北京朝阳区2019届高三数学上学期期中试卷(理科含解析)

1、北京朝阳区 2019 届高三数学上学期期中试卷（理科含解析）北京市朝阳区XX2019学年度学期高三年级期中统一 检测数学试卷第I卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.已知集合，贝UA.B.c.D.【答案】B【解析】【分析】先把集合A解出来，然后求AUB即可.【详解】因为集合合，所以，故选：B.【点睛】本题主要考查集合的交集，属于基础题.执行如图所示的程序框图，输出的值为A.-10B.-2C.2D.10【答案】c【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结 构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案

2、.【详解】模拟程序的运行过程，次运行：，第二次运行：第三次运行：第四次运行：此时，推出循环，输出输出故选c.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模 拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.设平面向量，则实数的值等于A.B.c.OD.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出的值.【详解】向量，故选A.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的 应用问题，是基础题.已知，则下列不等关系中正确的是A. B.c.D.【答案】D【解析】【分析】禾U用指函数的单调性得出结论.【详解】A.，显然不成立；B.错误，因为函数在上为增函数，由，可得； 同理

3、c.,因为函数在上为增函数，由，可得；D.,正确，因为函数在上为减函数，由，可得；故选D.【点睛】本题考查函数单调性的应用，属基础题.“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条c.充分必要条件D.既不充分也不必要条【答案】A【解析】【分析】观察两条件的互推性即可求解.【详解】由“”可得到“”，但“”不一定得到“”， 故“”是“”的充分而不必要条件.故応A.已知函数，若，则的取值范围是A.B.c.D.【答案】B【解析】【分析】由，可知由可得根据基本不等式可求的取值范围.【详解】若由，贝U与矛盾；同理也可导出矛盾，故而即故选B【点睛】本题考查分段函数的性质以及基本不等式的应 用，属中档题.

4、已知函数当时，方程的根的个数为A.1B.2C.3D.4【答案】c【解析】【分析】画出函数的图像，由图像可得结论.【详解】画出函数的图像，有图可知方程的根的个数为3个.故选c.【点睛】本题考查分段函数的性质、方程的根等知识，综合性较强，考查利用所学知识解决问题的能力，是中档题.将正奇数数列134,5,7,9,依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：，称为第1组，为第2组， 依此类推，则原数列中的2019位于分组序列中A.第404组B.第405组c.第808组D.第809组【答案】A【解析】【分析】求出2019为第1010个证奇数，根据富足规则可得答案.【详解】正奇数数列134,5,7,9，的通项

5、公式为则2019为第1010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组 分组是有202组，故原数列中的2019位于分组序列中第404组选A.【点睛】本题考查闺女是推理，属中档题.第口卷二、填空题已知，贝U.【答案】.-【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系式和诱导公式可解【详解】由题，贝y即答案为.【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式和诱导公式，属基础题.0.已知，满足则的最大值为 _ .【答案】【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABc及其内部， 再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移， 可得 当x=3,y=1时，z=x+2y取得最大值为5.【详解】作出不等式组表

6、示的平面区域，得到如图的ABc及其内部，其中A,B, c设z=x+2y，将直线I:z=x+2y进行平移，当I经过点A时，目标函数z达到最大值 z最大值=3故答案为：3【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和 简单的线性规划等知识，属于基础题.1.已知函数满足下列条件：1定义域为；2函数在上单调递增；3函数的导函数有且只有一个零点，写出函数的一个表达式 _ .【答案】【解析】【分析】利用已知条件，直接推出结果即可.【详解】定义域为；2函数在上单调递增；3函数的导函数有且只有一个零点，满足条件一个函数可以为：.或+2等等.故答案为

7、：.【点睛】本题考查函数的简单性质的应用，函数的解析 式的求法，考查判断能力.如图，在平行四边形中，分别为边，的中点，连接，交于点，若，则_.【答案】【解析】【分析】根据平行线分线段成比例解答即可.【详解】根据平行线分线段成比例可得而故即答案为.【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，属中档题.3.海水受日月的引力，在一定的时候发生的涨落现象叫潮.港口的水深会随潮的变化而变化.某港口水的深度是时刻的函数，记作.下面是该港口某日水深的数据：03691215182124011.07.95.08.011.08.05.08.0经长期观察，曲线可近似地看成函数的图象，根据以上 数据，函数的近似表达式为

8、_.【答案】【解析】【分析】设出函数解析式，据最大值与最小值的差的一半为A;最大值与最小值和的一半为h;通过周期求出3，得到函数解析式.【详解】根据已知数据数据可以得出A=3,b=8,T=12,0=0,由，得3=，所以函数的近似表达式即答案为【点睛】本题考查通过待定系数法求函数解析式、属基础题.从标有数字，的四个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，那么这4个小球上的不同的数字恰好有 _个；试写出满足条件的所有组，【答案】31,2,2,4;1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9【解析】【分析】由，且个小球中任选两个不同的小

9、球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，则必有两个数字相等，分析可得个小球上的不同的数字恰好有3个，在逐一分析可得满足条件的所有组，.【详解】由，且个小球中任选两个不同的小球，将其上 的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可 得3种不同的结果，则必有两个数字相等，分析可得个小球上的不同的数字恰好有3个，若两个相等的数为1,如1，1,2，4,则四个小球中任选两个不同的小球，将其 上的数字相加，可得3种不同的结果，不符合题意，若若两 个相等的数为2，则符合题意的为1,2,2,4;推理可得1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9符合题意.即答

10、案31,2,2,4;1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9【点睛】本题考查归纳推理，属难题.三、解答题设是各项均为正数的等比数列，且，求的通项公式；若，求【答案】，.【解析】【分析】设为首项为，公比为，则依题意，解得，即可得到的通项公式； 因为，利用分组求和法即可得到.【详解】设为首项为，公比为，则依题意，解得，所以的通项公式为，.因为，所以【点睛】本题考查等比数列的基本量计算，以及分 组求和法属基础题.已知函数.求的最小正周期及单调递增区间; 若对任意，恒成立，求的最小值【答案】最小正周期为，单调递增区间为，.的最小值为2【解析】【分析】根据二倍角公式及辅助角公式求得f的解析式，根据

11、正弦函数的性质即可求得f的最小正周期及其单调递增区间；II）由.可得.由此可求的最小值.【详解】由已知可得所以最小正周期为.令，.所以，所以，即单调递增区间为，.因为.所以，贝畀所以，当，即时，.因为恒成立，所以，所以的最小值为2【点睛】本题考查三角恒等变换，正弦函数的单调性及 最值，考查转化思想，属于中档题.在中，角，的对边分别为，.求；求的面积.【答案】证明见解析【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系式求得.，利用正弦定理可求；在中，由知为钝角，所以.利用，可求求的面积.【详解】证明：因为，即，又，为钝角，所以.由，即，解得.在中，由知为钝角，所以.所以所以【点睛】此题考查了正弦、 余弦

12、定理，三角形面积公式， 以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键.已知函数当时，求在区间上的最大值和最小值；求证：“”的“函数有唯一零点”的充分而不必要条件【答案】；.“”是“有唯一零点”的充分不必要条【解析】【分析】先求导，再由导函数为0,求出极值，列表解得即可;根据分类讨论，分别利用导数和函数的零点的关系以及 充分不必要条件的定义即可证明.【详解】，当时，当在内变化时，的变化如下表：-1012+0-0+-4/极大值1极小值0/5当时，；若，.当变化时，的变化如下表：0+0-0+/极大值极小值/因为，所以.即.且，所以有唯一零点.所以“”是“有唯一零点”的充分条件.又时，当变化时，

13、的变化如下表：0-0+0-极小值/极大值又，.所以此时也有唯一零点.从而“”是“有唯一零点”的充分不必要条【点睛】本题考查了导数和函数的极值和零点的关系，考查了学生的运算能力和转化能力，属于难题.已知函数.求曲线在点处的切线方程；试判断函数的单调性并证明；若函数在处取得极大值，记函数的极小值为，试求的最 大值.【答案】.函数在和上单调递增，在上单调递减.函数的最大值为.【解析】【分析】函数的定义域为，且.易知，代入点斜式即可得到曲线在点处的切线方程； 令，得，分类讨论可得函数的单调性， 由可知，要使是函数的极大值点，需满足.此时，函数的极小值为.，利用导数可求的最大值【详解】函数的定义域为，且

14、.易知，所以曲线在点处的切线方程为.即.令，得，1当时，.当变化时，变化情况如下表：+0-0+/极大值极小值/所以函数在和上单调递增，在上单调递减2当时，恒成立.所以函数在上单调递增.3当时，.当变化时，变化情况如下表：+0-0+/极大值极小值/所以函数在和上单调递增，在上单调递减 由可知，要使是函数的极大值点，需满足 此时，函数的极小值为.所以.令得.当变化时，变化情况如下表：+0-/极大值、所以函数的最大值为.【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力.0.设，为正整数，一个正整数数列，满足，对，定义集合，数列，中的是集合中元素的个数若数列，为5,3,3,2,1,1，写出数列，；若，为公比为的等比数列，求；对，定义集合，令是集合中元素的个数.求证：对，均有.【答案】数列，是6,4,3,1,1.【解析】【分析】根据数列，数列，是6,4,3,1,1.由题知，由于数列，是项的等比数列，因此数列，为，2,利用反证法证明；对，表示，中大于等于的个数，首先证明.再证对，即可.【详解】解：数列，是6,431,1.由题知，由于数列