有关切线的辅助线作法

1、有关切线的辅助线作法一切线的性质如图1，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，求证：APBP.证明：连接OP.AB是小圆的切线，OPAB.在大圆中由垂径定理得APBP.图1图2【思想方法】 圆的切线垂直于过切点的半径，所以作过切点的半径得到垂直关系是常用的辅助线作法如图2，两个同心圆的半径分别为4 cm和5 cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为(C)A3 cmB4 cmC6 cmD8 cm如图3，已知点O为RtABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE.(1)求证：AE平分CAB；(2)探求图中1与C

2、的数量关系，并求当AEEC时C的值图3变形2答图解：(1)证明：如图，连接OE，BC是O的切线，且切点为E，OEBC，OEC90°.又ABC是直角三角形，B90°，OECB，OEAB， BAEOEA.OAOE，1OEA，BAE1，AE平分CAB.(2)ABC是直角三角形，BACC90°.AE平分CAB，BAC21，21C90°，即1(90°C)当AEEC时，1C，则2CC90°，C30°.图4如图4，AB是O的直径，D为O上一点，AT平分BAD交O于点T，过点T作AD的延长线于点C.(1)求证：CT为O的切线；(2)若O半径

3、为2，CT，求AD的长解：(1)证明：连接OTOAOT，OATOTA又AT平分BAD，DATOATDATOTA，OTAC又CTAT，CTOTCT为O的切线(2)解：过O作OEAD于E，则E为AD中点又CTAC，OECT四边形OTCE为矩形CT，OE又OA2在RtOAE中，AE1AD2AE2.二切线的判定如图5，直线AB经过O上的点C，并且OAOB，CACB.求证：直线AB是O的切线证明：连接OC.OAOB，CACB，OAB是等腰三角形，OC是底边AB上的中线OCAB.AB是O的切线图5【思想方法】 证明某直线为圆的切线时，(1)如果该直线与已知圆有公共点，即可作出经过该点的半径，证明直线垂直于

4、该半径，即“连半径，证垂直”；(2)如果不能确定该直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，即“作垂直，证半径”注意：在证明垂直时，常用到直径所对的圆周角是直角如图6，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的圆O经过点D，E是O上一点，且AED45°.判断CD与O的位置关系，并说明理由图6解：CD与O相切理由如下：连接DO，AED45°，AOD90°.四边形ABCD是平行四边形，ABCD，CDOAOD90°.又OD是O的半径，CD经过点D，CD是O的切线2012·温州如图7，ABC中，ACB90°，D

5、是边AB上的一点，且A2DCB.E是BC上的一点，以EC为直径的O经过点D.(1)求证：AB是O的切线；(2)若CD的弦心距为1，BEEO，求BD的长图7变形2答图解：(1)证明：如图，连接OD，DOB2DCB，又A2DCB，ADOB.又AB90°，DOBB90°，BDO90°，ODAB，AB是O的切线(2)解法一：如图，过点O作OMCD于点M，ODOEBEBO，BDO90°，B30°，DOB60°，DCB30°，OC2OM2，OD2，BO4，BD2.解法二：如图，过点O作OMCD于点M，连接DE，OMCD，CMDM.又OC

6、OE，DE2OM2.RtBDO中，OEBE，DEBO，BO4，ODOE2，BD2.图8如图8，已知O的半径为1，DE是O的直径，过D作O的切线，C是AD的中点，AE交O于B点，四边形BCOE是平行四边形(1)求AD的长；(2)BC是O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由解：(1)连接BD，则DBE90°.四边形BCOE是平行四边形，BCOE，BCOE1.在RtABD中，C为AD的中点，BCAD1.AD2.(2)连接OB，由(1)得BCOD，且BCOD.四边形BCDO是平行四边形又AD是O的切线，ODAD.四边形BCDO是矩形OBBC，BC是O的切线图9如图，AB是O的直径，AF

7、是O的切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD4，BE2.求证：(1)四边形FADC是菱形；(2)FC是O的切线解：(1)连接OC，依题意知：AFAB，又CDAB，AFCD，又CFAD，四边形FADC是平行四边形，由垂径定理得：CEEDCD2，设O的半径为R，则OCR，OEOBBER2，在ECO中，由勾股定理得：R2(R2)2(2)2，解得：R4，AD4，ADCD，因此平行四边形FADC是菱形；(2)连接OF，由(1)得：FCFA，又OCOA，FOFO，FCOFAO，FCOFAO90°，因此FC是O的切线第3课时切线长定理和三角形内切圆见B本P

8、461如图24230，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果APB60°，PA8，那么弦AB的长是(B)图24230A4B8C6D10【解析】 PA、PB都是O的切线，PAPB，又P60°，PAB是等边三角形，即ABPA8，2如图24231，PA切O于A，PB切O于B，OP交O于C，下列结论中，错误的是(D)图24231A12 BPAPBCABOP DPA2PC·PO3如图24232，已知ABC中，I内切于ABC，切点分别为D，E，F，则I是DEF的(A)图24232A外心 B内心 C重心 D垂心【解析】 I是DEF的外接圆4如图2423

9、3，已知PA，PB切O于A，B，C是劣弧上一动点，过C作O的切线交PA于M，交PB于N，已知P56°，则MON(C)图24233A56° B60° C62° D不可求【解析】 连接OA，OB，则AOB124°，MONAOB×124°62°，故选C.5ABC中A80°，若O为外心，M为内心，则BOC_160_度，BMC_130_度【解析】 根据分析，得BOC2A160°；BMC90°A130°.62013·天津如图24234，PA，PB分别切O于点A，B，若P70&#

10、176;，则C的大小为_55°_图24234【解析】 连接OA，OB，PA，PB分别切O于点A，B，OAPA，OBPB，即PAOPBO90°，AOB360°PAOPPBO360°90°70°90°110°，CAOB55°.72012·菏泽如图24235，PA，PB是O的切线，A，B为切点，AC是O的直径，若P46°，则BAC_23°_图24235【解析】 PA，PB是O的切线，PAPB，又P46°，PABPBA67°.又PA是O的切线，AO为O的半径，OA

11、AP，OAP90°，BACOAPPAB90°67°23°.8如图24236，PA，PB分别切O于A，B，连接PO与O相交于C，连接AC，BC，求证：ACBC.图24236证明：PA，PB分别切O于A，B，PAPB，APCBPC.又PCPC，APCBPC.ACBC.9如图24237，O为ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，BCA90°，BC3，AC4.(1)求ABC的面积；(2)求O的半径；(3)求AF的长图24237解：(1)C90°，BC3，AC4，ABC的面积为：×3×46；(2)连接OE，OD，O为ABC的

12、内切圆，D，E，F为切点，EBFB，CDCE，ADAF，OEBC，ODAC，又C90°，ODOE，四边形ECDO为正方形，设OEODCECDx，BE3x，DA4x；FB3x，AF4x，3x4x5，解得x1.(3)CD1，AFAD413.10如图24238所示，AC是O的直径，ACB60°，连接AB，过A，B两点分别作O的切线，两切线交于点P.若已知O的半径为1，则PAB的周长为_3_图24238【解析】 AP，BP是O的切线，PAC90°，PAPB.AC是O的直径，ABC90°，BAC90°C90°60°30°，P

13、AB90°30°60°，PAB是等边三角形在RtABC中，BAC30°，BCAC×21，AB，PAB的周长为3.11如图24239，已知AB为O的直径，PA，PC是O的切线，A，C为切点，BAC30°.(1)求P的大小；(2)若AB2，求PA的长(结果保留根号)图24239第11题答图解：(1)PA是O的切线，AB为O的直径，PAAB，BAP90°.BAC30°，CAP90°BAC60°.又PA，PC切O于点A，C，PAPC，PAC为等边三角形，P60°.(2)如图，连接BC，则ACB

14、90°.在RtACB中，AB2，BAC30°，BCAB×21，AC，PAAC.12如图24240，直尺、三角尺都和圆O相切，AB8 cm.求圆O的直径图24240第12题答图解：作出示意图如答图，连接OE，OA，OB，AC，AB都是O的切线，切点分别是E，B，OBA90°，OAEOABBAC.CAD60°，BAC120°，OAB×120°60°，BOA30°，OA2AB16 cm.由勾股定理得OB8(cm)，即O的半径是8cm，O的直径是16cm.13如图24241，PA，PB分别切O于A，B，

15、连接PO，AB相交于D，C是O上一点，C60°.(1)求APB的大小；(2)若PO20 cm求AOB的面积图24241解：(1)PA，PB分别为O的切线，OAPA，OBPB.OAPOBP90°.C60°，AOB2C120°.在四边形APBO中，APB360°OAPOBPAOB360°90°90°120°60°.(2)PA，PB分别为O的切线，PAPB.OAOB，POPO，PAOPBO，APOBPOAPB30°，POAB，DAOAPO30°，OA×OP×2010 (cm)在RtAOD中，DAO30°，OA10 cm，AD×OA×105(cm)，OD×OA×105 (cm)，AB2AD10cm，SAOB·AB·OD×10×525 (cm2)14如图24242，AB是O的直径，AM和BN是它的两条切线，DC切O于点E，交AM于点D，交BN于点C，(