AB的中点,M.则:=1,即=1,化简得:=1,解得e=-1.答案:-110.(2015江西赣州兴国一模,文10,直线与椭圆的位置关系,选择题)椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则的值为()A.B.C.D.解析:由得ax2+b(1-x)2=1,(a+b)x2-2bx+b-1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,y1+y2=1-x1+1-x2=2-.所以AB中点坐标为,AB中点与原点连线的斜率k=.故.答案:A14.(2015山西太原五中二模,文14,

52、椭圆的几何性质,填空题)已知椭圆mx2+4y2=1的离心率为,则实数m等于. 解析:由mx2+4y2=1,得=1,若,得0<m<4,此时a=,c2=,c=,则,解得m=2.若,得m>4,此时a=,c2=,c=,则,解得m=8.综上,m=2或8.答案:2或812.(2015山西太原山大附中高三月考,文12,椭圆的几何性质,选择题)椭圆C:=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是()A.B.C.D.解析:当点P与短轴的顶点重合时,F1F2P构成以F1F2为底边的等腰

53、三角形,此种情况有2个满足条件的等腰F1F2P.当F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时,以F2P作为等腰三角形的底边为例,F1F2=F1P,点P在以F1为圆心,半径为焦距2c的圆上.因此,当以F1为圆心,半径为2c的圆与椭圆C有2交点时,存在2个满足条件的等腰F1F2P,在F1F2P1中,F1F2+PF1>PF2,即2c+2c>2a-2c,由此得知3c>a.所以离心率e>.当e=时,F1F2P是等边三角形,与中的三角形重复,故e.同理,当F1P为等腰三角形的底边时,在e>且e时也存在2个满足条件的等腰F1F2P.这样,总共有6个不同的点P使得F1F2P为等

54、腰三角形.综上所述,离心率的取值范围是.答案:D11.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文11,椭圆的几何性质,选择题)设F1,F2是椭圆x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|AF1|=3|F1B|,且AF2x轴,则b2=()A.B.C.D.解析:由题意,F1(-c,0),F2(c,0),AF2x轴,|AF2|=b2,A点坐标为(c,b2).设B(x,y),|AF1|=3|F1B|,(-c-c,-b2)=3(x+c,y),B,代入椭圆方程可得=1,1=b2+c2,b2=.答案:C13.(2015山西太原外国语学校4月模拟,文13,椭圆的几何性质,

55、填空题)已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=2经过椭圆:=1(a>b>0)的右焦点F和上顶点B,则椭圆的离心率为. 解析:由题意得,椭圆的右焦点F为(c,0)、上顶点B为(0,b),因为圆(x-1)2+(y-1)2=2经过右焦点F和上顶点B,所以解得b=c=2,则a2=b2+c2=8,解得a=2,所以椭圆C的离心率e=.答案:11.(2015甘肃兰州二诊,文11,椭圆的几何性质,选择题)已知椭圆C的中心为O,两焦点为F1,F2,M是椭圆C上一点,且满足|=2|=2|,则椭圆的离心率e=()A.B.C.D.解析:由椭圆定义可得2a=|MF1|+|MF2|=3|MF2|,|MF1|=|MO|=|MF2|,所以|MF2|=a,|